산술 진행의 정의

일련의 숫자 \({a_1},\;{a_2},{a_3}, \ldots \) ​​는 연속된 두 숫자의 차이가 같은 숫자 \(d\)와 같을 때 등차 수열이라고 합니다. 예:

\({a_{n + 1}} - {a_n} = d\)

수 \(d\)는 산술 수열의 차이라고 합니다.

\({a_1}\) 요소는 산술 시퀀스의 첫 번째 요소라고 합니다.

산술 수열의 요소는 첫 번째 요소와 그 차이로 표현될 수 있습니다.

\({a_1},{a_1} + d,{a_1} + 2d,{a_1} + 3d\)

그것들은 산술 진행의 처음 네 가지 요소입니다. 일반적으로 \(k – \)번째 요소는 다음과 같이 표현됩니다.

\({a_k} = {a_1} + \left( {k – 1} \right) d\)

위의 식에서 우리는 다음을 얻습니다.

\({a_k} – {a_l} = {a_1} + \left( {k – 1} \right) d – \left( {{a_1} + \left( {l – 1} \right) d} \right )\)

\({a_k} – {a_l} = \left( {k – l} \right) d\)

위의 표현은 다음과 동일합니다.

\({a_k} = {a_l} + \left( {k – l} \right) d\)

산술 진행에 적용되는 예

1. 산술 진행의 차이 찾기: \(3,8,13,18, \ldots \) ​​및 요소 \({a_{20}},\;{a_{99}}\) 찾기

해결책

\(5 = 8 – 3 = 13 – 8 = 18 – 3\)이므로 차이는 다음과 같습니다.

\(d = 5\)

\({a_{20}} = {a_1} + \left( {20 – 1} \right) d = 3 + 19\left( 5 \right) = 98\)

\({a_{99}} = {a_1} + \left( {99 – 1} \right) d = 3 + 98\left( 5 \right) = 493\)

2. 산술 수열에서 \({a_{17}} = 20\;\) 및 \({a_{29}} = – 130\), 산술 수열의 차이를 결정하고 처음 5개 요소를 씁니다.

해결책

착용

\({a_k} – {a_l} = \left( {k – l} \right) d\)

\({a_{29}} – {a_{17}} = \left( {29 – 17} \right) d\)

\( – 130 – 20 = \왼쪽( {12} \오른쪽) d\)

\( – 150 = \왼쪽( {12} \오른쪽) d\)

\(12d = – 150\)

\(d = – \frac{{150}}{{12}} = – \frac{{25}}{2}\)

처음 5개 요소를 찾으려면 우리는 \({a_1}\)를 계산할 것입니다:

\({a_k} = {a_1} + \left( {k – 1} \right) d\)

\({a_{17}} = {a_1} + \left( {17 – 1} \right)\left( { – \frac{{25}}{2}} \right)\)

\(20 = {a_1} + \left( {16} \right)\left( { – \frac{{25}}{2}} \right)\)

\(20 = {a_1} – 200\)

\({a_1} = 20 + 200 = 220\)

처음 5개 요소는 다음과 같습니다.

\(220,220 + \left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 2\left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 3 \left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 4\left( { – \frac{{25}}{2}} \right)\)

\(220,\frac{{415}}{2},195,\frac{{365}}{2},170\)

다각형 수와 산술 수열의 첫 번째 \(n\) 요소의 합

삼각수

삼각수 \({T_n}\;\)는 산술 수열로 형성됩니다. \(1,2,3,4 \ldots \); 다음과 같은 방법으로.

\({T_1} = 1\)

\({T_2} = 1 + 2 = 3\)

\({T_3} = 1 + 2 + 3 = 6\)

\({T_4} = 1 + 2 + 3 + 4 = 10\)

제곱수

제곱수 \({C_n}\;\)는 산술 진행으로 구성됩니다. \(1,3,5,7 \ldots \); 다음과 같이

\({C_1} = 1\)

\({C_2} = 1 + 3 = 4\)

\({C_3} = 1 + 3 + 5 = 9\)

\(C{\;_4} = 1 + 3 + 5 + 7 = 16\)

오각형 숫자

제곱수 \({P_n}\;\)는 산술 진행으로 구성됩니다. \(1,3,5,7 \ldots \); 다음과 같이

\({P_1} = 1\)

\({P_2} = 1 + 4 = 5\)

\({P_3} = 1 + 4 + 7 = 12\)

\({P_4} = 1 + 4 + 7 + 10 = 22\)

다음으로, 우리는 산술 진행의 첫 \(n\) 요소의 합을 구하는 공식을 보여줄 것입니다.

산술 진행이 주어지면 \({a_1},{a_2} = {a_1} + d,{a_3} + 2d, \ldots .,{a_n} = {a_1} + \left( {n – 1} \right) 디\). 합계 \({S_n} = {a_1} + {a_2} + {a_3} + \ldots + {a_n};\)를 계산하려면 다음 공식을 사용할 수 있습니다.

\({S_n} = \frac{{n\left( {{a_1} + {a_n}} \right)}}{2}\)

이는

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{a_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

앞의 공식을 적용하면 삼각수, 사각수, 오각형 수를 계산하는 공식을 얻을 수 있습니다. 다음 표에 나와 있습니다.

다각형 수	\({a_1}\)	\(디\)	공식
삼각형 \(n – \)번째	1	1	\({T_n} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\)
제곱 \(n – \)번째	1	2	\({C_n} = {n^2}\)
오각형 \(n – \)번째	1	3	\({P_n} = \frac{{n\left({3n – 1} \right)}}{2}\)

다각형 숫자의 예

3. 예 2에서 \({S_{33}}\)를 계산합니다.

해결책

이 경우 \({a_1} = 200\) 및 \(d = – \frac{{25}}{2}\)

지원

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{a_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

\({S_{33}} = \frac{{34\left( {2\left( {200} \right) + \left( {33 – 1} \right)\left( { – \frac{{25 }}{2}} \right)} \right)}}{2}\)

\({S_{33}} = 17\왼쪽( {400 + 16\왼쪽( { – 25} \오른쪽)} \오른쪽) = 17\왼쪽( 0 \오른쪽) = 0\)

산술 수단

두 개의 숫자 \(a\;\) 및 \(b,\)가 주어지면 숫자 \({a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}}\)는 \(k\) 수단이라고 합니다. 산술 숫자 \(a\;\) 및 \(b\); 시퀀스 \(a,{a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}},b\)가 산술 수열인 경우.

수 \(a\;\)와 \(b\)의 \(k\) 산술 수단의 값을 알기 위해서는 산술 수열의 차이를 아는 것으로 충분합니다. 존경받는:

\(a = {a_1},{a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}},{a_{k + 2}} = b,\)

위에서 우리는 관계를 설정합니다.

\(b = a + \left( {k + 2 – 1} \right) d\)

\(d\)를 풀면 다음을 얻습니다.

\(d = \frac{{b – a}}{{k + 1}}\)

예

4. 숫자 -5와 25 사이에서 7개의 산술 평균을 찾습니다.

해결책

신청할 때

\(d = \frac{{b – a}}{{k + 1}}\)

\(b = 25,\;a = – 5\) 및 \(k = 7\;\):

\(d = \frac{{25 – \left( { – 5} \right)}}{{7 + 1}} = \frac{{30}}{8} = \frac{{15}}{4 }\)

7개의 산술 수단은 다음과 같습니다.

\( – \frac{5}{4},\;\frac{5}{2},\;\frac{{25}}{4},10,\frac{{55}}{4},\ frac{{35}}{2},\frac{{85}}{4}\)

9. 어떤 사람은 냉장고를 사기 위해 계약금으로 $2,000를 내고 나머지는 신용카드로 18개월 동안 무이자로 지불했습니다. 그는 냉장고 값을 지불하기 위해 취득한 빚을 청산하기 위해 한 달에 550달러를 지불해야 합니다.

에게. 냉장고 비용은 얼마입니까?

비. 이자 없이 12개월 동안 나머지 금액을 지불했다면 월 지불액은 얼마입니까?

해결책

에게. 이 경우:

\({a_{19}} = 2000 + 18\왼쪽( {550} \오른쪽)\)

\({a_{19}} = 2000 + 9900 = 11900\)

비. 숫자 2000과 11900 사이에서 11개의 산술 평균을 찾아야 합니다.

\(d = \frac{{11900 – 2000}}{{12}} = 825\)

5. 시퀀스 \(7,\;22,\;45,\;76,115,162\)가 주어지면 다음 세 가지 요소와 요소 \(n\)의 일반적인 표현을 찾으십시오.

해결책

문제의 수열은 \(22 – 7 \ne 45 – 22\)이므로 산술 진행이 아니지만 다음과 같이 만들 수 있습니다. 두 연속 요소의 차이가 있는 시퀀스이며 다음 표는 결과:

시퀀스 \({b_n}\)의 요소	시퀀스 \(\;{c_n} = {b_n} – {b_{n – 1}}\)	\(d = {c_{n + 1}} – {c_n}\)
\({b_1} = 7\)	\({c_1} = {b_1}\)
\({b_2} = 22\)	\({c_2} = {b_2} – {b_1} = 15\)	\({c_2} – {c_1} = 8\)
\({b_3} = 45\)	\({c_3} = {b_3} – {b_2} = \)23	\({c_3} – {c_2} = 8\)
\({b_4} = 76\)	\({c_4} = {b_4} – {b_3} = 31\)	\({c_4} – {c_3} = 8\)
\({b_5} = 115\)	\({c_5} = {b_5} – {b_4} = 39\)	\({c_5} – {c_4} = 8\)
\({b_6} = 162\)	\({c_6} = {b_6} – {b_5} = 47\)	\({c_6} – {c_5} = 8\)

위 표의 세 번째 열은 시퀀스 \(15,\;23,31,39,\;47, \ldots .\); 차이가 \(d = 8\)인 산술 시퀀스입니다.

다음으로 시퀀스 \({c_n},\)의 관점에서 시퀀스 \({b_n}\)의 요소를 작성합니다.

\({b_1} = {c_1}\)

\({b_2} = {c_1} + {c_2}\)

\({b_3} = {b_2} + {c_3} = {c_1} + {c_2} + {c_3}\)

\({b_4} = {b_3} + {c_4} = {c_1} + {c_2} + {c_3} + {c_4}\)

일반적으로 다음이 있습니다.

\({b_n} = {c_1} + {c_2} + {c_3} + \ldots + {c_n}\;\)

신청할 때

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{c_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

\({c_1} = 7\) 및 \(d = 8,\)로 다음을 얻습니다.

\({b_n} = \frac{{n\left( {14 + \left( {n – 1} \right) 8} \right)}}{2}\)

\({b_n} = n\left( {7 + 4\left( {n – 1} \right)} \right)\)

\({b_n} = n\왼쪽( {4n + 3} \오른쪽)\)

이전 공식 적용: \({b_7} = 217,\;{b_8} = 280,\;{b_9} = 351\)