혼합, 단위, 동종 및 이종 분수의 정의

혼합. 혼합 분수는 1보다 크거나 같은 정수와 고유 분수, 분수의 일반적인 철자로 구성됩니다. 혼합은 형식: \(a + \frac{c}{d},\)이며 간단히 쓰기: \(a\frac{c}{d},\;\), 즉 \(a\ 분수{c}{d} = a + \frac{c}{d}\). 숫자 \(a\)는 혼합 분수의 정수 부분이라고 하고 \(\frac{c}{d}\)는 분수 부분이라고 합니다.

동종의. 두 개 이상의 분수가 같은 분모를 가질 때, 그것들은 분수와 같다고 합니다. 예를 들어 분수 \(\frac{3}{4},\) \(\frac{7}{4},\) \(\frac{1}{4},\) \(\frac{{ 10}}{4}\)는 모두 같은 분모를 갖기 때문에 동종입니다. 이 경우에는 \(4\)입니다. 분수 \(\frac{3}{4},\) \(\frac{7}{4},\) \(\frac{1}{4},\) \(\frac{5} { 2}\)가 아닙니다. \(\frac{5}{2}\)의 분모가 \(2\)이고 다른 분수의 분모가 균질 분수 \(4\)입니다. 동차 분수의 장점 중 하나는 함수의 덧셈과 뺄셈의 산술 연산이 매우 간단하다는 것입니다.

이질적인. 두 개 이상의 분수 중 적어도 두 개는 동일한 분모를 가지지 않는 경우 이러한 분수를 이종 분수라고 합니다. 다음 분수는 이기종입니다: \(\frac{3}{5},\;\) \(\frac{7}{5}\), \(\frac{1}{4},\) \(\ frac{2}{5}\).

일원. 분자가 1 \(1,\) \(2\)와 같으면 분수는 단위로 식별됩니다. 다음 분수는 단위 분수의 예입니다: \(\frac{1}{2},\;\) \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{4}\), \(\;\frac{1}{5}\).

혼합 분수의 구두 표현

혼합 분수	언어적 표현
\(3\frac{1}{2} = \)	3개 반
\(5\frac{3}{4} = \)	5개의 정수와 3/4
\(10\frac{1}{8} = \)	8분의 1이 있는 10개의 정수

대분수를 가분수로 바꾸기

혼합 분수는 추정에 유용합니다. 예를 들어 설정하기 쉽습니다.

\(5\frac{1}{{20}} > 4\frac{9}{{10}}\)

그러나 대분수는 일반적으로 곱셈, 나눗셈과 같은 연산을 수행하는 데 비실용적이므로 대분수로 변환하는 방법이 중요합니다.

이전 그림은 혼합 분수 \(2\frac{3}{4}\)를 나타내며 이제 각 정수는 다음으로 구성됩니다. 4개의 분기이므로 2개의 정수에는 8개의 분기가 있고 여기에 다른 3개의 분기를 추가해야 합니다. 말하다:

\(2\frac{3}{4} = \frac{{2\left( 4 \right) + 3}}{4} = \frac{{11}}{4}\)

일반적으로:

\(a\frac{c}{d} = \frac{{ad + c}}{d}\)

다음 표는 다른 예를 보여줍니다.

혼합 분수	수행할 작업	가분수
\(3\frac{1}{2}\)	\(\frac{{3\왼쪽( 2 \오른쪽) + 1}}{2}\)	\(\frac{7}{2}\)
\(5\frac{3}{4}\)	\(\frac{{5\왼쪽( 4 \오른쪽) + 3}}{4}\)	\(\frac{{23}}{4}\)
\(10\frac{1}{8}\)	\(\frac{{10\왼쪽( 8 \오른쪽) + 1}}{8}\)	\(\frac{{81}}{8}\)

가분수를 대분수로 바꾸기

가분수를 대분수로 바꾸려면 분자를 분모로 나눈 몫과 나머지를 구합니다. 얻은 몫은 혼합 분수의 정수 부분이 될 것이고 적절한 분수는 \(\frac{{{\rm{remainder}}}}{{{\rm{denominator}}}}\)

예

\(\frac{{25}}{7}\)를 대분수로 변환하려면:

수행된 작업에 대해 다음을 얻습니다.

아래 표는 다른 예를 보여줍니다.

가분수	몫과 나머지의 계산	가분수
\(\frac{{25}}{7}\)		\(3\frac{4}{7}\)
\(\frac{{35}}{8}\)		\(4\frac{3}{8}\)
\(\frac{{46}}{5}\)		\(9\frac{1}{5}\)

대분수와 진분수의 일상적인 사용

일상 생활에서 우리는 가격을 측정하고, 구매하고, 비교하고, 할인을 제공해야 합니다. 측정을 위해 우리는 측정 단위가 필요하며 그들은 항상 제품의 전체 단위를 제공하지 않으며 귀하는 항상 단위의 전량의 동전으로 지불하지 않습니다.

예를 들어, 내용물이 \(\frac{3}{4}\;\) 1리터, 0.5갤런 또는 1.5갤런인 용기에 담긴 특정 액체를 판매하는 것이 일반적입니다. 튜브를 사러 갈 때 \(\frac{1}{8},\;\) \(\frac{7}{8},{\rm{\;}}\) \({ \rm {3}}\frac{1}{2}\) 측정 단위(이 경우 인치)를 말할 필요가 없습니다.

같은 분수의 기본 연산

\(\frac{3}{4}\) 및 \(\frac{2}{4}\)의 합계는 다음 체계에 예시됩니다.

\(\frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{{3 + 2}}{4} = \frac{5}{4}\)

빼기는 다음과 같이 수행됩니다.

\(\frac{3}{4} – \frac{2}{4} = \frac{{3 – 2}}{4} = \frac{1}{4}\)

일반적으로 균질 분획의 경우:

\(\frac{a}{d} + \frac{b}{d} = \frac{{a + b}}{d}\)

\(\frac{a}{d} – \frac{b}{d} = \frac{{a – b}}{d}\)

이집트인과 단위분수

이집트 문화는 눈부신 기술 발전을 이루었고, 이는 수학의 발전이 없었다면 불가능했을 것입니다. 이집트 문화에서 분수 사용에 대한 기록을 찾을 수 있는 역사적 흔적이 있는데, 특히 단일 분수만 사용했습니다.

단위 분수의 합으로 분수를 쓰는 것이 다음과 같이 간단한 경우가 몇 가지 있습니다.

\(\frac{3}{n} = \frac{1}{n} + \frac{1}{{2n}}\)

\(n = 2q + 1\)인 경우, 즉 홀수이면 다음과 같습니다.

\(\frac{2}{n} = \frac{1}{{q + 1}} + \frac{1}{{n\left( {q + 1} \right)}}\)

두 가지 예를 들어 설명하겠습니다.

\(\frac{2}{{11}}\)를 표현하려면; 이 경우 \(11 = 2\left( 5 \right) + 1\)이므로 다음과 같습니다.

\(\frac{2}{{11}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{{11\left( 6 \right)}},\)

즉 말하자면,

\(\frac{2}{{11}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{{66}}\)

\(\frac{2}{{17}}\)를 표현하려면; 이 경우 \(17 = 2\left( 8 \right) + 1\),

\(\frac{2}{{15}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{{120}}\)

다음으로 단위 분수의 합으로 일부 분수를 표시합니다.

분수	단위 분수의 합으로 표현	분수	단위 분수의 합으로 표현
\(\frac{3}{n}\)	\(\frac{1}{n} + \frac{1}{{2n}}\)	\(\frac{5}{8}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{8}\)
\(\frac{2}{3}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{6}\)	\(\frac{7}{8}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}\)
\(\frac{3}{4}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\)	\(\frac{2}{9}\)	\(\frac{1}{5} + \frac{1}{{45}}\)
\(\frac{3}{5}\)	\(\frac{1}{5} + \frac{1}{{10}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{4}{5}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{{20}}\)	\(\frac{7}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{{36}}\)
\(\frac{5}{6}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\)	\(\frac{8}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{3}{7}\)	\(\frac{1}{3} + \frac{1}{{11}} + \frac{1}{{231}}\)	\(\frac{4}{9}\)	\(\frac{1}{3} + \frac{1}{9}\)
\(\frac{4}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{14}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{5}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{{10}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{6}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{{42}}\)	\(\frac{{19}}{{20}}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}\)

이전 표를 사용하여 분수를 더하고 그러한 합계를 표현할 수 있습니다. 단위 분수의 합으로.

이기종 분수의 예

예 1

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{{15}}} \right) + \left ( {\frac{1}{3} + \frac{1}{9}} \right)\)

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \frac{2}{3} + \frac{1}{{15}} + \frac{1}{9}\)

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{6}} \right) + \frac{1 }{{15}} + \frac{1}{9}\)

예 2

\(\frac{4}{7} + \frac{5}{9} = \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{14}}} \right) + \left ( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}} \right)\)

\(\frac{2}{7} + \frac{5}{9} = 1 + \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{18}}\)

마지막으로 동일한 분수를 단위 분수의 합으로 다음과 같이 다른 방식으로 표현할 수 있습니다.

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{{504}}\)

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{9} + \frac{1}{{63}}\)

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{18}}\)