급진파 합리화의 정의(수학)

라디칼의 합리화는 분모에 라디칼 또는 근이 있는 몫이 있을 때 수행되는 수학적 과정입니다. 이러한 방식으로 근호가 있는 몫과 다른 유형의 수학적 개체가 관련된 수학적 연산을 용이하게 할 수 있습니다.

근호가 ​​있는 몫의 유형

합리화될 수 있는 라디칼이 있는 일부 유형의 몫을 언급하는 것이 중요합니다. 그러나 능률화 프로세스에 완전히 들어가기 전에 몇 가지 중요한 개념을 기억해야 합니다. 먼저 \(\sqrt[m]{n}\) 식이 있다고 가정합니다. 이것은 숫자 \(n\)의 루트 \(m\)입니다. 즉, 상기 작업의 결과는 \(m\)의 거듭제곱으로 숫자 \(n\)을 제공하는 숫자입니다. 결과적으로). 거듭제곱과 루트는 \(\sqrt[m]{{{n^m}}} = n\)과 같은 방식으로 역 연산입니다.
다른 한편으로, 두 개의 동일한 근의 곱은 곱의 근과 같다는 것을 언급할 가치가 있습니다. 즉, \(\sqrt[m]{n}\sqrt[m]{p} = \sqrt[m ]{{np}}\). 이 두 속성은 합리화할 때 최고의 동맹이 될 것입니다.

우리가 찾을 수 있는 근호가 있는 가장 일반적이고 간단한 유형의 몫은 다음과 같습니다.

\(\frac{a}{{b\sqrt c }}\)

여기서 \(a\), \(b\) 및 \(c\)는 임의의 실수일 수 있습니다. 이 경우 합리화 과정은 근호를 제거하기 위해 몫에서 \(\sqrt {{c^2}} = c\) 식을 얻는 방법을 찾는 것으로 구성됩니다. 이 경우 분자와 분모 모두에 \(\sqrt c \)를 곱하면 충분합니다.

\(\frac{a}{{b\sqrt c }} = \frac{a}{{b\sqrt c }}\frac{{\sqrt c }}{{\sqrt c }} = \frac{{ a\sqrt c }}{{b\sqrt c \sqrt c }}\)

위에서 언급한 것을 기억하면 \(\sqrt c \sqrt c = \sqrt {{c^2}} = c\)임을 알 수 있습니다. 따라서 최종적으로 다음을 얻습니다.
\(\frac{a}{{b\sqrt c }} = \frac{a}{{bc}}\sqrt c \)

이런 식으로 우리는 이전 표현을 합리화했습니다. 이 표현은 다음과 같은 일반 표현의 특수한 경우에 지나지 않습니다.

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{c^m}}}}}\)

여기서 \(a\), \(b\), \(c\)는 실수이고 \(n\), \(m\)은 양의 거듭제곱입니다. 이 식의 합리화는 앞의 식과 동일한 원리, 즉 분모에서 \(\sqrt[n]{{{c^n}}} = c\) 식을 구하는 것입니다. 분자와 분모에 \(\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}\)을 곱하면 됩니다.

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{c^m}}}}} = \frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}} }\frac{{\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}{{\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}} = \frac{{a\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}\)

다음과 같이 분모에서 라디칼의 곱을 개발할 수 있습니다. \(\sqrt[n]{{{c^m}}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}} = \sqrt[n]{{{c^m}{c^ {n – m}}}} = \sqrt[n]{{{c^{m + \left( {n – m} \right)}}}} = \sqrt[n]{{{c^n}}} = c\). 따라서 합리화 지수는 다음과 같이 유지됩니다.

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{c^m}}}}} = \frac{a}{{bc}}\sqrt[n]{{{c^{n – 중}}}}\)

합리화될 수 있는 근호가 있는 또 다른 유형의 몫은 분모에 제곱근이 있는 이항식이 있는 것입니다.

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }}\)

여기서 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) 및 \(e\;\)는 실수입니다. \( ± \) 기호는 부호가 양수 또는 음수일 수 있음을 나타냅니다. 분모 이항식은 근을 둘 다 가질 수도 있고 하나만 가질 수도 있지만 보다 일반적인 결과를 얻기 위해 이 경우를 사용합니다. 이 경우 합리화 프로세스를 수행하는 중심 아이디어는 이전 사례와 동일하지만 이 경우 우리는 분자와 분모 모두에 다음에서 발견되는 이항식의 공액을 곱할 것입니다. 분모. 이항의 켤레는 항이 같지만 중심 기호가 원래 이항과 반대인 이항입니다. 예를 들어, 이항 \(ux + vy\)의 켤레는 \(ux – vy\)입니다. 즉, 우리는 다음을 갖습니다.

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }}\frac{{b\sqrt c \ mp d\sqrt e }}{{b\sqrt c \mp d\sqrt e }} = \frac{{a\left( {b\sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}{{\left( {b\sqrt c \pm d\sqrt e } \right)\left( {b \sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}\)

기호 \( \mp \)는 부호가 양수 또는 음수일 수 있지만 이항식이 켤레화되려면 분모 기호와 반대여야 함을 나타냅니다. 분모의 이항식의 곱셈을 전개함으로써 우리는 다음을 얻습니다:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{{a\left( {b\sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}{{{ b^2}\sqrt {{c^2}} + bd\sqrt {ce} – bd\sqrt {ce} – {d^2}\sqrt {{e^2}} }}\)

마침내 우리는 다음을 얻습니다.

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{a}{{{b^2}c – {d^2}e}}\left( {b\ sqrt c \mp d\sqrt e } \right)\)

이것으로 우리는 급진적으로 몫을 합리화했습니다. 라디칼이 있는 이러한 몫은 일반적으로 합리화될 수 있는 몫입니다. 다음으로 급진파 합리화의 몇 가지 예를 볼 것입니다.

예

위에서 언급한 유형의 라디칼이 있는 몫으로 합리화의 몇 가지 예를 살펴보겠습니다. 먼저 다음과 같은 몫이 있다고 가정합니다.

\(\frac{3}{{7\sqrt 2 }}\)

이 경우 분자와 분모에 \(\sqrt 2 \)를 곱하면 충분합니다.

\(\frac{3}{{7\sqrt 2 }} = \frac{3}{{7\sqrt 2 }}\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = \frac{3 }{{7\sqrt 2 \sqrt 2 }}\sqrt 2 = \frac{3}{{7\sqrt 4 }}\sqrt 2 = \frac{3}{{14}}\sqrt 2 \)

이제 근호와 함께 다음과 같은 몫이 있다고 가정합니다.

\(\frac{2}{{3\sqrt[6]{{4^3}}}}}\)

이 경우 우리는 3차 거듭제곱의 6제곱근을 가집니다. 이전 섹션에서 우리는 \(\sqrt[n]{{{c^m}}}\) 형식의 근호가 있는 경우 분모, 우리는 분자와 분모에 \(\sqrt[n]{{{c^{n을 곱하여 몫을 합리화할 수 있습니다. -중}}}}\). 이것을 여기에 제시된 경우와 비교하면 \(n = 6\), \(c = 4\) 및 \(m = 3\)임을 알 수 있습니다. 따라서 분자와 분모에 다음을 곱하여 이전 몫을 합리화할 수 있습니다. \(\sqrt[6]{{{4^3}}}\):

\(\frac{2}{{3\sqrt[6]{{4^3}}}}} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}} }\frac{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}}{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}\sqrt[6]{{{4^3}}}}}\sqrt[6]{{{4^3} }} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^6}}}}}\sqrt[6]{{{4^3}}} = \frac{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}}{6}\)

마지막으로 다음과 같은 함수가 있다고 가정합니다.

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }}\)

이전 섹션에 표시된 것처럼 근호를 사용하여 이러한 유형의 몫을 합리화하려면 분자와 분모에 분모의 켤레를 곱해야 합니다. 이 경우 분모의 공액은 \(x – \sqrt x \)가 됩니다. 따라서 식은 다음과 같을 것입니다.

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }}\frac{{x – \sqrt x }}{{x – \sqrt x }} = \frac{1}{{\left( {x + \sqrt x } \right)\left( {x – \sqrt x } \right)}}\left( {x – \sqrt x } \right)\)

분모의 켤레 이항식의 곱셈을 개발하면 최종적으로 다음을 얻습니다.

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }} = \frac{{x – \sqrt x }}{{{x^2} – x}}\)

참조

Aguilar Arturo, Bravo Fabián, Gallegos Herman, Cerón Miguel & Reyes Ricardo. (2009). 산수. 멕시코: 피어슨 교육.