Ekvivalentinių trupmenų apibrėžimas

Dvi ar daugiau trupmenų laikomos lygiavertėmis, jei jos reiškia tą patį kiekį, tai yra, jei
\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\;,\)
sakoma, kad trupmenos \(\frac{a}{b}\) ir \(\frac{c}{d}\) yra lygiavertės.

Lygiavertės trupmenos: grafinis vaizdavimas

Apsvarstykite kvadratą, kurį padalinsime į ketvirtąsias, trečiąsias, aštuntąsias ir dvyliktąsias.

Iš ankstesnių paveikslų pastebime šiuos atitikmenis:

Kaip gauti vieną ar kelias lygiavertes trupmenas?

Yra du pagrindiniai būdai gauti trupmeną, lygiavertę duotai trupmenai.

1. Padauginkite skaitiklį ir vardiklį iš to paties teigiamo skaičiaus.

Pavyzdžiai:

\(\frac{3}{4} = \frac{{3\left( 5 \right)}}{{4\left( 5 \right)}} = \frac{{15}}{{20}} \)

\(\frac{3}{4} = \frac{{3\left( 7 \right)}}{{4\left( 7 \right)}} = \frac{{21}}{{28}} \)

\(\frac{5}{8} = \frac{{5\left( 6 \right)}}{{8\left( 6 \right)}} = \frac{{30}}{{56}} \)

2. Jis dalijamas iš to paties teigiamo bendro skaitiklio ir vardiklio daliklio.

\(\frac{{52}}{{56}} = \frac{{52 \div 4}}{{56 \div 4}} = \frac{{13}}{{14}}.\)

\(\frac{{80}}{{140}} = \frac{{80 \div 20}}{{140 \div 20}} = \frac{4}{7}.\)

\(\frac{{21}}{{57}} = \frac{{21 \div 3}}{{57 \div 3}} = \frac{7}{{19}}\)

Kai trupmenoje ir skaitiklis, ir vardiklis dalijami iš to paties bendro daliklio, išskyrus 1, sakoma, kad trupmena sumažinta.

neredukuojamos trupmenos

Trupmena vadinama neredukuojama trupmena, jei didžiausias bendras skaitiklio ir vardiklio daliklis yra lygus 1.

Jei \(gcd\left( {a, b} \right) = 1,\), trupmena \(\frac{a}{b}\) vadinama neredukuojama trupmena.

Duota trupmena \(\frac{a}{b}\), kad gautumėte trupmeną, lygiavertę šiai trupmenai ir kuri taip pat yra neredukuojama trupmena, skaitiklis ir skaitiklis dalijami iš didžiausio bendro \(a\;\) ir iš \(b.\)

Šioje lentelėje pateikti neredukuojamų ir redukuojamų trupmenų pavyzdžiai; jei ji redukuojama, tai parodo, kaip gauti neredukuojamą ekvivalentinę trupmeną.

Frakcija	Didžiausias bendras daliklis	Nesumažinamas	neredukuojama ekvivalentinė trupmena
\(\frac{{14}}{{42}}\)	7	Nr	\(\frac{{14}}{{42}} = \frac{{14 \div 7}}{{42 \div 7}} = \frac{2}{7}\)
\(\frac{3}{{25}}\)	1	Taip	\(\frac{3}{{25}}\)
\(\frac{{21}}{{201}}\)	3	Nr	\(\frac{{21 \div 3}}{{20\;1 \div 3}} = \frac{7}{{67}}\)
\(\frac{5}{{24}}\)	1	Taip	\(\frac{5}{{24}}\)
\(\frac{{72}}{{1125}}\)	9	Nr	\(\frac{{72}}{{1125}} = \frac{{72 \div 9}}{{1125 \div 9}} = \frac{8}{{125}}\)

Lygiavertės trupmenos: žodinis vaizdavimas.

Šioje lentelėje pateikiami du skirtingi lygiavertės informacijos pateikimo būdai skaitiniu požiūriu.

Žodinė frazė	Lygiavertė frazė (skaitmeniškai)	Argumentavimas
1930 metais Meksikoje 4 žmonės iš 25 kalbėjo gimtąja kalba.	1930 m. Meksikoje 16 žmonių iš 100 žmonių kalbėjo gimtąja kalba.	Abu duomenys buvo padauginti iš 4
1960 m. Meksikoje 104 žmonės iš 1000 žmonių kalbėjo gimtąja kalba.	1960 m. Meksikoje 13 žmonių iš 125 kalbėjo gimtąja kalba.	Abu duomenys buvo padalyti iš 8.

Ekvivalentinės trupmenos: dešimtainis vaizdavimas

Žemiau esančioje lentelėje rodomi įvairūs dešimtainiai skaičiai ir juos atitinkančios trupmenos.

Dešimtainis skaičius	Frakcija	ekvivalentinė trupmena	Operacijos
\(0.25\)	0,25=\(\frac{{25}}{{100}}\)	0,25=\(\frac{1}{4}\)	\(25 \div 25 = 1\) \(100 \div 25 = \)
\(1.4\)	\(1,4 = 1 + \frac{4}{{10}} = \frac{{14}}{{10}}\)	\(1,4 = \frac{7}{5}\)	\(14 \div 2 = 1\) \(10 \div 2 = 5\)
\(0.145\)	\(0,145 = \frac{{145}}{{1000}}\)	\(0,145 = \frac{{29}}{{200}}\)	\(145 \div 5 = 29\) \(1000 \div 5 = 200\)

Lygiavertės trupmenos: vaizdavimas procentais

Žemiau esančioje lentelėje rodomi įvairūs dešimtainiai skaičiai ir juos atitinkančios trupmenos.

Dešimtainis skaičius	Frakcija	ekvivalentinė trupmena	Operacijos
20%	\(\frac{{20}}{{100}}\)	\(\frac{1}{5}\)	\(20 \div 20 = 1\) \(100 \div 20 = 5\)
150%	\(\frac{{150}}{{100}}\)	\(\frac{3}{2}\)	\(150 \div 50 = 3\) \(100 \div 50 = 2\)
55%	\(\frac{{55}}{{100}}\)	\(\frac{{11}}{{20}}\)	\(55 \div 11 = 5\) \(100 \div 5 = 20\)

Lygiavertės trupmenos: nuo heterogeninės iki vienalytės

Atsižvelgiant į dvi nevienalytes trupmenas \(\frac{a}{b}\) ir \(\frac{c}{d}\), galime rasti dvi trupmenas vienalytis taip, kad viena trupmena būtų lygi trupmenai \(\frac{a}{b}\;\), o kita \(\frac{c}{d}\).

Toliau parodysime dvi procedūras, skirtas atlikti tai, kas paminėta ankstesnėje pastraipoje.

Stebėkime:

\(\frac{a}{b} = \frac{{a\left( d \right)}}{{b\left( d \right)}}\)

\(\frac{c}{d} = {\rm{\;}}\frac{{c\left( b \right)}}{{d\left( b \right)}}\)

Toliau pateiktoje lentelėje pateikti keli pavyzdžiai.

F. nevienalytis	Operacijos	F. vienalytis
\(\frac{4}{5}\), \(\frac{2}{3}\)	\(\frac{{4\left( 3 \right)}}{{5\left( 3 \right)}} = \frac{{12}}{{15}}\) \(\frac{{2\left( 5 \right)}}{{3\left( 5 \right)}} = \frac{{10}}{{15}}\)	\(\frac{{12}}{{15}}\), \(\frac{{10}}{{15}}\)
\(\frac{7}{{12}}\), \(\frac{4}{{18}}\)	\(\frac{{7\left( {18} \right)}}{{12\left( {18} \right)}} = \frac{{126}}{{216}}\) \(\frac{{4\left( {12} \right)}}{{18\left( {12} \right)}} = \frac{{48}}{{216}}\)	\(\frac{{126}}{{216}},\) \(\frac{{48}}{{216}}\)
\(\frac{7}{{10}}\), \(\frac{3}{{14}}\), \(\frac{5}{4}\)	\(\frac{{7\left( {14} \right)\left( 4 \right)}}{{10\left( {14} \right) 4}} = \frac{{392}}{{ 560}}\) \(\frac{{3\left( {10} \right)\left( 4 \right)}}{{14\left( {10} \right)\left( 4 \right)}} = \frac{ {120}{{560}}\) \(\frac{{5\left( {10} \right)\left( {14} \right)}}{{4\left( {10} \right)\left( {14} \right)}} = \frac{{700}}{{560}}\)	\(\frac{{392}}{{560}}\), \(\frac{{120}}{{560}},\) \(\frac{{700}}{{560}}\)

Šio metodo trūkumas yra tas, kad proceso metu galima pagaminti labai daug; Daugeliu atvejų to galima išvengti, jei apskaičiuojamas mažiausias bendras vardiklių kartotinis, o antrasis metodas remiasi mažiausio bendro kartotinio apskaičiavimu.

Mažiausias bendrasis kartotinis skaičiuojant trupmenas

Toliau pateikiami du pavyzdžiai, kaip gauti vienarūšes trupmenas naudojant mažiausią bendrąjį vardiklių kartotinį, kuris bus bendras dalyvaujančių trupmenų vardiklis.

Apsvarstykite trupmenas: \(\frac{7}{{12}}\), \(\frac{4}{{18}}.\)

Mažiausias bendras \(12\) ir \(18\) kartotinis yra \(36\); dabar

\(36 \div 12 = 3\)

\(36 \div 18 = 2\)

\(\frac{7}{{12}} = \frac{{7\left( 3 \right)}}{{12\left( 3 \right)}} = \frac{{21}}{{36 }},\)

\(\frac{4}{{18}} = \frac{{4\left( 2 \right)}}{{18\left( 2 \right)}} = \frac{8}{{36}} \)

Dabar apsvarstykite trupmenas: \(\frac{7}{{10}}\), \(\frac{3}{{14}}\), \(\frac{5}{4}\)

Mažiausias bendras \(10\), \(14\) ir \(3\) kartotinis yra \(140\); dabar

\(140 \div 10 = 14\)

\(140 \div 14 = 10\)

\(140 \div 4 = 35\)

\(\frac{7}{{10}} = \frac{{7\left( {14} \right)}}{{10\left( {14} \right)}} = \frac{{98} }{{140}},\)

\(\frac{3}{{14}} = \frac{{3\left( {10} \right)}}{{14\left( {10} \right)}} = \frac{{30} }{{140}}\)

\(\frac{5}{4} = \frac{{5\left( {35} \right)}}{{4\left( {35} \right)}} = \frac{{175}}{ {140}}\)

Iš ankstesnių skaičių pastebime tokį faktą:

\(\frac{1}{4} = \frac{3}{{12}}\)

Štai kiti pavyzdžiai.

F. nevienalytis	min bendrus vardiklius	Operacijos	F. vienalytis
\(\frac{1}{{14}}\) \(\frac{1}{{18}}\)	126	\(126 \div 14 = 9\) \(\frac{1}{{14}} = \frac{{1\left( 9 \right)}}{{14\left( 9 \right)}} = \frac{9}{{126}} \) \(126 \div 18 = 7\) \(\frac{1}{{18}} = \frac{{1\left( 7 \right)}}{{18\left( 7 \right)}} = \frac{7}{{126}} \)	\(\frac{9}{{126}}\), \(\frac{7}{{126}}\)
\(\frac{5}{6}\) \(\frac{2}{{15}},\) \(\frac{4}{9}\)	90	\(90 \div 6 = 15\) \(\frac{5}{6} = \frac{{5\left( {15} \right)}}{{6\left( {15} \right)}} = \frac{{75}}{ {90}}\) \(90 \div 15 = 6\) \(\frac{2}{{15}} = \frac{{2\left( {15} \right)}}{{15\left( 6 \right)}} = \frac{{30}}{ {90}}\) \(90 \div 9 = 10\) \(\frac{4}{9} = \frac{{4\left( {10} \right)}}{{9\left( {10} \right)}} = \frac{{40}}{ {90}}\)	\(\frac{{75}}{{90}}\), \(\frac{{30}}{{90}}\), \(\frac{{40}}{{90}}\)