Eksponentinės funkcijos apibrėžimas

Eksponentinė funkcija modeliuoja įvairius gamtos reiškinius ir socialines bei ekonomines situacijas, todėl svarbu nustatyti eksponentines funkcijas įvairiuose kontekstuose.

Atsiminkime, kad skaičiui \({a^1} = a,{a^2} = aa,\;{a^3} = aaa\) yra apibrėžtas, paprastai mes turime tai bet kuriam \(n\ ) natūralusis skaičius:

Atveju \(a \ne 0\), turime, kad: \({a^0} = 1,\;\) iš tikrųjų, kai \(a \ne 0,\) prasminga atlikti operaciją \ (\frac{a}{a} = 1;\) taikydami eksponentų dėsnį, turime:

\(\frac{a}{a} = 1\)

\({a^{1–1}} = 1\)

\({a^0} = 1.\)

Kai \(a = 0\), ankstesnis samprotavimas neturi prasmės, todėl išraiškai \({0^0},\) trūksta matematinio aiškinimo.

Tuo atveju, jei \(b > 0\) ir tiesa, kad \({b^n} = a,\), sakoma, kad \(b\) yra n-oji \(a\) šaknis ir paprastai yra žymimas kaip \ (b = {a^{\frac{1}{n}}},\;\) arba \(b = \sqrt[n]{a}\).

Kai \(a < 0\), nėra tikrojo skaičiaus \(b\), kad \({b^2} = a;\), nes \({b^2} \ge 0;\;\ ) taigi formos išraiškos \({a^{\frac{m}{n}}}\), nebus atsižvelgiama į \(a < 0.\) Šioje algebrinėje išraiškoje: \({a^n}\) \(a \ ) vadinamas baze, o \(n\) yra vadinamas eksponentu, \({a^n}\) vadinamas \(a\) laipsniu\(\;n\) arba taip pat vadinamas \(a\) laipsniui \(n,\;\)se laikytis šių įstatymų iš eksponentų:

\({a^n}{a^m} = {a^{n + m}}\)	\(\frac{{{a^n}}}{{{a^m}}} = {a^{n – m}}\)	\({\left( {{a^n}} \right)^m} = {a^{nm}} = {\left( {{a^m}} \right)^n}\)
\(\frac{1}{{{a^n}}} = {a^{ – n}}\)	\({a^n} = \frac{1}{{{a^{ – n}}}}\)	\({\left( {\frac{1}{a}} \right)^n} = \frac{1}{{{a^n}}}\)
\({\left( {ab} \right)^n} = {a^n}{b^n}\)	\({\left( {{a^{\frac{1}{n}}}} \right)^m} = {\left( {{a^m}} \right)^{\frac{1} {n}}} = {a^{\frac{m}{n}}}\)	\({a^0} = 1\) kiekvienam \(a \ne 0\)

Eksponentinė funkcija yra tokios formos:

\(f\left( x \right) = {a^x}\)

kur \(a > 0\) yra konstanta, o nepriklausomas kintamasis yra eksponentas \(x\).

Norėdami atlikti eksponentinės funkcijos analizę, nagrinėsime tris atvejus

1 atvejis, kai bazė \(a = 1.\)

Šiuo atveju \(a = 1,\) funkcija \(f\left( x \right) = {a^x}\) yra pastovi funkcija.

2 atvejis, kai pagrindas \(a > 1\)

Šiuo atveju turime:

\(x\) reikšmė
\(x < 0\)	\(0 < {a^x} < 1\)
\(x = 0\)	\({a^0} = 1\)
\(0 < x < 1\)	\(1 < {a^x} < a\)
\(x = 1\)	\({a^x} = 1\)
\(x > 1\)	\(a < {a^x}\)

Funkcija \(f\left( x \right) = {a^x}\) yra griežtai didėjanti funkcija, tai yra, jei \({x_2} > {x_1}\), tada:

\({a^{{x_2}}} > a_{}^{{x_2}}\)

\(f\left( {{x_2}} \right) > f\left( {{x_1}} \right)\)

Kai reiškinys modeliuojamas naudojant eksponentinę funkciją, kai \(a > 1\), sakome, kad jis rodo eksponentinį augimą.

2 atvejis Kai pagrindas \(a < 1\).

\(x\) reikšmė
\(x < 0\)	\({a^x} > 1\)
\(x = 0\)	\({a^0} = 1\)
\(0 < x < 1\)	\(0 < {a^x} < 1\)
\(x = 0\)	\({a^x} = 1\)
\(x > 1\)	\(0 < {a^x} < a < 1\)

Kai \(a < 1\), funkcija \(f\left( x \right) = {a^x}\) yra griežtai mažėjanti funkcija, tai yra, jei \({x_2} > {x_1}\ ), taigi:

\({a^{{x_2}}} < a_{}^{{x_1}}\) \(f\left( {{x_2}} \right) < f\left( {{x_1}} \right) \) Kai reiškinys yra modeliai su eksponentine funkcija, su \(a < 1\), sakome, kad tai rodo mažėjimą arba mažėjimą eksponentinis. Toliau pateikta diagrama iliustruoja \({a^x}\) elgseną trimis skirtingais atvejais.

Eksponentinės funkcijos taikymai

1 pavyzdys Populiacijos augimas

Žymime \({P_0}\) pradinę populiaciją ir \(r \ge 0\) populiacijos augimo tempą, jei gyventojų skaičius laikui bėgant išlieka pastovus; funkcija

\(P\left(t \right) = {P_0}{\left({1 + r} \right)^t};\)

Raskite gyventojų skaičių laiku t.

1 praktinis pavyzdys

Meksikos gyventojų skaičius 2021 m. yra 126 mln., o metinis augimas siekė 1,1 proc. Jei šis augimas bus išlaikytas, kiek gyventojų bus Meksikoje 2031 m. 2021?

Sprendimas

Šiuo atveju \({P_o} = 126\) ir \(r = \frac{{1.1}}{{100}} = 0,011\), todėl turėtumėte naudoti:

\(P\left(t \right) = {P_0}{\left({1 + .0011} \right)^t}\)

Toliau pateiktoje lentelėje pateikiami rezultatai

Metai	Praėjęs laikas (\(t\))	Skaičiavimas	Gyventojų skaičius (milijonai)
2021	0	\(P\kairė(t \dešinė) = 126{\kairė({1,0011}\dešinė)^0}\)	126
2031	10	\(P\kairė(t \dešinė) = 126{\kairė({1,0011}\dešinė)^{10}}\)	140.57
2051	30	\(P\kairė(t \dešinė) = 126{\kairė({1,0011}\dešinė)^{30}}\)	174.95

2 pavyzdys Sudėtinių palūkanų apskaičiavimas

Bankai siūlo metinę palūkanų normą, tačiau reali norma priklauso nuo to, kiek mėnesių jas investuosite; Pavyzdžiui, jei jums siūloma r% metinė palūkanų norma, tikroji mėnesio norma yra \(\frac{r}{{12}}\)%, dviejų mėnesių palūkanų norma yra \(\frac{r}{6}\)%, kas ketvirtį yra \(\frac{r}{4}\)%, kas ketvirtį yra \(\frac{r}{3}\)%, o semestras yra \(\frac{r}{2}\)%.

2 praktinis pavyzdys

Tarkime, kad investuojate 10 000 į banką ir jis jums siūlo tokias metines palūkanų normas:

Terminuotieji indėliai	Metinė norma	laikotarpiais per metus	faktinė norma	Sukaupti pinigai per \(k\) mėn
du mėnesiai	0.55%	6	\(\frac{{0,55\% }}{6} = 0,091667{\rm{\% }}\)	\(10000{\left( {1 + 0,00091667} \right)^{\frac{k}{2}}}\)
trys mėnesiai	1.87%	4	\(\frac{{1,87\% }}{4} = 0,4675{\rm{\% }}\)	\(10000{\left( {1 + 0,00461667} \right)^{\frac{k}{3}}}\)
šeši mėnesiai	1.56%	2	\(\frac{{1,56\% }}{4} = 0,78{\rm{\% }}\)	\(10000{\left( {1 + 0,0078} \right)^{\frac{k}{6}}}\)

Skaičius \(e\), nuolatinis ir nenutrūkstamas Eilerio palūkanas.

Tarkime, kad turime pradinį kapitalą \(C\) ir investuojame jį fiksuota palūkanų norma \(r > 0\), o metus padalijame į \(n\) periodus; per metus sukauptas kapitalas lygus:

\(A = \;C{\left( {1 + \frac{r}{n}} \right)^n}\)

Norėdami išanalizuoti, kaip sukauptas kapitalas elgiasi, kai \(n\), auga, perrašysime sukauptą kapitalą per vienerius metus:

\(A = \;C{\left( {1 + \frac{r}{n}} \right)^n}\)\(A = \;C{\left( {1 + \frac{1} {{\frac{n}{r}}}} \right)^{\left( {\frac{n}{r}} \right) r}},\)

atlikdami \(m = \frac{n}{r}\), gauname:

\(A = C{\left( {1 + \frac{1}{m}} \right)^{mr}}\)\(A = C{\left( {{{\left( {1 + \ frac{1}{m}} \right)}^m}} \right)^r}.\)

Kai \(n\) auga, auga ir \(m = \frac{n}{r}.\)

Kai \(m = \frac{n}{r},\) auga, išraiška \({\left( {1 + \frac{1}{m}} \right)^m}\) priartėja prie to, kas vadinama Eilerio konstanta arba skaičius:

\(e \apytiksliai 2,718281828 \ltaškai .\)

Eilerio konstanta neturi baigtinės ar periodinės dešimtainės išraiškos.

Turime tokius apytikslius skaičiavimus

\(C{\left( {{{\left( {1 + \frac{1}{m}} \right)}^m}} \right)^r} \apytiksliai C{e^r},\) \(C{\left( {1 + \frac{r}{n}} \right)^{ns}} \apytiksliai C{e^{rs}}.\)

Prie posakio:

\(A = \;C{e^r},\)

Galime interpretuoti dviem būdais:

1.- Kaip maksimali suma, kurią galime sukaupti per metus, kai investuojame kapitalą \(C,\;\) metine norma \(r.\)

2.- Kaip sumą, kurią sukauptume per metus, jei mūsų kapitalas būtų nuolat reinvestuojamas metine norma \(r.\)

\(T\left(s \right) = \;C{e^{rs}},\)

yra suma, sukaupta, jei \(s\) metų investuojama su nuolatinėmis palūkanomis.

3 konkretus pavyzdys

Dabar grįšime prie konkretaus 2 pavyzdžio dalies, kur metinė norma yra 0,55 %, mokant kas du mėnesius. Apskaičiuokite kapitalą, kuris kaupiasi, jei pradinis kapitalas yra 10 000 ir reinvestuoja pusę metų, dvejus metus, 28 mėnesius.

\(10{\left( {1.00091667} \right)^{\frac{6}{2}}} = 10.{\rm{\;}}027525\)

kaip parodyta toliau pateiktoje lentelėje, \(m = \frac{n}{r},\) reikšmė nėra „maža“, o aukščiau pateikta lentelė rodo, kad \({\left( {1 + \frac{1}{ m}} \right)^m}\) yra artimas Eilerio konstantai.

Laikas	Laikotarpių skaičius (\(k\))	Sukauptas kapitalas tūkstančiais, reinvestuojamas kas du mėnesius
Pusė metų	3	\(10{\left( {1.00091667} \right)^3} = 10.{\rm{\;}}027525\)
Dvejus metus	12	\(10{\left( {1.00091667} \right)^{12}} = 10110.{\rm{\;}}557\)
38 mėn	19	\(10{\left( {1.00091667} \right)^{19}} = 10.\;175612\)

Laikas	Metų laikas (\(s\))	Sukauptą kapitalą tūkstančiais investuokite su nuolatinėmis palūkanomis
Pusė metų	\(s = \frac{1}{2}\)	\(10{e^{0.0055\left( {\frac{1}{2}} \right)}} = 10.{\rm{\;}}027538\)
Dvejus metus	\(s = 2\)	\(10{\left( {1.00091667} \right)^{0.0055\left( 2 \right)}} = 10110.{\rm{\;}}607\)
38 mėn	\(s = \frac{{19}}{6}\)	\(10{\left( {1.00091667} \right)^{\frac{{19}}{6}}} = 10.\;175692\)

2 pavyzdys Nusidėvėjimas

1 praktinis pavyzdys

Kompiuteris kiekvienais metais nuvertėja 30%, jei kompiuteris kainuoja 20 000 pesų, nustatykite kompiuterio kainą \(t = 1,12,\;14,\;38\) mėn.

Šiuo atveju vienas turi:

\(P\left(t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left({1–0.30} \right)^t}\)

Su \(t\) metais, pakeitus \(t\) šioje lentelėje, gaunama

laikas mėnesiais	laikas metais	skaičiavimai	Skaitinė reikšmė
1	\(\frac{1}{{12}}\)	\(P\left(t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \right)^{\frac{1}{{12}}}}\)	19414.289
12	1	\(P\left(t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \right)^1}\)	14000
14	\(\frac{7}{6}\)	\(P\left(t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \right)^{\frac{7}{6}}}\)	13192.012
38	\(\frac{{19}}{6}\)	\(P\left(t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \right)^{\frac{7}{6}}}\)	6464.0859