2차/4차 방정식 정의

미지수에 대한 2차 방정식 또는 2차 방정식은 다음과 같은 형식으로 표현됩니다.
\(a{x^2} + bx + c = 0\)
여기서 미지수는 \(x\)이고 \(a, b\)와 c가 실제 상수이고 \(a \ne 0.\)인 한

분해를 포함하여 이차방정식을 풀기 위한 몇 가지 기술이 있으며, 이 경우 해상도에 따라 다음 속성을 고려해야 합니다.

두 숫자의 곱이 0이면 두 가지 가능성이 있습니다.

1. 둘 다 0과 같습니다.
2. 하나가 0이 아니면 다른 하나는 0입니다.

위의 내용은 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
\(pq = 0\)이면 \(p = 0\) 또는 \(q = 0\)입니다.

실제 예 1: 방정식 \({x^2} – 8\)=0 풀기

\({x^2} – 8 = 0\)	초기 상황
\({x^2} – 8 + 8 = 8\)	방정식의 양변에 8을 더하여 \({x^2}\)를 구합니다.
\(\sqrt {{x^2}} = \sqrt {{2^3}} = \sqrt {{2^2}2} = \sqrt {{2^2}} \sqrt 2 = 2\sqrt 2 \)	\(x.\)를 분리하여 제곱근을 얻습니다. 8을 인수분해하고 라디칼과 거듭제곱의 속성을 적용합니다.
\(\왼쪽| x \오른쪽| = 2\sqrt 2 \)	\({x^2}\)의 루트를 얻습니다.
\(x = \pm 2\sqrt 2 \)

\({x^2} – 8\)=0의 해는 다음과 같습니다.
\(x = – 2\sqrt 2 ,\;2\sqrt 2 \)

실제 예 2: 방정식 풀기 \({x^2} – 144\)=0

\({x^2} – 144 = 0\)	초기 상황
\({x^2} – {12^2} = 0\)	144의 제곱근은 12입니다. 제곱의 차이가 식별됩니다.
\(\왼쪽( {x + 12} \오른쪽)\왼쪽( {x – 12} \오른쪽) = 0\)	제곱의 차이는 인수분해됩니다.
\(x + 12 = 0\) \(x = – 12\)	계수 \(x + 12\)가 0과 같을 가능성을 고려합니다. 얻은 방정식이 풀립니다.
\(x – 12 = 0\) \(x = 12\)	계수 \(x – 12\)가 0과 같을 가능성을 고려합니다. 얻은 방정식이 풀립니다.

방정식 \({x^2} – 144 = 0\)의 해는 다음과 같습니다.

\(x = – 12,\;12\)

실제 예 3: 방정식 \({x^2} + 3x = 0\) 풀기

\({x^2} + 3x = 0\)	초기 상황
\(x\왼쪽( {x + 3} \오른쪽) = 0\)	\(x\)는 공통 인수로 식별되고 인수 분해가 수행됩니다.
\(x = 0\)	계수 \(x\)가 0일 가능성을 고려하십시오.
\(x + 3 = 0\) \(x = – 3\)	계수 \(x – 12\)가 0과 같을 가능성을 고려합니다. 얻은 방정식이 풀립니다.

방정식 \({x^2} + 3x = 0\)의 해는 다음과 같습니다.
\(x = – 3.0\)

실제 예 4: 방정식 풀기 \({x^2} – 14x + 49 = 0\)

\({x^2} – 14x + 49 = 0\)	초기 상황
\({x^2} – 14x + {7^2} = 0\)	49의 제곱근은 7이고 \(2x\left( 7 \right) = 14x.\) 완벽한 제곱 삼항식이 식별됩니다.
\({\왼쪽( {x – 7} \오른쪽)^2} = 0\)	완전제곱삼항식은 제곱이항식으로 표현됩니다.
\(x – 7 = 0\) \(x = 7\)

\({x^2} – 14x + 49 = 0\)의 해는 다음과 같습니다.
\(x = 7\)

실례 5: 방정식 풀기 \(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)

\(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)	초기 상황
\(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)	곱 \(\left( {10} \right)\left( {12} \right) = 120 = \left( { – 8} \right)\left( { – 15} \right)\)
\(\왼쪽({10{x^2} – 8x} \오른쪽) – 15x + 12 = 0\)	\( – 23x = – 18x – 15\)로 표현됩니다.
\(2x\왼쪽( {5x – 4} \오른쪽) – 3\왼쪽( {5x – 4} \오른쪽) = 0\)	첫 번째 가수의 공통 인수로 \(2x\)를 식별하고 인수분해합니다. \( – 3\)을 두 번째 가수의 공통 인수로 식별하고 인수분해합니다.
\(\왼쪽({5x – 4} \오른쪽)\왼쪽({2x – 3} \오른쪽) = 0\)	공약수 \(5x – 4\)를 인수분해합니다.
\(5x – 4 = 0\) \(x = \frac{4}{5}\)	계수 \(5x – 12\)가 0과 같을 가능성을 고려합니다. 얻은 방정식이 풀립니다.
\(2x – 3 = 0\) \(x = \frac{3}{2}\)	요인 \(2x – 3\)이 0과 같을 가능성을 고려하십시오. 얻은 방정식이 풀립니다.

\(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)의 해는 다음과 같습니다.
\(x = \frac{4}{5},\;\frac{3}{2}\)

실제 예 6: 방정식 풀기 \({x^2} + 4x + 1 = 0\)

\({x^2} + 4x + 1 = 0\)	초기 상황 삼항식은 완전제곱식이 아니다
\({x^2} + 4x + 1 – 1 = – 1\)	방정식의 각 변에 -1을 더합니다.
\({x^2} + 4x = – 1\)	\({2^2}\)를 더하면 \(\frac{1}{2}\left( 4 \right) = 2\)이므로 완전제곱식을 얻습니다.
\({x^2} + 4x + 4 = – 1 + 4\)	방정식의 각 변에 \({2^2}\;\)를 추가합니다. 왼쪽은 완전 정사각형입니다.
\({\왼쪽( {x + 2} \오른쪽)^2} = 3\)	완전제곱삼항식은 제곱이항식으로 표현됩니다.
\(\sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2}} = \pm \sqrt 3 \)	방정식의 각 변의 제곱근을 취합니다.
\(\왼쪽| {x + 2} \오른쪽| = \sqrt 3 \) \(x = – 2 \pm \sqrt 3 \)	\(x\)에 대해 풉니다.

\({x^2} + 4x + 1 = 0\)의 해는 다음과 같습니다.
\(x = – 2 – \sqrt 3 ,\; – 2 + \sqrt 3 \)

실례 7: 방정식 풀기 \(5{x^2} + 3x – 1 = 0\)

\(5{x^2} + 3x – 1 = 0\)	초기 상황 삼항식은 완전제곱식이 아닙니다.
\(5{x^2} + 3x – 1 + 1 = 1\)	방정식의 각 변에 1을 더합니다.
\(\frac{1}{5}\left( {5{x^2} + 3x} \right) = \frac{1}{5}\left( 1 \right)\)	\({x^2}\)의 계수가 1이 되도록 방정식의 각 변을 곱합니다.
\({x^2} + \frac{3}{5}x = \frac{1}{5}\)	제품이 배포됨 \(\frac{1}{2}\left( {\frac{3}{5}} \right) = \frac{3}{{10}}\)이므로 \({\left( { \frac{3}{{10}}} \right)^2} = \frac{9}{{100}}\)는 완전제곱 삼항식을 제공합니다.
\({x^2} + \frac{3}{5}x + \frac{9}{{100}} = \frac{1}{5} + \frac{9}{{100}}\)	방정식의 양변에 3을 더하여 \({\left( {x + 2} \right)^2}\)를 구합니다.
\({\left( {x + \frac{3}{{10}}} \right)^2}\)=\(\frac{{29}}{{100}}\)	완전제곱삼항식은 세제곱이항식으로 표현됩니다.
\(\sqrt {{{\left( {x + \frac{3}{{10}}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{29}}{{100}}} \ )	방정식의 각 변의 제곱근을 취합니다.
\(x = – \frac{3}{{10}} \pm \frac{{\sqrt {29} }}{{10}}\)	\(x\)에 대해 풉니다.

\(5{x^2} + 3x – 1 = 0\)의 해는 다음과 같습니다.
\(x = – \frac{{3 + \sqrt {29} }}{{10}},\; – \frac{{3 – \sqrt {29} }}{{10}}\)

위의 방정식에서 사용된 절차는 2차 솔루션에 대한 일반 공식이라고 불리는 것을 찾는 데 사용됩니다.

2차 방정식의 일반 공식.

이차방정식의 일반식

이 섹션에서는 일반적인 방법으로 이차 방정식을 푸는 방법을 알아봅니다.

\(a \ne 0\)로 방정식 \(a{x^2} + bx + c = 0\)을 생각해 봅시다.

\(a{x^2} + bx + c = a\left({{x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}} \right) = 0\)

\(a \ne 0\)이므로 다음을 풀기에 충분합니다.

\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)

\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)	초기 상황
\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} – \frac{c}{a} = – \frac{c}{a}\)	방정식의 각 변에 \( – \frac{c}{a}\)를 추가합니다.
\({x^2} + \frac{b}{a}x = – \frac{c}{a}\)	\(\frac{1}{2}\left( {\frac{b}{a}} \right) = \frac{b}{{2a}}\)이므로 \({\left( { \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}\)는 완전제곱삼항식을 생성합니다.
\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} = \frac{{{b^2}} }{{4{a^2}}} – \frac{c}{a}\)	방정식의 좌변은 완전제곱식 삼항식입니다.
\({\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{{b^2} – 4{a^2}c}}{{4{ ㄱ^2}}}\)	완전제곱삼항식은 제곱이항식으로 표현됩니다. 대수 분수가 수행됩니다.
\(\sqrt {{{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{{b^2} – 4{a^ 2}c}}{{4{a^2}}}} \)	방정식의 각 변의 제곱근을 취합니다.
\(\left| {x + \frac{b}{{2a}}} \right| = \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} }}{{2a} }\)	급진적 속성이 적용됩니다.
\(x + \frac{b}{{2a}} = \pm \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} }}{{2a}}\)	절대값 속성이 적용됩니다.
\(x + \frac{b}{{2a}} – \frac{b}{{2a}} = \pm \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} } }{{2a}} – \frac{b}{{2a}}\)	방정식의 각 변에 \( – \frac{b}{{2a}}\)를 추가하여 \(x\)를 구합니다.
\(x = \frac{{ – b \pm \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)	대수 분수가 수행됩니다.

항 \({b^2} – 4{a^2}c\)는 이차 방정식 \(a{x^2} + bx + c = 0\)의 판별식이라고 합니다.

위 방정식의 판별식이 음수이면 해는 복소수이며 실제 해는 없습니다. 복잡한 솔루션은 이 노트에서 다루지 않습니다.

2차 방정식 \(a{x^2} + bx + c = 0\)가 주어지면 \({b^2} – 4{a^2}c \ge 0\)인 경우. 그러면 이 방정식의 해는 다음과 같습니다.

\(\alpha = \frac{{ – b + \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

\(\베타 = \frac{{ – b – \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

표현식:

\(x = \frac{{ – b \pm \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

이차방정식의 일반식이라고 합니다.

실제 예 8: 방정식 \(3{x^2} – 2x – 5 = 0\) 풀기

\(에게\)	\(비\)	\(씨\)	차별	실제 솔루션
\(3\)	\( – 2\)	\( – 5\)	\({2^2} – 4\왼쪽( 3 \오른쪽)\왼쪽( { – 5} \오른쪽) = 4 + 60 = 64\)	\(x = \frac{{ – \left( { – 2} \right) \pm \sqrt {64} }}{{2\left( 3 \right)}} = \frac{{2 \pm 8} }{6}\)

방정식의 해는 다음과 같습니다.
\(\알파 = – 1,\;\베타 = \frac{5}{3}\)

실례 9: 방정식 풀기 \( – 4{x^2} + 3x + 9 = 0\)

\(에게\)	\(비\)	\(씨\)	차별	실제 솔루션
\( – 4\)	3	9	\({3^2} – 4\왼쪽( { – 4} \오른쪽)\왼쪽( 9 \오른쪽) = 9 + 144 = 153\) \(153 = 9\왼쪽( {17} \오른쪽)\)	\(x = \frac{{ – 3 \pm \sqrt {9\left( {17} \right)} }}{{2\left( { – 4} \right)}} = \frac{{ – 3 \pm 3\sqrt {17} }}{{ – 8}}\)

방정식의 해는 다음과 같습니다.
\(\alpha = \frac{{3 – 3\sqrt {17} }}{8},\;\beta = \frac{{3 + 3\sqrt {17} }}{8}\)

실례 10: 방정식 풀기 \(5{x^2} – 4x + 1 = 0\)

\(에게\)	\(비\)	\(씨\)	차별	실제 솔루션
\(5\)	-4	\(1\)	\({\왼쪽( { – 4} \오른쪽)^2} – 4\왼쪽( 5 \오른쪽)\왼쪽( 1 \오른쪽) = 16 – 20 = – 4\)	이 없습니다

기타 방정식

2차 방정식으로 변환할 수 있는 2차 방정식이 아닌데 두 가지 경우를 살펴보겠습니다.

실례 11: 등식 \(6x = 5 – 13\sqrt x \)의 실해 구하기

변수 \(y = \sqrt x \)를 변경하면 이전 방정식은 다음과 같이 유지됩니다.

\(6{y^2} = 5 – 13년\)

\(6{y^2} + 13y – 5 = 0\)

\(6{y^2} + 15y – 2y – 5 = 0\)

\(3y\left( {2y + 5} \right) – \left( {2y + 5} \right) = 0\)

\(\왼쪽( {2y + 5} \오른쪽)\왼쪽( {3y – 1} \오른쪽) = 0\)

따라서 \(y = – \frac{2}{5},\;\frac{1}{3}\).

\(\sqrt x \)는 양수 값만 나타내므로 다음 사항만 고려합니다.

\(\sqrt x = \;\frac{1}{3}\)

답변:

유일한 실제 솔루션은 다음과 같습니다.
\(x = \frac{1}{9}\)

예제 12: 방정식 풀기 \(\sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} – \sqrt {\frac{{x – 5}}{x}} = \frac{5}{6 }\)

변수 변경:

\(y = \sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} \)

우리는 방정식을 얻습니다.

\(y – \frac{1}{y} = \frac{5}{6}\)

\(6{y^2} – 6 = 5년\)

\(6{y^2} – 5년 – 6 = 0\)

\(6{y^2} – 9y + 4y – 6 = 0\)

\(3y\left( {2y – 3} \right) + 2\left( {2y – 3} \right) = 0\)

\(\왼쪽( {2y – 3} \오른쪽)\왼쪽( {3y + 2} \오른쪽) = 0\)

\(y\)의 가능한 값은 다음과 같습니다.

\(y = – \frac{2}{3},\;\frac{3}{2}\)

위의 것 중에서 긍정적인 해결책만 고려할 것입니다.

\(\sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} = \frac{3}{2}\)

\(\frac{x}{{x – 5}} = \frac{9}{4}\)

\(4x = 9x – 45\)

\(5x = 45\)

\(x = 9.\)

솔루션은 \(x = 9.\)입니다.