Kas yra Maksvelo lygtys ir kaip jos apibrėžiamos?

Angelas Zamora Ramirez | liepos mėn. 2022
Fizikos laipsnis

Prieš šias lygtis buvo sakoma, kad elektrinės ir magnetinės jėgos yra „jėgos per atstumą“, nebuvo žinomos jokios fizinės priemonės, kuriomis įvyktų tokia sąveika. Po daugelio metų tyrimų elektros Y magnetizmasMichaelas Faradėjus suprato, kad erdvėje tarp krūvių ir elektros srovių turi būti kažkas fizinio, kas leistų jiems sąveikauti tarpusavyje ir atskleisti visas Elektrinius ir magnetinius reiškinius, kurie buvo žinomi, jis iš pradžių pavadino juos „jėgos linijomis“, dėl kurių kilo mintis apie elektromagnetinio lauko egzistavimą.

Remdamasis Faradėjaus idėja, Jamesas Clerkas Maxwellas sukuria lauko teoriją, pavaizduotą keturiomis dalinėmis diferencialinėmis lygtimis. Maxwellas tai pavadino „elektromagnetine teorija“ ir buvo pirmasis, įtraukęs tokio tipo matematinę kalbą į fizikinę teoriją. Maksvelo lygtys jų diferencine forma vakuumui (ty, jei nėra dielektrinių ir (arba) poliarizuojamų medžiagų) yra šios:

\(\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho }{{{\epsilon }_{0}}}\)
\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)
\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)
\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}\vec{J}+{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac {\partial \vec{E}}{\partial t}\)
Maksvelo lygtys vakuumui jo diferencine forma

Kur \(\vec{E}~\) yra elektrinis laukas, \(\vec{B}~\) yra magnetinis laukas, \(\rho ~\) yra elektros krūvis, \(\vec{J}~~\)yra vektorius, susietas su a elektros srovė, \({{\epsilon }_{0}}~\)yra vakuumo elektrinis laidumas, o \({{\mu }_{0}}~~\)yra vakuumo magnetinis pralaidumas. Kiekviena iš šių lygčių atitinka a įstatymas elektromagnetizmo ir turi prasmę. Toliau trumpai paaiškinsiu kiekvieną iš jų.

Gauso dėsnis

\(\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho }{{{\epsilon }_{0}}}\)
Gauso elektrinio lauko dėsnis

Ši pirmoji lygtis mums sako, kad elektriniai krūviai yra elektrinio lauko šaltiniai, šis elektrinis laukas „skiriasi“ tiesiogiai nuo krūvių. Be to, elektrinio lauko kryptį diktuoja jį sukuriančio elektros krūvio ženklas, o kaip arti lauko linijos rodo paties lauko dydį. Žemiau pateiktame paveikslėlyje šiek tiek apibendrinta tai, kas ką tik buvo paminėta.

1 iliustracija. Iš Studiowork. Elektrinių laukų, kuriuos sukuria du taškiniai krūviai, vienas teigiamas ir vienas neigiamas, diagrama.

Šis dėsnis pavadintas matematiku Johannu Carlu Friedrichu Gausu, kuris jį suformulavo remdamasis savo divergencijos teorema.

Gauso dėsnis magnetiniam laukui

\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)

Gauso dėsnis magnetiniam laukui

Šis dėsnis neturi konkretaus pavadinimo, tačiau jis taip vadinamas dėl panašumo į ankstesnę lygtį. Šios išraiškos prasmė ta, kad nėra „magnetinio krūvio“, analogiško „elektros krūviui“, tai yra, nėra magnetinių monopolių, kurie būtų magnetinio lauko šaltinis. Dėl šios priežasties, jei sulaužysime magnetą per pusę, mes vis tiek turėsime du panašius magnetus, abu su šiaurės ir pietų ašigaliu.

Faradėjaus dėsnis

\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)
Faradėjaus indukcijos dėsnis

Tai garsusis indukcijos dėsnis, kurį suformulavo Faradėjus, kai 1831 m. jis atrado, kad besikeičiantys magnetiniai laukai gali sukelti elektros srovę. Ši lygtis reiškia, kad laikui bėgant kintantis magnetinis laukas gali indukuoti aplink jį elektrinis laukas, kuris savo ruožtu gali sukelti elektros krūvių judėjimą ir sukurti a srautas. Nors iš pradžių tai gali atrodyti labai abstrakčiai, Faradėjaus dėsnis yra už variklių, elektrinių gitarų ir indukcinių viryklių veikimo.

Ampero – Maksvelo dėsnis

\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}\vec{J}+{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac {\partial \vec{E}}{\partial t}\)

Pirmas dalykas, kurį mums pasako ši lygtis, yra tai, kad elektros srovės sukuria magnetinius laukus aplink srovės kryptį ir kad generuojamo magnetinio lauko dydis priklauso nuo jo dydžio, tai pastebėjo Oerstedas ir kad vėliau Ampère'as sugebėjo formuluoti. Tačiau už šios lygties slypi kažkas įdomaus, tai yra antrasis terminas įstatymas lygtį įvedė Maxwell, nes ši išraiška iš pradžių buvo nenuosekli su kitais, visų pirma, buvo pažeistas elektros krūvio tvermės įstatymas. Norėdamas to išvengti, Maxwellas tiesiog įvedė šį antrąjį terminą, kad visa jo teorija būtų nuosekli, šį terminą gavo pavadinimą „poslinkio srovė“ ir tuo metu nebuvo jokių eksperimentinių įrodymų, patvirtinančių tai. atsitrauks

2 iliustracija. De Rumruay.- Elektros srovė, tekanti per kabelį, sukuria aplink jį magnetinį lauką pagal Ampero dėsnį.

Poslinkio srovės reikšmė ta pati, kaip ir magnetinio lauko kintamasis indukuoja elektrinį lauką, elektrinis laukas, kuris keičiasi laikui bėgant, gali sukurti lauką magnetinis. Pirmasis eksperimentinis poslinkio srovės patvirtinimas buvo egzistavimo įrodymas Heinricho Hertzo elektromagnetines bangas 1887 m., praėjus daugiau nei 20 metų po teorijos Maksvelas. Tačiau pirmąjį tiesioginį poslinkio srovės matavimą atliko M. R. Van Cauwenberghe 1929 m.

šviesa yra elektromagnetinė banga

Viena iš pirmųjų protu nesuvokiamų Maksvelo lygčių prognozių yra egzistavimas elektromagnetinės bangos, bet ne tik tai, jie taip pat atskleidė, kad šviesa turi būti šios bangos Tipas. Norėdami tai šiek tiek pamatyti, pažaisime su Maksvelo lygtimis, bet prieš tai pateikiame bet kurios bangos lygties formą:

\({{\nabla }^{2}}u=\frac{1}{{{v}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{ t}^{2}}}\)
Bendroji trijų dimensijų bangos lygties forma.

Kur \({{\nabla }^{2}}\) yra Laplaso operatorius, \(u\) yra bangos funkcija, o \(v\) yra bangos greitis. Taip pat dirbsime su Maksvelo lygtimis tuščioje erdvėje, tai yra, kai nėra elektros krūvių ir elektros srovių, tik elektriniai ir magnetiniai laukai:

\(\nabla \cdot \vec{E}=0\)

\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)

\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)

\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\)

Ir mes taip pat naudosime šiuos dalykus tapatybę vektorinis skaičiavimas:

\(\nabla \times \left( \nabla \times \vec{A} \right)=\nabla \left( \nabla \cdot \vec{A} \right)-{{\nabla }^{2}} \time{A}\)

Jei pritaikysime šią tapatybę elektriniams ir magnetiniams laukams naudodami Maksvelo lygtis tuščiai erdvei aukščiau, gausime šiuos rezultatus:

\({{\nabla }^{2}}\vec{E}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{{{\partial }^{2} }\vec{E}}{\dalinis {{t}^{2}}}\)

\({{\nabla }^{2}}\vec{B}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{{{\partial }^{2} }\vec{B}}{\dalinis {{t}^{2}}}\)

Atkreipkite dėmesį į šių lygčių panašumą į aukščiau pateiktą bangų lygtį išvada, elektriniai ir magnetiniai laukai gali veikti kaip bangos (elektromagnetinės bangos). Jei apibrėžiame šių bangų greitį kaip \(c\) ir palyginsime šias lygtis su aukščiau pateikta bangų lygtimi, galime pasakyti, kad greitis yra:

\(c=\frac{1}{\sqrt{{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}}}\)

\({{\mu }_{0}}\) ir \({{\epsilon }_{0}}\) yra atitinkamai vakuumo magnetinis pralaidumas ir elektrinis laidumas, ir abu yra konstantos universalios, kurių reikšmės yra \({{\mu }_{0}}=4\pi \times {{10}^{-7}}~~T\cdot m/A\) ir \({{\ epsilon } 0}}=8,8542\kartai {{10}^{-12}}~{{C}^{2}}/N\cdot m~\), pakeičiant šias reikšmes, gauname, kad \(c\) reikšmė yra \(c=299 792 458\frac{m}{s}\apie 300 000 ~ km/s\), o tai yra būtent šviesos.

Atlikę šią nedidelę analizę galime padaryti tris labai svarbias išvadas:

1) Elektriniai ir magnetiniai laukai gali elgtis kaip bangos, tai yra, yra elektromagnetinių bangų, kurios taip pat gali sklisti per vakuumą.

2) Šviesa yra elektromagnetinė banga, kurios greitis priklauso nuo magnetinio laidumo ir laidumo terpės, kuria ji sklinda, tuščioje erdvėje šviesos greitis yra apytikslis 300 000 km/s.

3) Kadangi magnetinis laidumas ir elektrinis laidumas yra universalios konstantos, tai šviesos greitis taip pat yra universali konstanta, tačiau tai taip pat reiškia, kad jo vertė nepriklauso apie sistema nuo kurio matuojama.

Šis paskutinis teiginys tuo metu buvo labai prieštaringas.Kaip įmanoma, kad greitis šviesa yra vienoda, nepriklausomai nuo ją matuojančio asmens ir šviesos šaltinio judėjimo. šviesa? Kažko greitis turi būti santykinis, tiesa? Na, tai buvo to meto fizikos takoskyra, ir dėl šio paprasto, bet gilaus fakto 1905 m. Albertas Einšteinas sukūrė specialiosios reliatyvumo teoriją.