Geometrinės progresijos apibrėžimas

Skaičių seka \({{a}_{1}},~{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots \); Tai vadinama geometrine progresija, jei, pradedant nuo antrojo, kiekvienas elementas gaunamas padauginus ankstesnį iš skaičiaus \(r\ne 0\), tai yra, jei:
\({{a}_{n+1}}={{a}_{n}}r\)
Kur:
- Skaičius \(r\) vadinamas geometrinės progresijos santykiu.
- Elementas \({{a}_{1}}\) vadinamas pirmuoju aritmetinės progresijos elementu.

Geometrinės progresijos elementai gali būti išreikšti pirmuoju elementu ir jo santykiu, tai yra:
\({{a}_{1}},{{a}_{1}}r,{{a}_{1}}{{r}^{2}},{{a}_{1} }{{r}^{3}}\)

Jie yra pirmieji keturi aritmetinės progresijos elementai; apskritai \(k-\)-asis elementas išreiškiamas taip:
\({{a}_{k}}={{a}_{1}}{{r}^{k-1}}\)

Kai ankstesnės išraiškos \({{a}_{1}}\ne 0,~\) gauname:

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}=\frac{{{a}_{1}}{{r}^{k-1}} }{{{a}_{1}}{{r}^{l-1}}}\)

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}={{r}^{k-l}}\)

Aukščiau pateikta išraiška yra lygiavertė:

\({{a}_{k}}={{a}_{l}}{{r}^{k-l}}\)

1 pavyzdys/pratimas. Raskite aritmetinės progresijos skirtumą: \(2,6,18,54,\ltaškai \) ir raskite elementus \({{a}_{20}},~{{a}_{91}} \)

Sprendimas

Kadangi \(\frac{6}{2}=\frac{18}{6}=\frac{54}{18}=3\), galime daryti išvadą, kad santykis yra:

\(r=3\)

\({{a}_{20}}=2\left( {{3}^{20-1}} \right)=2{{\left( 3 \right)}^{19}}\)

\({{a}_{91}}=2\left( {{3}^{91-1}} \right)=2{{\left( 3 \right)}^{90}}\)

2 pavyzdys/pratimas. Aritmetinėje progresijoje turime: \({{a}_{17}}=20~\)y \({{a}_{20}}=-1280\), nustatykite geometrinės progresijos santykį ir parašykite pirmieji 5 elementai.

Sprendimas

Nešioti

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}={{r}^{k-l}}\)

\(\frac{{{y}_{20}}}{{{y}_{17}}}={{r}^{20-17}}\)

\(\frac{-1280}{20}={{r}^{3}}\)

\(-64={{r}^{3}}\)

\(\sqrt[3]{-64}=\sqrt[3]{{{r}^{3}}}\)

\(-4=r\)

Rasti pirmuosius 5 aritmetinės progresijos elementus; apskaičiuosime \({{a}_{1}}\):

\({{a}_{k}}={{a}_{1}}{{r}^{k-1}}\)

\({{a}_{17}}={{a}_{1}}{{\left( r \right)}^{17-1}}\)

\(20={{a}_{1}}{{\left( -4 \right)}^{16}}\)

\(\frac{20}{{{4}^{16}}}={{a}_{1}}\)

\(\frac{5\left( 4 \right)}{{{4}^{16}}}={{a}_{1}}\)

\(\frac{5}{{{4}^{15}}}={{a}_{1}}\)

Pirmieji 5 geometrinės progresijos elementai yra:

\(\frac{5}{{{4}^{15}}},~\frac{5}{{{4}^{15}}}\left( -4 \right),\frac{5} {{{4}^{15}}}{{\left( -4 \right)}^{2}},\frac{5}{{{4}^{15}}}{{\left( -4 \right)}^{3}},\frac{5}{{ {4}^{15}}}{{\left( -4 \right)}^{4}}\)

\(\frac{5}{{{4}^{15}}},-~\frac{5}{{{4}^{14}}},\frac{5}{{{4}^{ 13}}},-\frac{5}{{{4}^{12}}},\frac{5}{{{4}^{11}}}\)

3 pavyzdys/pratimas. Plonas stiklas sugeria 2% pro jį prasiskverbiančios saulės šviesos.

į. Kiek procentų šviesos praeis per 10 tų plonų stiklų?

b. Kiek procentų šviesos praeis per 20 tų plonų stiklų?

c. Nustatykite šviesos procentą, prasiskverbiantį per \(n\) plonus, vienodų charakteristikų stiklus, išdėstytus iš eilės.

Sprendimas

Visą šviesą pavaizduosime 1; sugeriant 2% šviesos, tada pro stiklą praeina 98% šviesos.

Su \({{a}_{n}}\) pateiksime šviesos, praeinančios per stiklą, procentą \(n\) .

\({{a}_{1}}=0,98,~{{a}_{2}}=0,98\left( 0,98 \right),~{{a}_{3}}={{\left( 0,98 \right)}^{2}}\left( 0,98 \right),\)

Apskritai \({{a}_{n}}={{\left( 0,98 \right)}^{n}}\)

į. \({{a}_{10}}={{\left( 0,98 \right)}^{10}}=0,81707\); kuri mums sako, kad po stiklo 10 praeina 81,707% šviesos

b. \({{a}_{20}}={{\left( 0,98 \right)}^{20}}=~0,66761\); tai rodo, kad po stiklinės 20 praeina 66,761 proc.

Geometrinės progresijos pirmųjų \(n\) elementų suma

Pateikta geometrinė progresija \({{a}_{1}},{{a}_{1}}r,{{a}_{1}}{{r}^{2}},{{a} 1}}{{r}^{3}}\)….

Kai \(r\ne 1\) yra pirmųjų \(n\) elementų suma, suma:

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}+{{a}_{1}}r+{{a}_{1}}{{r}^{2}} +{{a}_{1}}{{r}^{3}}+\ltaškai +{{a}_{1}}{{r}^{n-1}}\)

Jį galima apskaičiuoti su

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r},~r \n1\)

4 pavyzdys/pratimas. Iš 2 pavyzdžio apskaičiuokite \({{S}_{33}}\).

Sprendimas

Šiuo atveju \({{a}_{1}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\) ir \(r=-4\)

taikant

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r}\)

\({{S}_{22}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\frac{1-{{\left( -4 \right)}^{22}}} {1-\kairė(-4 \dešinė)}\)

\({{S}_{22}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\frac{1-{{\left( -4 \right)}^{22}}} {5}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1-{{\left( 4 \right)}^{22}}}{{{4}^{15}}}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1}{{{4}^{15}}}-\frac{{{\left( 4 \right)}^{22}}}{{ {4}^{15}}}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1}{{{4}^{15}}}-{{4}^{7}}\)

5 pavyzdys/pratimas. Tarkime, kad žmogus įkelia savo augintinio nuotrauką ir pasidalina ja su 3 savo draugais interneto socialiniame tinkle ir po valandos dalijasi nuotrauka su dar trimis žmonėmis, o pastarieji dar po valandos kiekvienas iš jų pasidalina nuotrauka su dar 3 žmonėmis žmonės; Ir taip tęsiasi; kiekvienas asmuo, gavęs nuotrauką, dalijasi ja su 3 kitais žmonėmis per valandą. Kiek žmonių per 15 valandų jau turi nuotrauką?

Sprendimas

Žemiau esančioje lentelėje pateikti pirmieji skaičiavimai
Laikas Žmonės, kurie gauna nuotrauką Žmonės, kurie turi nuotrauką
1 3 1+3=4
2 (3)(3)=32=9 4+9=13
3 32(3)= 33=27 13+27=40

Žmonių, gavusių nuotrauką, skaičius per valandą \(n\) yra lygus: \({{3}^{n}}\)

Žmonių, kurie jau turi nuotrauką, skaičius per valandą yra lygus:

\(3+{{3}^{2}}+{{3}^{3}}+\ltaškai +{{3}^{n}}\)

taikant

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r}\)

Su \({{a}_{1}}=3,\) \(r=3\) ir \(n=15\)

Iš kur:

\({{S}_{n}}=\frac{\left( 1-{{3}^{15}} \right)}{1-3}=7174453\)

geometrines priemones

Duoti du skaičiai \(a~\) ir \(b,\) skaičiai \({{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k +1}}\) vadinami \(k\) geometriniais skaičių \(a~\) ir \(b\) vidurkiais; jei seka \(a,{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k+1}},b\) yra geometrinė progresija.

Norint sužinoti skaičių \(a~\) ir \(b\) geometrinių vidurkių \(k\) reikšmes, pakanka žinoti aritmetinės progresijos santykį, tam reikia atsižvelgti į:

\(a={{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k+1}},{ {a}_{k+2}}=b,\)

Iš to, kas išdėstyta aukščiau, nustatome ryšį:

\(b=a{{r}^{k+1}}\)

Išspręsdami \(d\), gauname:

\(b=a{{r}^{k+1}}\)

\(\frac{b}{a}={{r}^{k+1}}\)

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

6 pavyzdys / pratimas. Raskite 2 geometrinius vidurkius tarp skaičių -15 ir 1875.

Sprendimas

Taikant

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

su \(b=375,~a=-15\) ir \(k=2~\):

\(r=\sqrt[2+1]{\frac{1875}{-15}}\)

\(r=\sqrt[3]{-125}=-5\)

3 geometriniai vidurkiai yra šie:

\(75,-375\)

7 pavyzdys/pratimas. Žmogus kas mėnesį investavo pinigus ir gaudavo palūkanas 6 mėnesius, o jo kapitalas padidėjo 10 proc. Darant prielaidą, kad norma nepasikeitė, kokia buvo mėnesinė palūkanų norma?

Sprendimas

Tegul \(C\) yra investuotas kapitalas; galutinis kapitalas yra \(1.1C\); Norėdami išspręsti problemą, turime pateikti 5 geometrinius vidurkius, taikydami formulę:

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

Su \(k=5, ~b=1,1C\) ir \(a=C.\)

\(r=\sqrt[5+1]{\frac{1.1C}{C}}=\sqrt[6]{1.1}=1,016\)

Gauta mėnesio norma buvo \(1,6 %\)