Kvadratinės funkcijos apibrėžimas

Kvadratinė tikrojo kintamojo funkcija, kurios forma išreikšta.

\(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\)

Kai kintamasis yra \(x\), \(a, b\) ir c yra realios konstantos, vadinamos kvadratinės funkcijos koeficientais su \(a \ne 0.\)

Lentelėje pateikiami bendri kvadratinių funkcijų pavyzdžiai ir situacija, kurią jos gali modeliuoti, kad vėliau iliustruotų jų tiesioginį taikymą iš realių problemų.

Kvadratinė funkcija	Situacija, kurią galite modeliuoti
\(f\left( x \right) = {x^2}\)	Kintamasis \(y\) yra kvadrato, kurio kraštinės dydis yra \(x\), plotas.
\(f\left( x \right) = \pi {x^2}\)	Kintamasis \(y\) yra apskritimo, kurio spindulys yra \(x\), plotas.
\(f\left(x \right) = 100–4,9{x^2}\)	Kintamasis \(y\) yra objekto, kuris buvo numestas 100 aukštyje, aukštis, o \(x\) yra praėjęs laikas.
\(f\left( x \right) = 60\left( {{\bf{sin}}45^\circ } \right) x – 4,9{x^2}\)	Kintamasis \(y\) – 45° kampu 60 m/s greičiu išmesto patrankos sviedinio aukštis, o \(x\) – praėjęs laikas.

Bendroji formulė ir kvadratinė funkcija

Jei \(x = \alpha \) kvadratinė funkcija yra lygi nuliui, tada skaičius \(\alpha \) vadinamas kvadratinės funkcijos šaknimi, taip, \(\alpha \) yra kvadratinės lygties sprendimas

\(a{x^2} + bx + c = 0\)

Turime bendrąją kvadratinių lygčių sprendimo formulę, kad kvadratinės funkcijos šaknys yra:

\(\alpha = \frac{{ – b + \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}},\;\;\beta = \frac{{ – b – \sqrt {{b ^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

Iš to, kas išdėstyta aukščiau, nustatomas toks kvadratinės funkcijos šaknų ir koeficientų ryšys:

\(\alpha + \beta = – \frac{b}{a},\;\;\alpha \beta = \frac{c}{a}\)

Per žymius produktus nustatoma tokia tapatybė:

\(a{x^2} + bx + c = a\left( {x – \alpha } \right)\left( {x – \beta } \right)\)

Panašiai kaip ir bendrojoje formulėje, nustatyta, kad kvadratinė funkcija gali būti išreikšta tokia forma:

\(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\)

Su \(h = – \frac{b}{{2a}}\) ir \(k = – \frac{{{b^2} – 4ac}}{a}\)

Išspręsdami lygtį:

\(a{\left( {x – h} \right)^2} + k = 0\)

Gaunama:

\(\left| {x – h} \right| = \sqrt { – \frac{k}{a}} \)

\(x = h \pm \sqrt { – \frac{k}{a}} \)

Iš to, kas išdėstyta aukščiau, galima daryti išvadą, kad \(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\), tik jei konstantos \(k\) ir \(a\) yra iš priešingi ženklai, ši kvadratinė funkcija turi realias šaknis, kurios yra: \(h + \sqrt { – \frac{k}{a}} ,\;\;h – \sqrt { – \frac{k}{a} } \).

Jei konstantos \(k\) ir \(a\) turi tą patį ženklą, kvadratinė funkcija neturi realių šaknų.

Kai \(k = 0,\;\;\) kvadratinė funkcija turi tik vieną šaknį.

Pavyzdžiai pritaikyti realiame gyvenime

1 taikymo pavyzdys: Ekonomika

Mokykla nori surengti futbolo turnyrą, kuriame kiekviena komanda su kiekviena komanda žaistų tik vieną kartą. Arbitražo išlaidoms skirtas 15 600 USD biudžetas, jei arbitražo kaina yra 200 USD už žaidimą. Kiek komandų gali registruotis į turnyrą?

Problemos teiginys: Turime rasti funkciją, kuri apskaičiuoja atitikčių skaičių, kai turime \(n\) komandos, norėdami jas suskaičiuoti, darysime prielaidą, kad 1 komanda žais pirma su visomis kitomis, tai yra \(n – 1\) degtukai. 2 komanda dabar žais su visa likusia, ty su \(n – 2\), nes jie jau bus žaidę su 1 komanda. 3 komanda jau bus žaidusi su 1 ir 2 komandomis, todėl tektų žaisti su n-3 komandomis.

Remdamiesi aukščiau pateiktais argumentais, gauname:

\(f\left(n \right) = n – 1 + n – 2 + \ltaškai + 2 + 1\)

\(f\left( n \right) = \frac{{n\left( {n – 1} \right)}}{2}\)

Kainos funkcija yra tokia:

\(C\left(n \right) = 200f\left(n \right) = 100n\left({n – 1} \right)\)

Turėdami 15 600 USD biudžetą, turime lygtį:

\(100n\kairė( {n – 1} \dešinė) = 15600\)

lygties sprendimas

\(100n\left( {n – 1} \right) = 15600\) Pradinė situacija
\(n\left( {n – 1} \right) = 156\) Padalinkite kiekvieną lygties pusę iš 100
\({n^2} – n – 156 = \) Pridėkite \( – 156\) prie kiekvienos lygties pusės
\(\left( {n – 13} \right)\left( {n + 12} \right) = 0\) Turime \(\left( { – 13} \right)\left( {12} \right ) = – 156\) ir \( – 13 + 12 = – 1\)
Tai buvo įskaičiuota.
Lygties \(n = – 12,\;13\) sprendiniai
Atsakymas: Biudžeto užtenka 13 komandų užsiregistruoti.

2 taikymo pavyzdys: Ekonomika

Viena didmiesčių transporto autobusų bendrovė pastebėjo, kad per aštuonias valandas per parą kiekvienas jos autobusas perveža vidutiniškai tūkstantį keleivių. Kad galėtumėte pakelti savo darbuotojams atlyginimą, turėsite padidinti bilieto kainą, kuri šiuo metu yra 5 USD; Ekonomistas apskaičiavo, kad už kiekvieną pesą, kurį padidins bilieto kaina, kiekvienas sunkvežimis kasdien praras vidutiniškai 40 keleivių. Bendrovė apskaičiavo, kad, norėdama padengti atlyginimo padidėjimą, kiekvieną dieną turi gauti papildomus 760 USD už sunkvežimį. Kiek turi padidėti bilieto kaina?

Problemos teiginys: Tegul \(x\) yra pesų suma, kuria pabrangs bilietas, o \(5 + x\) yra nauja bilieto kaina. Taip pat padidėjus, kiekvienas sunkvežimis vidutiniškai pervežs \(1000–40x\) keleivių per dieną.

Galiausiai pajamos vienam sunkvežimiui yra:

\(I\left( x \right) = \left( {5 + x} \right)\left( {1000 – 40x} \right) = – 40\left( {x + 5} \right)\left( {x – 25} \right)\)

Norint padengti atlyginimo padidėjimą, kiekvienas autobusas turi surinkti: \(1000\kairė( 5 \dešinė) + 760 = 5760\)

Galiausiai turime lygtį:

\(–40\kairė( {x + 5} \dešinė)\kairė( {x – 25} \dešinė) = 5760\)

lygties sprendimas
\( – 40\kairė( {x + 5} \dešinė)\kairė( {x – 25} \dešinė) = 5760\) Pradinė situacija
\(\left( {x + 5} \right)\left( {x – 25} \right) = – 144\) Padalinkite iš \( – 40\) kiekviena lygties pusė
\({n^2} – 20n – 125 = – 144\) Buvo sukurtas nuostabus produktas
\({n^2} – 20n + 19 = 0\) prie kiekvieno buvo pridėta 144
\(\left( {n – 19} \right)\left( {n – 1} \right) = 0\) Turime \(\left( { – 19} \right)\left( { – 1} \ dešinėje) = 19\) ir \( – 19 – 1 = – 20\)
faktoringo
Lygties \(n = 1,19\) sprendiniai
Atsakymas: bilieto kaina gali padidėti 1 USD arba 19 USD pesų.

3 taikymo pavyzdys: Ekonomika

Duonos parduotuvė per savaitę parduoda vidutiniškai 1200 bandelių už 6 USD. Vieną dieną jis nusprendė pakelti kainą iki 9 USD už vienetą; dabar jos pardavimai sumažėjo: per savaitę ji parduoda tik vidutiniškai 750 ritinių. Kokia turėtų būti kiekvienos bandelės kaina, kad išparduotuvės pajamos būtų kuo didesnės? Tarkime, kad tarp paklausos ir kainos yra tiesinis ryšys.

Problemos teiginys: Darant prielaidą, kad tarp paklausos D ir kainos yra tiesinis ryšys \(x,\), tada

\(D = mx + b\)

Kai \(x = 6;D = 1200;\;\), kuri sukuria lygtį:

\(1200 = 6m + b\)

Kai \(x = 9;D = 750;\;\) lo ir gaunama lygtis:

\(750 = 9 m + b\)

Sprendžiant lygčių sistemą, paklausos ir kainos santykis yra toks:

\(D = – 150x + 2100 = – 150\kairė( {x – 14} \dešinė)\)

Pajamos lygios

\(I\kairė(x\dešinė) = Dx = – 150x\kairė ({x – 14} \dešinė)\)

Sprendimas

Pajamų grafikas parabolėje, kuri atsidaro žemyn ir didžiausia jo vertė pasiekiama viršūnėje kurią galima rasti apskaičiuojant kvadratinės funkcijos, kuri modeliuoja, šaknų vidurkį pajamos. Šaknys yra \(\alpha = 0,\;\;\beta = 14\).

\(h = \frak{{0 + 14}}{2} = 7\)

\(I\kairė(h \dešinė) = – 150\kairė(7 \dešinė)\kairė({7–14}\dešinė) = 7350\)

Atsakymas

Didžiausios pajamos yra 7 350 USD ir gaunamos su 7 USD kaina; Parduodama vidutiniškai 1050 ritinių per savaitę.

4 taikymo pavyzdys: Ekonomika

\(n\) kėdžių gamybos sąnaudas per vieną dieną galima apskaičiuoti naudojant kvadratinę funkciją:

\(C\kairė(n \dešinė) = {n^2} – 200n + 13000\)

Nustatykite minimalias išlaidas, kurias galima pasiekti.

Problemos pareiškimas

\(C\left(n \right)\) grafikas yra parabolė, kuri atsidaro aukštyn ir pasieks mažiausią tašką \(h = – \frac{b}{{2a}} = – \frac{{\ kairėje( { – 200} \right)}}{{2\left( 1 \right)}} = 100\)

\(C\left( {100} \right) = {\left({100} \right)^2} – 200\left( {100} \right) + 13000 = 3000\)

Atsakymas

Mažiausia kaina yra 3000 USD ir pasiekiama pagaminus 100 kėdžių.

5 taikymo pavyzdys: geometrija

Rombo plotas yra 21 cm2; Jei jo įstrižainių ilgių suma yra 17 cm, koks yra kiekvienos rombo įstrižainės ilgis?

Problemos teiginys: Rombo plotas apskaičiuojamas taip:

\(A = \frac{{Dd}}{2}\)

Su \(D\) ir \(d\) jo įstrižainių ilgiais taip pat žinoma:

\(D + d = 7\)

\(D = 17 – d\)

Pakeisdami jūs gaunate:

\(A = \frac{{\left( {17 – d} \right) d}}{2}\)

Galiausiai gauname lygtį

\(\frac{{\left( {17 – d} \right) d}}{2} = 21\)

Sprendimas
\(\frac{{\left( {17 – d} \right) d}}{2} = 21\) Pradinė situacija
\(\left( {17 – d} \right) d = 42\) Padauginkite iš \( – 40\) kiekviena lygties pusė
\({d^2} – 17d + 42 = 0\) Produktas buvo sukurtas.
\(\left( {d – 14} \right)\left( {d – 3} \right) = 0\) Turime \(\left( { – 14} \right)\left( { – 3} \ dešinėje) = 42\) ir \( – 14 – 3 = – 17\)
faktoringo
Lygties \(d = 3,14\) sprendiniai
Atsakymas:

Rombo įstrižainės yra 14 cm ir 3 cm.

6 taikymo pavyzdys: geometrija

Norima statyti stačiakampę 140 m2 vištidę, pasinaudojant gana ilga tvora, kuri suformuos vištidės dugną. Kitos trys pusės bus pastatytos iš 34 linijinių metrų vielos tinklo, koks turėtų būti vištidės ilgis ir plotis, kad būtų panaudotas visas tinklelis?

Koks yra didžiausias plotas, kurį tomis pačiomis sąlygomis galima aptverti tuo pačiu tinkleliu?

Problemos teiginys: Pagal diagramą plotas lygus:

\(A\kairė(x\dešinė) =x\kairė({34–2x}\dešinė) = 2x\kairė({17–x}\dešinė)\)

Kur \(x\) yra tvorai statmenos kraštinės ilgis.

Norint žinoti stačiakampio išmatavimus, kad jo plotas būtų 140 m2, pakanka išspręsti lygtį

\(2x\left( {17 – x} \right) = 140\)

Kadangi \(A\left( x \right)\) grafikas yra parabolė, kuri atsidaro žemyn, kad būtų galima apskaičiuoti didžiausią ploto reikšmę, pakanka apskaičiuoti parabolės viršūnę.

Atsakymai
140 m2 ploto stačiakampio išmatavimai
Šono ilgis statmenai tvorai

\(x\) Šono ilgis lygiagrečiai tvora

\(34 – 2x\)
10 14
7 20

Pirmoji viršūnės koordinatė yra \(h = \frac{{17}}{2}\) ir

\(A\left(h \right) = \frac{{289}}{2}\)

Plotas yra didžiausias, kai statmena kraštinė yra \(\frac{{17}}{2}\;\)m, o lygiagreti kraštinė yra 17 m, ji yra 17 m, maksimalaus pasiekiamo ploto reikšmė yra \(\frac{ {289}} {2}\)m2.

Kvadratinės funkcijos grafikas

Geometriniu požiūriu šaknys yra taškai, kuriuose funkcijos grafikas kerta \(x\) ašį.

Iš išraiškos

\(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k,\)

Nustatysime bendrą kvadratinės funkcijos grafiko formą.

Pirmasis atvejis \(a > 0\) ir \(k > 0\)

\(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\)

\(x\)	\(f\left( x \right)\)
\(h – 1\)	\(a + k\)
\(h – 2\)	\(4a + k\)
\(h – 3\)	\(9a + k\)
\(h – 4\)	\(16a + k\)
\(h\)	\(k\)
\(h + 1\)	\(a + k\)
\(h + 2\)	\(4a + k\)
\(h + 3\)	\(9a + k\)
\(h + 4\)	\(16a + k\)

Šiuo atveju grafikas tenkina:

Simetriška: su simetrijos ašimi \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) Tai yra \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \right)\)

Jis yra virš \(x\) ašies ir jos nesikerta. Tai yra, \(f\left( x \right) > 0\) neturi tikrų šaknų.

Žemiausias grafiko taškas yra taške \(\left( {h, k} \right)\). Tai yra \(f\left( x \right) \ge f\left(h \right) = k\)

Antrasis atvejis \(a < 0\) ir \(k < 0\)

\(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\)

\(x\)	\(f\left( x \right)\)
\(h – 1\)	\(a + k\)
\(h – 2\)	\(4a + k\)
\(h – 3\)	\(9a + k\)
\(h – 4\)	\(16a + k\)
\(h\)	\(k\)
\(h + 1\)	\(4a + k\)
\(h + 2\)	\(9a + k\)
\(h + 3\)	\(4a + k\)
\(h + 4\)	\(16a + k\)

Šiuo atveju grafikas tenkina:

Simetriška: su simetrijos ašimi \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) Tai yra \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \right)\)

Jis yra žemiau \(x\) ašies ir jos nesikerta. Tai yra, \(f\left( x \right) < 0\) neturi tikrų šaknų. Aukščiausias grafiko taškas yra taške \(\left( {h, k} \right)\). Tai yra \(f\left( x \right) \le f\left(h \right) = k\) Trečiasis atvejis \(a > 0\) ir \(k \le 0\).

Šis atvejis panašus į pirmąjį, skirtumas tas, kad dabar turime vieną tikrąją šaknį (kai \(k = 0\) ) arba dvi realias šaknis.

Šiuo atveju grafikas tenkina:

Simetriška: su simetrijos ašimi \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) Tai yra \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \right)\)

Jis kerta \(x\) ašį, tai yra, turi bent vieną tikrąją šaknį.

Žemiausias grafiko taškas yra taške \(\left( {h, k} \right)\). Tai yra \(f\left( x \right) \ge f\left(h \right) = k\)

Ketvirtasis atvejis \(a < 0\) ir \(k \ge 0\). Šis atvejis panašus į antrąjį, skirtumas tas, kad dabar turime vieną tikrąją šaknį (kai \(k = 0\) ) arba dvi realias šaknis. Šiuo atveju grafikas tenkina:

Simetriška: su simetrijos ašimi \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) Tai yra \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \right)\)

Žemiausias grafiko taškas yra taške \(\left( {h, k} \right)\). Tai yra \(f\left( x \right) \le f\left(h \right) = k\)

Kvadratinės funkcijos grafikas vadinamas parabole, o jos elementai, kuriuos reikia pabrėžti, yra simetrijos ašis, taškai, kuriuose ji susikerta į \(x\) ašį ir viršūnę, kuri yra funkcijos grafiko taškas, kuriame ji pasiekia žemiausią arba aukščiausią tašką, priklausomai nuo atveju.

Remdamiesi atlikta analize, galime teigti:

Parabolės, susietos su kvadratine funkcija \(f\left(x \right) = a{x^2} + bx + c\), viršūnė yra \(\left( {h, k} \right)\), kur :

\(h = – \frac{b}{{2a}},\;\;k = f\left(h \right)\)

pavyzdžių

Kvadratinė funkcija \(y = {x^2}\)	svarbius elementus
Parabolės viršūnė	\(\kairė( {0,0} \dešinė)\)
Parabolės simetrijos ašis	\(x = 0\)
Sukirtimai su \(x\) ašimi	\(\kairė( {0,0} \dešinė)\)

Kvadratinė funkcija \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 2} \right)^2}\)	svarbius elementus
Parabolės viršūnė	\(\kairė( {2,0} \dešinė)\)
Parabolės simetrijos ašis	\(x = 2\)
Sukirtimai su \(x\) ašimi	\(\kairė( {2,0} \dešinė)\)

Kvadratinė funkcija \(y = {\left( {x + 2} \right)^2} – 4\)	svarbius elementus
Parabolės viršūnė	\(\left( { – 2, – 4} \right)\)
Parabolės simetrijos ašis	\(x = – 2\)
Sukirtimai su \(x\) ašimi	\(\left( { – 4,0} \right);\left( {0,0} \right)\)

Kvadratinė funkcija \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 9} \right)^2} + 8\)	svarbius elementus
Parabolės viršūnė	\(\kairė( {9,8} \dešinė)\)
Parabolės simetrijos ašis	\(x = 9\)
Sukirtimai su \(x\) ašimi	\(\left( {5,0} \right);\left( {13,0} \right)\)

Kvadratinė funkcija \(y = {x^2} + 1\)	svarbius elementus
Parabolės viršūnė	\(\kairė( {0,1} \dešinė)\)
Parabolės simetrijos ašis	\(x = 0\)
Sukirtimai su \(x\) ašimi	Neturi

Kvadratinė funkcija \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 2} \right)^2} – 1\)	svarbius elementus
Parabolės viršūnė	\(\kairė( {2, – 1} \dešinė)\)
Parabolės simetrijos ašis	\(x = 2\)
Sukirtimai su \(x\) ašimi	Neturi

Jei egzistuoja tikrosios kvadratinės funkcijos šaknys, galime iš jų pavaizduoti susijusią parabolę. Tarkime, \(f\left( x \right) = a\left( {x – \alpha } \right)\left( {x – \beta } \right)\)

Tam reikia atsižvelgti į šiuos dalykus:

\(\alpha + \beta = – \frac{b}{a}\)

\(\frac{{\alpha + \beta }}{2} = – \frac{b}{{2a}} = h\)

Kaip

\(k = f\kairė(h \dešinė)\)

\(k = f\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2}} \right)\)

\(k = a\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2} – \alpha } \right)\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2} – \ beta } \right)\)

\(k = – \frac{a}{4}{\left( {\alpha – \beta } \right)^2}\)

pavyzdžių

Nubraižykite kvadratinės funkcijos grafiką \(f\left( x \right) = \frac{1}{4}\left( {x – 3} \right)\left( {x + 6} \right )\)

Sprendimas

Šaknys yra \(\alpha = 3\;\) ir \(\beta = – 6\); tada \(h = \frac{{3–6}}{2} = – \frac{3}{2}\).

\(k = f\left( { – \frac{3}{2}} \right) = 2\left( { – \frac{3}{2} – 3} \right)\left( { – \frac {3}{2} + 6} \right) = \frac{1}{4}\left( { – \frac{9}{2}} \right)\left( {\frac{9}{2}} \right) = – \frac{{81}}{{16}}\)

Taigi galime sudaryti tokią lentelę

\(f\left( x \right) = 2\left( {x – 3} \right)\left( {x + 6} \right)\)	svarbius elementus
Parabolės viršūnė	\(\left( { – \frac{3}{2}, – \frac{{81}}{2}} \right)\)
Parabolės simetrijos ašis	\(x = – \frac{{81}}{2}\)
Sukirtimai su \(x\) ašimi	\(\left( { – 6,0} \right)\;,\;\left( {3,0} \right)\)

Norėdami nubraižyti funkcijos grafiką:

\(f\left(x\right) = 3{x^2} – 18x + 4\)

Naudosime tas pačias idėjas, kurias jau naudojome; Tam pirmiausia nustatysime viršūnę.

Šiuo atveju \(a = 3;b = – 12,\;c = 4\).

Kadangi \(a > 0\), atsidarys parabolė ir \(h = – \frac{b}{{2a}} = – \left( {\frac{{ – 18}}{{3\left ( 2 \right)}}} \right) = 3.\) Toliau apskaičiuosime \(k:\)

\(k = f\kairė(h \dešinė) = f\kairė(3\dešinė) =3{\kairė(3\dešinė)^2} – 18\kairė(3\dešinė) + 4 = –23\)

Parabolės viršūnė yra \(\left( {3, – 23} \right)\) ir kadangi ji atsidaro į viršų, tada parabolė susikirs su \(x\;\) ašimi, o jos simetrijos ašis yra \ (x = 3\).

Dabar panagrinėkime kvadratinę funkciją

\(f\left( x \right) = – 5{x^2} + 10x – 9\)

Šiuo atveju \(a = 3;b = – 12,\;c = 4\).

Kadangi \(a < 0\), parabolė „atidarys“ žemyn ir \(h = - \frac{b}{{2a}} = - \left( {\frac{{10}}{{\left( 2 \right)\left( { - 5} \right)}}} \right) = 1.\) A Toliau apskaičiuosime \(k:\) \(k = f\left( h \right) = f\left( 1 \right) = - 5{\left(1 \right)^2} + 10\left( 1 \ dešinėje) - 9 = - 4\) Viršūnė parabolė yra \(\left( {1, - 4} \right)\) ir kadangi ji atsidaro žemyn, tada parabolė nesikirs su \(x\;\) ašimi, o jos simetrijos ašis yra \(x = 1.\)