Kas yra operacijų hierarchija?

Veiksmų hierarchija yra matematinė konvencija, kuri nustato tvarką, kuria turi būti atliekami kombinuoti skaičiavimo veiksmai. tas pats matematinis teiginys, tai yra, kai yra matematinis teiginys, kuriame yra matematinės operacijos (sudėtis, atimtis, daugyba, dalyba, laipsniai ir šaknys) kartu, tai turi būti atliekama tam tikra tvarka, kad būtų gautas rezultatas bendras.

Bet kam reikalinga hierarchija? Norėdami į jį atsakyti, pirmiausia turime gerai suprasti matematinių operacijų prigimtį, kurią sudaro aibės elementams taikoma transformacija. Pagalvokime, pavyzdžiui, realiųjų skaičių aibę, tai yra tuos skaičius, kuriuos visi žinome. Jei paimsime skaičių a ir pridėsime jį prie kito skaičiaus b, gausime kitą skaičių c, priklausantį tai pačiai realiųjų skaičių aibei, tai yra:

a+b = c

Be to, priedų pateikimo tvarka neturi įtakos galutiniam rezultatui, tai yra a+b = b+a, ši savybė vadinama komutatyvumu. Svarbu kalbėti apie papildymą, nes tai yra pagrindinė operacija, iš kurios gaunamos visos kitos. Daugyba yra ne kas kita, kaip pasikartojančių priedų serija. Jei vėl turime skaičių a ir padauginame jį iš skaičiaus b, kartais skaičių b pridedame prie savęs arba, kaip alternatyvą, skaičių a pridedame b kartų su savimi. Pastarasis yra toks, nes daugyba yra komutacinė, kaip ir sudėjimas, tai reiškia, kad:

a⋅b = b⋅a. Tai, kas išdėstyta pirmiau, gali būti išreikšta taip:

Tai galime lengvai įsivaizduoti naudodami pavyzdį. Padauginkime 5 × 2:

5×2 = 2×5 = 2+2+2+2+2 = 5+5 = 10

O kas, jei turėtume atlikti operaciją, kai sudėsime su daugyba? Pavyzdžiui: a⋅b+c. Kokia tvarka reikia atlikti sudėtį ir daugybą? Kuriai operacijai turime teikti pirmenybę? Jei pirmiausia atliktume daugybą ir sukurtume ją kaip sumą, gautume:

Dabar, jei pirmiausia atliktume sudėjimą, o tada daugybą, gautume:

Kadangi sudėtis yra komutacinė, galime pergrupuoti dešinę lygties pusę, kad gautume:

Palyginus abiem atvejais gautus rezultatus, nesunku suprasti, kad:

Tada darome išvadą, kad tvarka, kuria nuspręsta atlikti operacijas, turi įtakos gautam rezultatui. Tas pats atsitinka, kai įtraukiame galias. Kai pakeliame skaičių b iki laipsnio c, tai, ką darome, yra padauginti c skaičių b iš savęs, tai yra:

Dabar atliekame šią kombinuotą operaciją, apimančią daugybą ir galią a⋅b^c kita tvarka, kaip darėme ankstesniu atveju. Jei pirmiausia teikiame pirmenybę valdžiai, turime:

Dabar, jei pirmiausia atliktume dauginimą, o tada laipsnį, gautume:

Pasinaudodami daugybos komutatyvumu, dešinę lygties pusę galime pergrupuoti taip:

Vėlgi, galime palyginti rezultatus, gautus atliekant operacijas kita tvarka, kad suprastume, kad:

Taip pat šiuo atveju operacijų atlikimo tvarka turi įtakos gautam rezultatui. Taigi, kokia tvarka turi būti atliekamos operacijos? Operacijų hierarchija nustato, kad galios yra aukštesniame hierarchijos lygyje nei daugybos, todėl galios turi viršenybę matematiniame teiginyje. Savo ruožtu dauginimas turi aukštesnį hierarchijos lygį nei sudėjimas.

Bet kaip dėl atimties, dalybos ir šaknų? Atimtis yra priešinga sudėjimo operacija, kai iš skaičiaus a atimame skaičių b, gauname kitą skaičių c, kad c+b=a. Kažkas panašaus atsitinka dalijant ir atimant. Jei skaičių a padalinsime iš skaičiaus b ir gautume skaičių c, gautume tokį skaičių, kad b⋅c=a. Ir galiausiai, apskaičiavę skaičiaus a šaknį b, randame tokį skaičių c, kad c^b=a. Dėl šių atitikmenų atimtis, padalijimas ir šaknis yra atitinkamai tame pačiame hierarchijos lygyje kaip sudėjimas, daugyba ir laipsnis.

Skliaustų ir skliaustų praktika

Dabar, kas atsitiks, jei norime suteikti pirmenybę kai kurioms operacijoms matematiniame teiginyje, nepaisant jų hierarchijos lygio? Norėdami tai padaryti, naudojami skliaustai ir laužtiniai skliaustai. Tarkime, kad turime principo a⋅b+c teiginį. Iš to, ką sakėme anksčiau, jau žinome, kad pirmiausia turime atlikti daugybą, o tik tada sudėti. Bet kas, jei norėtume, kad taip nebūtų? Norėdami tai padaryti, turėtume naudoti skliaustus arba laužtinius skliaustus, kad atskirtume sudėjimą nuo daugybos ir pirmiausia suteiktume pirmenybę sudėjimo apskaičiavimui, tai yra: a⋅(b+c). Dėl to teiginiai, atskirti skliaustais ir laužtiniais skliaustais, turi aukščiausią prioritetą prieš visas kitas operacijas.

Atsižvelgiant į viską, kas pasakyta aukščiau, operacijų hierarchija arba tvarka, kuria jos turi būti atliekamos, yra tokia:

1) Skliausteliuose ir skliaustuose
2) Galios ir šaknys
3) Daugybos ir dalybos
4) Sudėjimas ir atėmimas

Nuorodos

h. Behnke, F. Bachmanas, K. Fladtas, W. Suss, H. Gerike, F. Hohenbergas, G. Pickertas, H. Rau ir S. h. Gouldas. (1983). Matematikos pagrindai: I tomas. Kembridžas, Masačusetsas ir Londonas: MIT spauda.