Kvadratinės/kvartinės lygties apibrėžimas

Antrojo laipsnio lygtis arba, jei to nėra, kvadratinė nežinomo atžvilgiu išreiškiama tokia forma:
\(a{x^2} + bx + c = 0\)
Kai nežinomasis yra \(x\), kol \(a, b\) ir c yra tikrosios konstantos, o \(a \ne 0.\)

Yra keletas kvadratinių lygčių sprendimo būdų, įskaitant faktorizaciją, tokiu atveju pagal skiriamąją gebą turime atsižvelgti į šią savybę:

Jei dviejų skaičių sandauga yra nulis, yra dvi galimybės:

1. Abu yra lygūs nuliui.
2. Jei vienas yra ne nulis, tada kitas yra nulis

Tai, kas išdėstyta pirmiau, gali būti išreikšta taip:
Jei \(pq = 0\), tada \(p = 0\) arba \(q = 0\).

1 praktinis pavyzdys: išspręskite lygtį \({x^2} – 8\)=0

\({x^2} – 8 = 0\)	Pradinė situacija
\({x^2} – 8 + 8 = 8\)	Pridėkite 8 prie abiejų lygties pusių, kad išspręstumėte \({x^2}\)
\(\sqrt {{x^2}} = \sqrt {{2^3}} = \sqrt {{2^2}2} = \sqrt {{2^2}} \sqrt 2 = 2\sqrt 2 \)	Kvadratinė šaknis gaunama ieškant izoliavimo \(x.\) 8 koeficientas ir taikomos radikalų bei galių savybės.
\(\left| x \right| = 2\sqrt 2 \)	Gaunate \({x^2}\) šaknį
\(x = \pm 2\sqrt 2 \)

\({x^2} – 8\)=0 sprendiniai yra šie:
\(x = – 2\sqrt 2 ,\;2\sqrt 2 \)

2 praktinis pavyzdys: išspręskite lygtį \({x^2} – 144\)=0

\({x^2} – 144 = 0\)	Pradinė situacija
\({x^2} – {12^2} = 0\)	Kvadratinė šaknis iš 144 yra 12. Nustatytas kvadratų skirtumas.
\(\left( {x + 12} \right)\left( {x – 12} \right) = 0\)	Kvadratų skirtumas koeficientas
\(x + 12 = 0\) \(x = – 12\)	Atsižvelgiame į galimybę, kad koeficientas \(x + 12\) yra lygus 0. Gauta lygtis išspręsta.
\(x – 12 = 0\) \(x = 12\)	Svarstome galimybę, kad koeficientas \(x – 12\) yra lygus 0. Gauta lygtis išspręsta.

Lygties \({x^2} – 144 = 0\) sprendiniai yra

\(x = – 12,\;12\)

3 praktinis pavyzdys: išspręskite lygtį \({x^2} + 3x = 0\)

\({x^2} + 3x = 0\)	Pradinė situacija
\(x\left( {x + 3} \right) = 0\)	\(x\) identifikuojamas kaip bendras veiksnys ir atliekamas faktorizavimas.
\(x = 0\)	Apsvarstykite galimybę, kad koeficientas \(x\) yra lygus 0.
\(x + 3 = 0\) \(x = – 3\)	Svarstome galimybę, kad koeficientas \(x – 12\) yra lygus 0. Gauta lygtis išspręsta.

Lygties \({x^2} + 3x = 0\) sprendiniai yra šie:
\(x = – 3,0\)

4 praktinis pavyzdys: išspręskite lygtį \({x^2} – 14x + 49 = 0\)

\({x^2} – 14x + 49 = 0\)	Pradinė situacija
\({x^2} – 14x + {7^2} = 0\)	Kvadratinė šaknis iš 49 yra 7 ir \(2x\left(7 \right) = 14x.\) Identifikuojamas tobulas kvadratinis trinaris.
\({\left( {x – 7} \right)^2} = 0\)	Puikus kvadratinis trinaris išreiškiamas kaip dvinario kvadratas.
\(x – 7 = 0\) \(x = 7\)

\({x^2} – 14x + 49 = 0\) sprendimas yra:
\(x = 7\)

5 praktinis pavyzdys: išspręskite lygtį \(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)

\(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)	Pradinė situacija
\(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)	Produktas \(\left( {10} \right)\left( {12} \right) = 120 = \left( { – 8} \right)\left( { – 15} \right)\)
\(\left( {10{x^2} – 8x} \right) – 15x + 12 = 0\)	Jis išreiškiamas kaip \( – 23x = – 18x – 15\)
\(2x\kairė( {5x – 4} \dešinė) – 3\kairė( {5x – 4} \dešinė) = 0\)	Nurodykite \(2x\) kaip bendrą veiksnį pirmame papildyme ir pakoreguokite jį. Nurodykite \( – 3\) kaip bendrą veiksnį antrajame papildyme ir pakoreguokite jį.
\(\kairė( {5x – 4} \dešinė)\kairė( {2x – 3} \dešinė) = 0\)	Bendrojo koeficiento koeficientas \(5x – 4\)
\(5x – 4 = 0\) \(x = \frac{4}{5}\)	Atsižvelgiame į galimybę, kad koeficientas \(5x – 12\) yra lygus 0. Gauta lygtis išspręsta.
\(2x – 3 = 0\) \(x = \frac{3}{2}\)	Apsvarstykite galimybę, kad koeficientas \(2x – 3\) yra lygus 0. Gauta lygtis išspręsta.

\(10{x^2} – 23x + 12 = 0\) sprendiniai yra šie:
\(x = \frac{4}{5},\;\frac{3}{2}\)

6 praktinis pavyzdys: išspręskite lygtį \({x^2} + 4x + 1 = 0\)

\({x^2} + 4x + 1 = 0\)	Pradinė situacija Trinamis nėra tobulas kvadratas
\({x^2} + 4x + 1 – 1 = – 1\)	Prie kiekvienos lygties pusės pridėkite -1.
\({x^2} + 4x = – 1\)	Kadangi \(\frac{1}{2}\left( 4 \right) = 2\) pridėjus \({2^2}\), gauname tobulą kvadratą.
\({x^2} + 4x + 4 = – 1 + 4\)	Prie kiekvienos lygties pusės pridėkite \({2^2}\;\). Kairė pusė yra tobulas kvadratas.
\({\left( {x + 2} \right)^2} = 3\)	Puikus kvadratinis trinaris išreiškiamas kaip dvinario kvadratas.
\(\sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2}} = \pm \sqrt 3 \)	Paimkite kvadratinę šaknį iš kiekvienos lygties pusės
\(\left| {x + 2} \right| = \sqrt 3 \) \(x = – 2 \pm \sqrt 3 \)	Išspręskite \(x\).

\({x^2} + 4x + 1 = 0\) sprendiniai yra šie:
\(x = – 2 – \sqrt 3 ,\; – 2 + \ kv.3 \)

7 praktinis pavyzdys: išspręskite lygtį \(5{x^2} + 3x – 1 = 0\)

\(5{x^2} + 3x – 1 = 0\)	Pradinė situacija Trinamis nėra tobulas kvadratas.
\(5{x^2} + 3x – 1 + 1 = 1\)	Prie kiekvienos lygties pusės pridėkite po 1
\(\frac{1}{5}\left( {5{x^2} + 3x} \right) = \frac{1}{5}\left( 1 \right)\)	Padauginkite iš kiekvienos lygties pusės, kad \({x^2}\) koeficientas būtų lygus 1.
\({x^2} + \frac{3}{5}x = \frac{1}{5}\)	prekė platinama Kadangi \(\frac{1}{2}\left( {\frac{3}{5}} \right) = \frac{3}{{10}}\), pridedant \({\left( { \frac{3}{{10}}} \right)^2} = \frac{9}{{100}}\) suteikia tobulą kvadratinį trinarį.
\({x^2} + \frac{3}{5}x + \frac{9}{{100}} = \frac{1}{5} + \frac{9}{{100}}\)	Pridėkite 3 prie abiejų lygties pusių, kad išspręstumėte \({\left( {x + 2} \right)^2}\)
\({\left( {x + \frac{3}{{10}}} \right)^2}\)=\(\frac{{29}}{{100}}\)	Puikus kvadratinis trinaris išreiškiamas kaip dvinaris kubeliu.
\(\sqrt {{{\left( {x + \frac{3}{{10}}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{29}}{{100}}} \ )	Paimkite kvadratinę šaknį iš kiekvienos lygties pusės
\(x = – \frac{3}{{10}} \pm \frac{{\sqrt {29} }}{{10}}\)	Išspręskite \(x\).

\(5{x^2} + 3x – 1 = 0\) sprendiniai yra šie:
\(x = – \frac{{3 + \sqrt {29} }}{{10}},\; – \frac{{3 – \sqrt {29} }}{{10}}\)

Aukščiau pateiktoje lygtyje naudojama procedūra bus naudojama norint rasti vadinamąją bendrą kvadratinių sprendinių formulę.

Bendroji antrojo laipsnio lygties formulė.

Kvadratinių lygčių bendroji formulė

Šiame skyriuje rasime, kaip bendrai išspręsti kvadratinę lygtį

Su \(a \ne 0\) panagrinėkime lygtį \(a{x^2} + bx + c = 0\).

\(a{x^2} + bx + c = a\left( {{x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}} \right) = 0\)

Kadangi \(a \ne 0\), pakanka išspręsti:

\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)

\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)	Pradinė situacija
\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} – \frac{c}{a} = – \frac{c}{a}\)	Pridėkite \( – \frac{c}{a}\) prie kiekvienos lygties pusės.
\({x^2} + \frac{b}{a}x = – \frac{c}{a}\)	Kadangi \(\frac{1}{2}\left( {\frac{b}{a}} \right) = \frac{b}{{2a}}\), pridedant \({\left( { \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}\) duoda tobulą kvadratinį trinarį.
\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} = \frac{{{b^2}} }{{4{a^2}}} – \frac{c}{a}\)	Kairioji lygties pusė yra tobulas kvadratinis trinaris.
\({\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{{b^2} – 4{a^2}c}}{{4{ a^2}}}\)	Puikus kvadratinis trinaris išreiškiamas kaip dvinario kvadratas. Atlikta algebrinė trupmena.
\(\sqrt {{{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{{b^2} – 4{a^ 2}c}}{{4{a^2}}}} \)	Paimkite kvadratinę šaknį iš kiekvienos lygties pusės.
\(\left| {x + \frac{b}{{2a}}} \right| = \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} }}{{2a} }\)	Taikomos radikalios savybės.
\(x + \frac{b}{{2a}} = \pm \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} }}{{2a}}\)	Taikomos absoliučios vertės savybės.
\(x + \frac{b}{{2a}} – \frac{b}{{2a}} = \pm \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} } }{{2a}} – \frac{b}{{2a}}\)	Prie kiekvienos lygties pusės pridėkite \( – \frac{b}{{2a}}\), kad išspręstumėte \(x\)
\(x = \frac{{ – b \pm \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)	Atlikta algebrinė trupmena.

Terminas \({b^2} – 4{a^2}c\) vadinamas kvadratinės lygties \(a{x^2} + bx + c = 0\) diskriminantu.

Kai aukščiau pateiktos lygties diskriminantas yra neigiamas, sprendiniai yra kompleksiniai skaičiai ir realių sprendinių nėra. Sudėtingi sprendimai šioje pastaboje nebus aptariami.

Duota kvadratinė lygtis \(a{x^2} + bx + c = 0\), jei \({b^2} – 4{a^2}c \ge 0\). Tada šios lygties sprendiniai yra:

\(\alpha = \frac{{ – b + \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

\(\beta = \frac{{ – b – \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

Išsireiškimas:

\(x = \frac{{ – b \pm \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

Ji vadinama bendrąja kvadratinės lygties formule.

8 praktinis pavyzdys: išspręskite lygtį \(3{x^2} – 2x – 5 = 0\)

\(į\)	\(b\)	\(c\)	Diskriminuojantis	realius sprendimus
\(3\)	\( – 2\)	\( – 5\)	\({2^2} – 4\kairė(3 \dešinė)\kairė({–5}\dešinė) = 4 + 60 = 64\)	\(x = \frac{{ – \left( { – 2} \right) \pm \sqrt {64} }}{{2\left( 3 \right)}} = \frac{{2 \pm 8} }{6}\)

Lygties sprendiniai yra šie:
\(\alpha = – 1,\;\beta = \frac{5}{3}\)

9 praktinis pavyzdys: išspręskite lygtį \( – 4{x^2} + 3x + 9 = 0\)

\(į\)	\(b\)	\(c\)	Diskriminuojantis	realius sprendimus
\( – 4\)	3	9	\({3^2} – 4\kairė( { – 4} \dešinė)\kairė(9 \dešinė) = 9 + 144 = 153\) \(153 = 9\kairė( {17} \dešinė)\)	\(x = \frac{{ – 3 \pm \sqrt {9\left( {17} \right)} }}{{2\left( { – 4} \right)}} = \frac{{ – 3 \pm 3\sqrt {17} }}{{ – 8}}\)

Lygties sprendiniai yra šie:
\(\alpha = \frac{{3 – 3\sqrt {17} }}{8},\;\beta = \frac{{3 + 3\sqrt {17} }}{8}\)

10 praktinis pavyzdys: išspręskite lygtį \(5{x^2} – 4x + 1 = 0\)

\(į\)	\(b\)	\(c\)	Diskriminuojantis	realius sprendimus
\(5\)	-4	\(1\)	\({\kairė( { – 4} \dešinė)^2} – 4\kairė( 5 \dešinė)\kairė( 1 \dešinė) = 16 – 20 = – 4\)	Neturi

Įvairios lygtys

Yra ne kvadratinių lygčių, kurias galima paversti kvadratine lygtimi.Matysime du atvejus.

11 praktinis pavyzdys: lygties \(6x = 5 – 13\sqrt x \) realiųjų sprendinių radimas

Pakeitus kintamąjį \(y = \sqrt x \), ankstesnė lygtis išlieka tokia:

\(6{y^2} = 5–13m\)

\(6{y^2} + 13m – 5 = 0\)

\(6{y^2} + 15m – 2m – 5 = 0\)

\(3y \kairė( {2y + 5} \right) – \left( {2y + 5} \right) = 0\)

\(\kairė( {2y + 5} \dešinė)\kairė( {3y – 1} \dešinė) = 0\)

Todėl \(y = – \frac{2}{5},\;\frac{1}{3}\).

Kadangi \(\sqrt x \) žymi tik teigiamas reikšmes, atsižvelgsime tik:

\(\sqrt x = \;\frac{1}{3}\)

Atsakymas:

Vienintelis tikras sprendimas yra:
\(x = \frac{1}{9}\)

12 pavyzdys: išspręskite lygtį \(\sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} – \sqrt {\frac{{x – 5}}{x}} = \frac{5}{6 }\)

Kintamojo keitimas:

\(y = \sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} \)

Gauname lygtį:

\(y – \frac{1}{y} = \frac{5}{6}\)

\(6{y^2} – 6 = 5m\)

\(6{y^2} – 5m – 6 = 0\)

\(6{y^2} – 9m + 4m – 6 = 0\)

\(3y\kairė( {2y – 3} \dešinė) + 2\kairė( {2y – 3} \dešinė) = 0\)

\(\kairė( {2y – 3} \dešinė)\kairė( {3y + 2} \dešinė) = 0\)

Galimos \(y\) reikšmės yra šios:

\(y = – \frac{2}{3},\;\frac{3}{2}\)

Iš pirmiau minėtų dalykų mes apsvarstysime tik teigiamą sprendimą.

\(\sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} = \frac{3}{2}\)

\(\frac{x}{{x – 5}} = \frac{9}{4}\)

\(4x = 9x – 45\)

\(5x = 45\)

\(x = 9.\)

Sprendimai yra \(x = 9.\)