Neeuklido geometrijos apibrėžimas

Iš esmės neeuklido geometrijos yra tos, kurios atsiranda kvestionuojant vadinamąsias 5-asis Euklido postulatas, todėl labai svarbu bendrai apibūdinti Euklido, kuris buvo graikų matematikas ir geometras, kurio darbas yra paradigminis. Geometrija, laikyti vienu iš jos įkūrėjų. Tai žinoma su tam tikrais saugumo gyvenęs Aleksandrijos mieste, antikos kultūros židinyje, maždaug 300 m. pr. Kr. c.

Jo darbas Elementai jis prasideda „principų“ serija, sudaryta iš 23 apibrėžimų sąrašo; po to seka 5 postulatai, nurodantys figūros konkrečiai geometrinis; ir 5 bendrosios aksiomos, bendros kitoms matematinėms disciplinoms. Toliau, po principų, Euklidas pristato dviejų tipų „pasiūlymus“: problemas, nurodytas

pastatas figūrėlės su taisykle ir kompasu; ir teoremos, nurodančios savybių, kurias kai kurios geometrines figūras.

Penktasis Euklido postulatas

Jis teigia, kad „Jei tiesi linija, kuri patenka į dvi kitas tiesias linijas, padaro tos pačios pusės vidinius kampus mažesnius už dvi tiesias linijas, tada, jei dvi linijos yra pratęstos neribotą laiką, jos susikerta toje pusėje, kurioje kampai yra mažesni už du tiesiai”. Jei kampai būtų teisingi, tai tokios tiesės pagal apibrėžimą Nr. 23 būtų lygiagrečios ("Lygiagrečios tiesės – tai tiesės, kurios, jeigu yra toje pačioje plokštumoje ir yra neribotą laiką tęsiamos, nesusitinka jokia kryptimi.”).

Šis postulatas, sudėtingesnis už ankstesnius, savaime nebuvo neabejotinas: nebuvo akivaizdu, kad pratęsiant tiesių neribotą laiką, jos susikirstų toje pusėje, kur kampai buvo mažesni nei du stačiakampiai, nes to nebūtų įmanoma įrodyti pastatas. Tada liko atvira galimybė, kad linijos neribotą laiką artėjo viena prie kitos, niekada nesusikirsdamos.

Bandymai įrodyti penktąjį postulatą

Būtent dėl ​​šios priežasties nuo Antikos iki XIX amžiaus vidurio buvo virtinė nesėkmingų bandymų įrodyti penktąjį postulatą: įrodymas visada buvo pasiektas; bet įvedant kokį nors kitą papildomą postulatą (logiškai atitinkantį penktąjį), skirtingą nuo Euklido. Tai yra, penktasis postulatas negalėjo būti įrodytas, bet buvo pakeistas lygiaverčiu.

To pavyzdys yra John Playfair postulatas (s. XVIII): „Vienas taškas, lygiagretus šiai tiesei, eina per tašką, esantį už tos pačios plokštumos linijos." (žinomas kaip "lygiagretus postulatas”). Neeuklido geometrijos kyla būtent iš nesėkmingų bandymų įrodyti penktąjį Euklido sistemos postulatą.

Saccheri absurdo testas

1733 m. italų matematikas Girolamo Saccheri bandė įrodyti penktojo Euklido postulato absurdiškumą. Norėdami tai padaryti, jis pastatė keturkampį (žinomą kaip "Saccheri keturkampis“, kuriame viena kampų pora yra stačiakampiai) ir teigė, kad penktasis postulatas yra lygiavertis teiginiui, kad būdingi kampai (esančios priešingos stačiųjų kampų porai) to keturkampio taip pat yra stačiakampiai. tada yra trys hipotezė galimas, vienas kitą nepaneigiantis: kad du būdingi kampai yra statūs, smailus arba bukas. Norint įrodyti penktąjį postulatą absurdu, reikėjo įrodyti (nesiimant penktuoju postuluota), kad bukojo ir smailiojo kampo hipotezės reiškė prieštaravimą ir todėl buvo klaidinga.

Saccheri pavyko įrodyti, kad bukojo kampo hipotezė yra prieštaringa, tačiau jam nepavyko smailaus kampo atveju. Priešingai, jis išvedė daugybę teoremų, atitinkančių ir nesuderinamą su Euklido geometrija. Galiausiai jis padarė išvadą, kad, atsižvelgiant į šių teoremų keistumą, hipotezė turi būti klaidinga. Vadinasi, jis manė, kad penktąjį postulatą įrodė absurdiškas; tačiau tai, ką jis padarė, netyčia įrodė svarbią neeuklido geometrijos teoremų rinkinį.

Neeuklido geometrijų „vienalaikis“ atradimas

Carlas F. Gaussas devynioliktame amžiuje pirmasis įtarė, kad penktojo postulato negalima įrodyti iš kitų keturių (tai yra, kad jis buvo nepriklausomai) ir sumanant neeuklido geometrijos, kuri buvo pagrįsta keturiais Euklido postulatais ir neigimu penktoji. Jis niekada nepaskelbė savo atradimo: tai laikomas atvejis vienalaikis atradimas, nes turėjo tris nepriklausomus referentus (pats Gausas, Jánosas Bolyai ir Nikolajus Lobačevskis).

Neigimas penktoji įstatymas Euklido formulė reiškia dvi galimybes (paimant lygiavertę Playfair formuluotę): per tašką, esantį už tiesios linijos, lygiagrečiai nepraeina arba daugiau nei vienas lygiagretus praeina. Tarp neeuklido geometrijų randame, pavyzdžiui, geometriją "įsivaizduojamasLobačevskis, vėliau žinomas kaiphiperbolinis"- pagal"Duotas išorinis tiesės taškas, per tą tašką eina begalinės susikertančios tiesės, begalinės nesikertančios tiesės ir tik dvi lygiagrečios tiesės.“, skirtingai nei unikali Euklido paralelė; arba Bernhardo Riemanno elipsinė geometrija, kuri teigia, kad "Per tašką, esantį už tiesės, jokia lygiagreta šiai linijai nepraeina.”.

Atradimo taikymas ir pasekmės

Šiuo metu žinoma, kad vietinėje erdvėje abi geometrijos duoda apytikslius rezultatus. Skirtumai atsiranda, kai fizinė erdvė apibūdinama viena ar kita geometrija, atsižvelgiant į didelius atstumus. Nors mes ir toliau naudojame euklido geometriją, kadangi ji yra ta, kuri paprasčiausiai apibūdina mūsų erdvę vietiniu mastu, atradimas neeuklido geometrijos buvo lemiamos tiek, kiek tai reiškė radikalų tiesų supratimo transformaciją mokslinis.

Iki tol buvo manoma, kad Euklido geometrija tikrai apibūdina erdvę. Įrodant galimybę jį apibūdinti per kitą geometriją, su kitais postulatais, reikėjo permąstyti kriterijus, pagal kuriuos būtų galima daryti prielaidą, kad yra vienas ar kitas paaiškinimas, pavyzdžiui, "tiesa”.

Bibliografija

MARTINEZ LORCA, A. (1980) „Sokrato etika ir jų įtaka maniau Occidental“, Revista Baética: Estudios de Arte, Geografija ir Istorija, 3, 317-334. Malagos universitetas.

Neeuklido geometrijos temos