Aritmetinės progresijos apibrėžimas

Skaičių seka \({a_1},\;{a_2},{a_3}, \ldots \) – vadinama aritmetine progresija, jei skirtumas tarp dviejų iš eilės einančių skaičių yra lygus tam pačiam skaičiui \(d\), tai taip:

\({a_{n + 1}} - {a_n} = d\)

Skaičius \(d\) vadinamas aritmetinės progresijos skirtumu.

Elementas \({a_1}\) vadinamas pirmuoju aritmetinės sekos elementu.

Aritmetinės progresijos elementai gali būti išreikšti pirmuoju elementu ir jo skirtumu, tai yra:

\({a_1}, {a_1} + d, {a_1} + 2 d, {a_1} + 3 d\)

Jie yra pirmieji keturi aritmetinės progresijos elementai; Apskritai \(k – \)-asis elementas išreiškiamas taip:

\({a_k} = {a_1} + \kairė( {k – 1} \dešinė) d\)

Iš aukščiau pateiktos išraiškos gauname:

\({a_k} – {a_l} = {a_1} + \kairė( {k – 1} \dešinė) d – \kairė( {{a_1} + \kairė( {l – 1} \dešinė) d} \dešinė )\)

\({a_k} – {a_l} = \left( {k – l} \right) d\)

Aukščiau pateikta išraiška yra lygiavertė:

\({a_k} = {a_l} + \left( {k – l} \right) d\)

Aritmetinei progresijai taikomi pavyzdžiai

1. Raskite aritmetinės progresijos skirtumą: \(3,8,13,18, \ltaškai \) ir raskite elementus \({a_{20}},\;{a_{99}}\)

Sprendimas

Kadangi \(5 = 8 – 3 = 13 – 8 = 18 – 3\), galime daryti išvadą, kad skirtumas yra:

\(d = 5\)

\({a_{20}} = {a_1} + \kairė( {20 – 1} \dešinė) d = 3 + 19\kairė( 5 \dešinė) = 98\)

\({a_{99}} = {a_1} + \kairė( {99 – 1} \dešinė) d = 3 + 98\kairė(5 \dešinė) = 493\)

2. Aritmetinėje progresijoje turime: \({a_{17}} = 20\;\)ir \({a_{29}} = – 130\), nustatome aritmetinės progresijos skirtumą ir užrašome pirmuosius 5 elementus.

Sprendimas

Nešioti

\({a_k} – {a_l} = \left( {k – l} \right) d\)

\({a_{29}} – {a_{17}} = \kairė( {29 – 17} \dešinė) d\)

\( – 130 – 20 = \kairė( {12} \dešinė) d\)

\( – 150 = \kairė( {12} \dešinė) d\)

\(12d = – 150\)

\(d = – \frac{{150}}{{12}} = – \frac{{25}}{2}\)

Rasti pirmuosius 5 elementus; apskaičiuosime \({a_1}\):

\({a_k} = {a_1} + \kairė( {k – 1} \dešinė) d\)

\({a_{17}} = {a_1} + \left( {17 – 1} \right)\left( { – \frac{{25}}{2}} \right)\)

\(20 = {a_1} + \left( {16} \right)\left( { – \frac{{25}}{2}} \right)\)

\(20 = {a_1} – 200\)

\({a_1} = 20 + 200 = 220\)

Pirmieji 5 elementai yra:

\(220 220 + \left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 2\left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 3 \left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 4\left( { – \frac{{25}}{2}} \right)\)

\(220,\frak{{415}}{2},195,\frak{{365}}{2},170\)

Daugiakampiai skaičiai ir aritmetinės progresijos pirmųjų \(n\) elementų suma

trikampiai skaičiai

Trikampiai skaičiai \({T_n}\;\) sudaromi iš aritmetinės progresijos: \(1,2,3,4 \ltaškai \); tokiu būdu.

\({T_1} = 1\)

\({T_2} = 1 + 2 = 3\)

\({T_3} = 1 + 2 + 3 = 6\)

\({T_4} = 1 + 2 + 3 + 4 = 10\)

kvadratiniai skaičiai

Kvadratų skaičiai \({C_n}\;\) sudaromi iš aritmetinės progresijos: \(1,3,5,7 \ltaškai \); taip

\({C_1} = 1\)

\({C_2} = 1 + 3 = 4\)

\({C_3} = 1 + 3 + 5 = 9\)

\(C{\;_4} = 1 + 3 + 5 + 7 = 16\)

penkiakampiai skaičiai

Kvadratų skaičiai \({P_n}\;\) sudaromi iš aritmetinės progresijos: \(1,3,5,7 \ltaškai \); taip

\({P_1} = 1\)

\({P_2} = 1 + 4 = 5\)

\({P_3} = 1 + 4 + 7 = 12\)

\({P_4} = 1 + 4 + 7 + 10 = 22\)

Toliau parodysime formulę, kaip rasti pirmųjų \(n\) aritmetinės progresijos elementų sumą.

Atsižvelgiant į aritmetinę progresiją, \({a_1},{a_2} = {a_1} + d,{a_3} + 2d, \ltaškai .,{a_n} = {a_1} + \left( {n – 1} \right) d\). Norėdami apskaičiuoti sumą \({S_n} = {a_1} + {a_2} + {a_3} + \ltaškai + {a_n};\), galite naudoti formulę:

\({S_n} = \frac{{n\left( {{a_1} + {a_n}} \right)}}{2}\)

kuri yra lygiavertė

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{a_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

Taikant ankstesnę formulę, gaunamos trikampių, kvadratinių ir penkiakampių skaičių skaičiavimo formulės; kurios parodytos tolesnėje lentelėje.

daugiakampis skaičius	\({a_1}\)	\(d\)	Formulė
Trikampis \(n – \)th	1	1	\({T_n} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\)
Kvadratas \(n – \)th	1	2	\({C_n} = {n^2}\)
Penkiakampis \(n – \)th	1	3	\({P_n} = \frac{{n\left( {3n – 1} \right)}}{2}\)

Daugiakampių skaičių pavyzdys

3. Iš 2 pavyzdžio apskaičiuokite \({S_{33}}\).

Sprendimas

Šiuo atveju \({a_1} = 200\) ir \(d = – \frac{{25}}{2}\)

taikant

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{a_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

\({S_{33}} = \frac{{34\left( {2\left( {200} \right) + \left( {33 – 1} \right)\left( { – \frac{{25 }}{2}} \right)} \right)}}{2}\)

\({S_{33}} = 17\kairė( {400 + 16\kairė( { – 25} \dešinė)} \dešinė) = 17\kairė(0 \dešinė) = 0\)

aritmetinės priemonės

Du skaičiai \(a\;\) ir \(b,\) skaičiai \({a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}}\) vadinami \(k\) reikšmėmis aritmetiniai skaičiai \(a\;\) ir \(b\); jei seka \(a,{a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}},b\) yra aritmetinė progresija.

Norint sužinoti skaičių \(a\;\) ir \(b\) aritmetinių vidurkių \(k\) reikšmes, pakanka žinoti aritmetinės progresijos skirtumą, tam turi būti laikomas:

\(a = {a_1},{a_2},{a_3}, \ltaškai ,{a_{k + 1}}, {a_{k + 2}} = b,\)

Iš to, kas išdėstyta aukščiau, nustatome ryšį:

\(b = a + \kairė( {k + 2 – 1} \dešinė) d\)

Išspręsdami \(d\), gauname:

\(d = \frac{{b – a}}{{k + 1}}\)

pavyzdžių

4. Raskite 7 aritmetinius vidurkius tarp skaičių -5 ir 25.

Sprendimas

Taikant

\(d = \frac{{b – a}}{{k + 1}}\)

su \(b = 25,\;a = – 5\) ir \(k = 7\;\):

\(d = \frac{{25 – \left( { – 5} \right)}}{{7 + 1}} = \frac{{30}}{8} = \frac{{15}}{4 }\)

7 aritmetiniai vidurkiai yra šie:

\( – \frac{5}{4},\;\frac{5}{2},\;\frac{{25}}{4},10,\frac{{55}}{4},\ frac{{35}}{2},\frac{{85}}{4}\)

9. Vienas asmuo davė 2000 USD kaip pradinį įnašą šaldytuvui įsigyti, o likusią dalį sumokėjo savo kreditine kortele 18 mėnesių be palūkanų. Jis turi mokėti 550 USD per mėnesį, kad padengtų skolą, kurią įsigijo norėdamas sumokėti už savo šaldytuvą.

į. Kiek kainuoja šaldytuvas?

b. Jei likusią dalį sumokėjote per 12 mėnesių be palūkanų, kokia būtų mėnesinė įmoka?

Sprendimas

į. Tokiu atveju:

\({a_{19}} = 2000 + 18\kairė( {550} \dešinė)\)

\({a_{19}} = 2000 + 9900 = 11900\)

b. Tarp skaičių 2000 ir 11900 turime rasti 11 aritmetinių vidurkių, kuriems:

\(d = \frak{{11900–2000}}{{12}} = 825\)

5. Atsižvelgdami į seką \(7,\;22,\;45,\;76,115,162\), raskite šiuos 3 elementus ir bendrą elemento išraišką \(n\).

Sprendimas

Aptariama seka nėra aritmetinė progresija, nes \(22 – 7 \ne 45 – 22\), bet galime sudaryti seka su dviejų iš eilės elementų skirtumais ir toliau pateiktoje lentelėje parodyta rezultatai:

Sekos elementai \({b_n}\)	Seka \(\;{c_n} = {b_n} – {b_{n – 1}}\)	\(d = {c_{n + 1}} – {c_n}\)
\({b_1} = 7\)	\({c_1} = {b_1}\)
\({b_2} = 22\)	\({c_2} = {b_2} – {b_1} = 15\)	\({c_2} – {c_1} = 8\)
\({b_3} = 45\)	\({c_3} = {b_3} – {b_2} = \)23	\({c_3} – {c_2} = 8\)
\({b_4} = 76\)	\({c_4} = {b_4} – {b_3} = 31\)	\({c_4} – {c_3} = 8\)
\({b_5} = 115\)	\({c_5} = {b_5} – {b_4} = 39\)	\({c_5} – {c_4} = 8\)
\({b_6} = 162\)	\({c_6} = {b_6} – {b_5} = 47\)	\({c_6} – {c_5} = 8\)

Trečiasis aukščiau pateiktos lentelės stulpelis nurodo, kad seka \(15,\;23,31,39,\;47, \ldots .\); yra aritmetinė seka, kurios skirtumas yra \(d = 8\).

Toliau sekos \({b_n}\) elementus parašysime pagal seką \({c_n},\)

\({b_1} = {c_1}\)

\({b_2} = {c_1} + {c_2}\)

\({b_3} = {b_2} + {c_3} = {c_1} + {c_2} + {c_3}\)

\({b_4} = {b_3} + {c_4} = {c_1} + {c_2} + {c_3} + {c_4}\)

Apskritai jūs turite:

\({b_n} = {c_1} + {c_2} + {c_3} + \ltaškai + {c_n}\;\)

Taikant

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{c_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

Su \({c_1} = 7\) ir \(d = 8,\) gauname:

\({b_n} = \frac{{n\left( {14 + \left( {n – 1} \right) 8} \right)}}{2}\)

\({b_n} = n\kairė( {7 + 4\kairė( {n – 1} \dešinė)} \dešinė)\)

\({b_n} = n\kairė( {4n + 3} \dešinė)\)

Taikant ankstesnę formulę: \({b_7} = 217,\;{b_8} = 280,\;{b_9} = 351\)