지수 함수 정의

지수함수는 다양한 자연현상과 사회·경제적 상황을 모델링하기 때문에 다양한 맥락에서 지수함수를 파악하는 것이 중요하다.

숫자 \({a^1} = a,{a^2} = aa,\;{a^3} = aaa\)에 대해 정의되어 있음을 기억합시다. 일반적으로 모든 \(n\ ) 자연수:

\(a \ne 0\)의 경우 다음과 같습니다. \({a^0} = 1,\;\) 사실 \(a \ne 0,\)일 때 (\frac{a}{a} = 1;\) 지수법칙을 적용하면 다음과 같습니다.

\(\frac{a}{a} = 1\)

\({a^{1 – 1}} = 1\)

\({a^0} = 1.\)

\(a = 0\)인 경우 이전 추론이 의미가 없으므로 \({0^0},\) 식은 수학적 해석이 부족합니다.

\(b > 0\)이고 \({b^n} = a,\)인 경우 \(b\)는 \(a\)의 n번째 루트이며 일반적으로 \ (b = {a^{\frac{1}{n}}},\;\) 또는 \(b = \sqrt[n]{a}\)로 표시됩니다.

\(a < 0\)일 때 \({b^2} = a;\)와 같은 실수 \(b\)는 없습니다. 형태의 표현 \({a^{\frac{m}{n}}}\)는 다음 대수식에서 \(a < 0.\)에 대해 고려되지 않습니다. \({a^n}\) \(a \ )는 기본이라고 하며 \(n\)은 지수라고 하는 \({a^n}\)는 \(a\)의 거듭제곱\(\;n\) 또는 \(a\)의 \(n,\;\)se 거듭제곱이라고도 합니다. 다음 법률을 준수합니다 지수:

\({a^n}{a^m} = {a^{n + m}}\)	\(\frac{{{a^n}}}{{{a^m}}} = {a^{n – m}}\)	\({\왼쪽( {{a^n}} \오른쪽)^m} = {a^{nm}} = {\왼쪽( {{a^m}} \오른쪽)^n}\)
\(\frac{1}{{{a^n}}} = {a^{ – n}}\)	\({a^n} = \frac{1}{{{a^{ – n}}}}\)	\({\left( {\frac{1}{a}} \right)^n} = \frac{1}{{{a^n}}}\)
\({\왼쪽( {ab} \오른쪽)^n} = {a^n}{b^n}\)	\({\left( {{a^{\frac{1}{n}}}} \right)^m} = {\left( {{a^m}} \right)^{\frac{1} {n}}} = {a^{\frac{m}{n}}}\)	각 \(a \n 0\)에 대해 \({a^0} = 1\)

지수 함수는 다음과 같은 형식입니다.

\(f\왼쪽( x \오른쪽) = {a^x}\)

여기서 \(a > 0\)은 상수이고 독립 변수는 지수 \(x\)입니다.

지수 함수를 분석하기 위해 세 가지 경우를 고려할 것입니다.

사례 1 밑이 \(a = 1.\)인 경우

이 경우 \(a = 1,\) 함수 \(f\left( x \right) = {a^x}\)는 상수 함수입니다.

사례 2 기저 \(a > 1\)인 경우

이 경우 다음이 있습니다.

\(x\)의 값
\(x < 0\)	\(0 < {a^x} < 1\)
\(x = 0\)	\({a^0} = 1\)
\(0 < x < 1\)	\(1 < {a^x} < a\)
\(x = 1\)	\({a^x} = 1\)
\(x > 1\)	\(a < {a^x}\)

함수 \(f\left( x \right) = {a^x}\)는 엄격하게 증가하는 함수입니다. 즉, \({x_2} > {x_1}\)이면 다음과 같습니다.

\({a^{{x_2}}} > a_{}^{{x_2}}\)

\(f\left( {{x_2}} \right) > f\left( {{x_1}} \right)\)

현상이 \(a > 1\)인 지수 함수로 모델링될 때 지수적 성장을 나타낸다고 합니다.

사례 2 기저 \(a < 1\)인 경우.

\(x\)의 값
\(x < 0\)	\({a^x} > 1\)
\(x = 0\)	\({a^0} = 1\)
\(0 < x < 1\)	\(0 < {a^x} < 1\)
\(x = 0\)	\({a^x} = 1\)
\(x > 1\)	\(0 < {a^x} < a < 1\)

\(a < 1\)일 때 함수 \(f\left( x \right) = {a^x}\)는 엄격하게 감소하는 함수입니다. 즉, \({x_2} > {x_1}\ ), 그래서:

\({a^{{x_2}}} < a_{}^{{x_1}}\) \(f\left( {{x_2}} \right) < f\left( {{x_1}} \right) \) 현상이 있을 때 \(a < 1\)와 함께 지수 함수가 있는 모델은 감소 또는 감소를 나타냅니다. 기하급수적. 다음 그래프는 세 가지 다른 경우에서 \({a^x}\)의 동작을 보여줍니다.

지수 함수의 응용

실시예 1 인구 증가

인구 비율이 시간이 지남에 따라 일정하게 유지되는 경우 초기 인구를 \({P_0}\)로 표시하고 인구 증가율을 \(r \ge 0\)로 표시합니다. 함수

\(P\왼쪽( t \오른쪽) = {P_0}{\왼쪽( {1 + r} \오른쪽)^t};\)

시간 t에서 모집단을 찾습니다.

실례 1

2021년 멕시코 인구는 1억 2,600만 명이며 연평균 1.1%의 성장률을 보이고 있습니다. 이 성장이 유지된다면 2031년에 멕시코의 인구는 얼마나 될까요? 2021?

해결책

이 경우 \({P_o} = 126\) 및 \(r = \frac{{1.1}}{{100}} = 0.011\)이므로 다음을 사용해야 합니다.

\(P\왼쪽( t \오른쪽) = {P_0}{\왼쪽( {1 + .0011} \오른쪽)^t}\)

다음 표는 결과를 보여줍니다.

년도	경과 시간 (\(티\))	계산	인구(백만)
2021	0	\(P\왼쪽( t \오른쪽) = 126{\왼쪽( {1.0011} \오른쪽)^0}\)	126
2031	10	\(P\왼쪽( t \오른쪽) = 126{\왼쪽( {1.0011} \오른쪽)^{10}}\)	140.57
2051	30	\(P\왼쪽( t \오른쪽) = 126{\왼쪽( {1.0011} \오른쪽)^{30}}\)	174.95

실시예 2 복리 계산

은행은 연간 이자율을 제시하지만 실질 이자율은 투자한 달 수에 따라 다릅니다. 예를 들어 연이율 r%를 제안받은 경우 실질 월 이율은 \(\frac{r}{{12}}\)%이고 격월 이율은 \(\frac{r}{6}\)%, 분기별은 \(\frac{r}{4}\)%, 분기별은 \(\frac{r}{3}\)%, 학기는 다음과 같습니다. \(\frac{r}{2}\)%.

실제 예 2

은행에 10,000달러를 투자하고 다음과 같은 연간 이자율을 제공한다고 가정합니다.

정기예금	연율	1년의 기간	실제 비율	\(k\)개월 누적금액
이 개월	0.55%	6	\(\frac{{0.55\% }}{6} = 0.091667{\rm{\% }}\)	\(10000{\왼쪽( {1 + 0.00091667} \오른쪽)^{\frac{k}{2}}}\)
삼 개월	1.87%	4	\(\frac{{1.87\% }}{4} = 0.4675{\rm{\% }}\)	\(10000{\왼쪽( {1 + 0.00461667} \오른쪽)^{\frac{k}{3}}}\)
6개월	1.56%	2	\(\frac{{1.56\% }}{4} = 0.78{\rm{\% }}\)	\(10000{\왼쪽( {1 + 0.0078} \오른쪽)^{\frac{k}{6}}}\)

수 \(e\), 오일러의 지속적이고 지속적인 관심.

이제 초기 자본 \(C\)가 있고 고정 비율 \(r > 0\)로 투자하고 연도를 \(n\) 기간으로 나눈다고 가정합니다. 1년 동안 축적된 자본은 다음과 같습니다.

\(A = \;C{\left( {1 + \frac{r}{n}} \right)^n}\)

\(n\)이 증가할 때 축적된 자본이 어떻게 작용하는지 분석하기 위해 축적된 자본을 1년에 다시 작성합니다.

\(A = \;C{\left( {1 + \frac{r}{n}} \right)^n}\)\(A = \;C{\left( {1 + \frac{1} {{\frac{n}{r}}}} \right)^{\left( {\frac{n}{r}} \right) r}},\)

\(m = \frac{n}{r}\)를 수행하면 다음을 얻습니다.

\(A = C{\left( {1 + \frac{1}{m}} \right)^{mr}}\)\(A = C{\left( {{{\left( {1 + \ frac{1}{m}} \right)}^m}} \right)^r}.\)

\(n\)이 증가하면 \(m = \frac{n}{r}.\)도 증가합니다.

\(m = \frac{n}{r},\)가 커짐에 따라 \({\left( {1 + \frac{1}{m}} \right)^m}\) 식은 오일러 상수 또는 숫자:

\(e \약 2.718281828 \ldots .\)

오일러 상수에는 유한 또는 주기적 십진수 표현이 없습니다.

다음과 같은 근사치가 있습니다.

\(C{\left( {{{\left( {1 + \frac{1}{m}} \right)}^m}} \right)^r} \약 C{e^r},\) \(C{\left( {1 + \frac{r}{n}} \right)^{ns}} \약 C{e^{rs}}.\)

식으로:

\(A = \;C{e^r},\)

두 가지 방식으로 해석할 수 있습니다.

1.- 연이율 \(r.\)로 자본 \(C,\;\)을 투자했을 때 1년 동안 축적할 수 있는 최대 금액

2.- 우리 자본이 연간 비율로 지속적으로 재투자되는 경우 1년 동안 축적할 금액 \(r.\)

\(T\left( s \right) = \;C{e^{rs}},\)

는 연속 이자로 \(s\)년을 투자했을 때 누적되는 금액입니다.

구체적인 예 3

이제 연이율이 격월로 0.55%인 구체적인 예 2의 일부로 돌아가겠습니다. 초기자본금이 10,000이고 반년, 2년, 28개월 재투자했을 때 쌓이는 자본금을 계산하시오.

\(10{\left( {1.00091667} \right)^{\frac{6}{2}}} = 10.{\rm{\;}}027525\)

아래 표에서 볼 수 있듯이 \(m = \frac{n}{r},\)의 값은 "작지" 않으며 위의 표는 \({\left( {1 + \frac{1}{ m}} \right)^m}\)은 오일러 상수에 가깝습니다.

시간	기간 수(\(k\))	2개월마다 재투자되는 누적 자본(단위: 천)
반년	3	\(10{\왼쪽( {1.00091667} \오른쪽)^3} = 10.{\rm{\;}}027525\)
이년	12	\(10{\left( {1.00091667} \right)^{12}} = 10110.{\rm{\;}}557\)
38개월	19	\(10{\왼쪽( {1.00091667} \오른쪽)^{19}} = 10.\;175612\)

시간	시간(\(s\))	축적된 자본, 수천, 지속적인 관심으로 투자
반년	\(s = \frac{1}{2}\)	\(10{e^{0.0055\left( {\frac{1}{2}} \right)}} = 10.{\rm{\;}}027538\)
이년	\(초 = 2\)	\(10{\왼쪽( {1.00091667} \오른쪽)^{0.0055\왼쪽( 2 \오른쪽)}} = 10110.{\rm{\;}}607\)
38개월	\(s = \frac{{19}}{6}\)	\(10{\left( {1.00091667} \right)^{\frac{{19}}{6}}} = 10.\;175692\)

사례 2 감가상각

실례 1

컴퓨터 가격이 $20,000 페소라면 매년 30%씩 감가 상각됩니다. \(t = 1,12,\;14,\;38\)개월 동안의 컴퓨터 가격을 결정하십시오.

이 경우 다음이 있습니다.

\(P\left( t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – 0.30} \right)^t}\)

년 단위 \(t\)로 다음 표에서 \(t\)로 대체하면 다음과 같습니다.

몇 달 동안의 시간	몇 년 동안의 시간	계산	수치
1	\(\frac{1}{{12}}\)	\(P\left( t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \right)^{\frac{1}{{12}}}}\)	19414.289
12	1	\(P\left( t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \right)^1}\)	14000
14	\(\frac{7}{6}\)	\(P\left( t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \right)^{\frac{7}{6}}}\)	13192.012
38	\(\frac{{19}}{6}\)	\(P\left( t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \right)^{\frac{7}{6}}}\)	6464.0859