Kaip apibrėžiama Talio teorema?

Pagal Thaleso teoremą, atsižvelgiant į kelias lygiagrečias tieses, tiesė \(T\) yra skersinė lygiagrečių tiesių atžvilgiu, jei ji kerta kiekvieną lygiagrečią tiesę.

1 paveiksle linijos \({T_1}\) ir \({T_2}\) yra skersinės lygiagrečioms linijoms \({L_1}\) ir \({L_2}.\)

Talio teorema (silpna versija)
Jei kelios paralelės nustato vienodus segmentus (kurių matmenys yra vienodi) vienoje iš dviejų skersinių linijų, jos taip pat nustatys lygiagrečius segmentus kitose skersinėse.

2 paveiksle juodos linijos yra lygiagrečios ir jūs turite:
\({A_1}{A_2} = {A_2}{A_3} = {A_3}{A_4}.\)
Galime užtikrinti:
\({B_1}{B_2} = {B_2}{B_3} = {B_3}{B_4}.\)

Teigiama, kad išmintingas Talis iš Mileto išmatavo Cheopso piramidės aukštį, tam panaudojo šešėlius ir trikampio panašumo savybių taikymą. Thaleso teorema yra esminė trikampių panašumo sampratos plėtrai.

Proporcijų santykiai ir savybės

Vienas koeficientas yra dviejų skaičių, kurių daliklis yra ne nulis, koeficientas; tai yra pasakyti:

\(\frac{a}{b}\;{\rm{su\;}}b \ne 0\)

Proporcija yra dviejų santykių lygybė, tai yra:

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k,\)

\(k\) dar vadinama proporcingumo konstanta.

Proporcijų savybės

Jei \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\), tada \(m \ne 0:\;\)

\(\frac{{ma}}{{mb}} = \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\)

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{{a + c}}{{b + d}} = \frac{{a – c}}{{b – d}} = k\)

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{f}{g} = \frac{{a + c + f}}{{b + d + g}} = k\)

\(\frac{{a \pm b}}{b} = \frac{{c \pm d}}{d}\)

pavyzdžių

\(\frac{9}{{24}} = \frac{{15}}{{40}} = \frac{{9 + 15}}{{24 + 40}} = \frac{{24}} {{64}}\)

\(\frac{9}{{24}} = \frac{{15}}{{40}} = \frac{{{15–9}}{{40–24}} = \frac{6}{{ 16}}\)

\(\frac{{9 + 24}}{{24}} = \frac{{15 + 40}}{{40}}\)\(\frac{{33}}{{24}} = \frac {{55}}{{40}}\)

Teigiama, kad segmentų pora \(\overline {AB} \) ir \(\overline {CD} \) yra proporcinga segmentams \(\overline {EF} \) ir \(\overline {GH} \) jei proporcija įvykdyta:

\(\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{EF}}{{GH}}\)

Kur \(AB\;\) žymi atkarpos ilgį \(\overline {AB} .\)

Talio teorema

Grįžtant prie apibrėžimo, kelios paralelės nustato proporcingus atitinkamus segmentus savo skersinėse linijose.

3 paveiksle tiesios linijos yra lygiagrečios ir galime užtikrinti:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\ (\frac{{{A_2}{A_3}}}{{{A_3}{A_4}}} = \frac{{{B_2}{B_3}}}{{{B_3}{B_4}}}\)\( \frac{{{A_2}{A_4}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_2}{B_4}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_3}{A_4}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_3}{B_4}}}\)\(\frac{{{A_1}{A_3}}}{{{A_1}{A_2}}} = \frac{{{B_1}{B_3}}}{{{B_1}{B_2}}}\)

Atkreipkite dėmesį, kad pirmosios dvi ankstesnės proporcijos yra lygiavertės šioms proporcijoms:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\ (\frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}}\)Iš aukščiau pateiktų mes gauname:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac {{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3} + {A_3}{A_4}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3} + {B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_4}}}{{{B_1}{B_4}}}\)

Daugeliu atvejų geriau dirbti su ankstesnėmis proporcijomis ir šiuo atveju:

\(\frac{{{A_i}{A_j}}}{{{B_i}{B_j}}} = k\)

Talio teoremos priešprieša

Jei kelios tiesės nustato proporcingus atitinkamus segmentus savo skersinėse linijose, tada linijos yra lygiagrečios

Jei 4 paveiksle jis įvykdytas

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}}\)

Tada galime patvirtinti, kad: \({L_1}\parallel {L_2}\parallel {L_3}.\)

Žymėjimas \({L_1}\parallel {L_2}\), skaitomas \({L_1}\) yra lygiagretus su \({L_2}\).

Iš ankstesnės proporcijos gauname:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac {{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_1}{A_3}}}{{{ B_1}{B_3}}}\)

Atkarpos padalijimas į kelias vienodo ilgio dalis

Konkrečiu pavyzdžiu parodysime, kaip padalinti segmentą į vienodo ilgio dalis.

Padalinkite segmentą \(\overline {AB} \) į 7 vienodo ilgio segmentus

Pradinė situacija

Nubrėžkite pagalbinę liniją, kuri eina per vieną iš segmento galų

Kompaso pagalba ant pagalbinės linijos nubrėžiami 7 vienodo ilgio segmentai

Nubrėžkite liniją, jungiančią paskutinio nubrėžto segmento galus ir kitą dalijamo segmento galą

Jie brėžiami lygiagrečiai paskutinei ką tik nubrėžtai linijai, kuri eina per taškus, kur apskritimo lankai susikerta su pagalbine linija.

Atsižvelgiant į atkarpą \(\overline {AB} \), atkarpos taškas \(P\) padalina atkarpą \(\overline {AB} \) santykiu \(\frac{{AP} } {{PB}}.\)

Atkarpos padalijimas tam tikru santykiu

Duotas segmentas \(\overline {AB} \) ir du sveikieji skaičiai \(a, b\); tašką \(P\), kuris dalija atkarpą santykiu \(\frac{a}{b};\;\), galima rasti taip:

1. Padalinkite segmentą \(\overline {AB} \) į \(a + b\) vienodo ilgio segmentus.
2. Paimkite \(a\) segmentus, skaičiuojančius nuo taško \(A\).

pavyzdžių

Segmento \(\overline {AB} \) padalijimas santykiu \(\frac{a}{b}\)

Priežastis	Dalių, į kurias padalintas segmentas, skaičius	Taško \(P\) vieta
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{4}{3}\)	\(4 + 3 = 7\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = 6 = \frac{6}{1}\)	\(6 + 1 = 7\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{2}{3}\)	\(2 + 3 = 5\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{3}{2}\)	\(3 + 2 = 5\)

Taikomieji Talio teoremos pavyzdžiai

paraiška 1: Trys sklypai tęsiasi nuo Sol gatvės iki Luna gatvės, kaip parodyta 5 paveiksle.

Šoninės ribos yra atkarpos, statmenos Luna gatvei. Jei bendra sklypų fasadas Sol gatvėje yra 120 metrų, nustatykite kiekvieno sklypo fasadą toje gatvėje, jei ji taip pat žinoma:

\({A_1}{A_2} = 10{\rm{m}},\;{A_2}{A_3} = 40{\rm{m}},\;{A_3}{A_4} = 20{\rm{ m}},\;{A_4}{A_5} = 30{\rm{m}}.\)

Problemos pareiškimas

Kadangi linijos yra statmenos Luna gatvei, tai yra lygiagrečios viena kitai, taikydami Thaleso teoremą galime patvirtinti:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}},\; \;\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_1}{A_4}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_1}{B_4}}}\;,\;\;\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_1}{A_5}} } = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_1}{B_5}}}\)Iš anksčiau pateiktų galime daryti išvadą:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_1}{A_4}}}{{{B_1}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_5}}}{{{B_1}{B_5}}}\;\)

Panašiai galime daryti išvadą:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_4}{A_5}}}{{{B_4}{B_5}}}\)

Sprendimas

Norėdami nustatyti proporcingumo konstantą \(k,\), naudosime proporcijų savybes:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_4}{A_5}}}{{{B_4}{B_5}}} = \frac{{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3} + {A_3}{A_4} + {A_4}{A_5}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3} + { B_3}{B_4} + {B_4}{B_5}}} = \frac{{{A_1}{A_5}}}{{{B_1}{B_5}}} = \frac{{100}}{{120}} = \frac{5}{6}\)

Iš to, kas išdėstyta aukščiau, gauname:
\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{5}{6}\)\(\frac{{{B_1}{B_2}}}{ {{A_1}{A_2}}} = \frac{6}{5}\)\({B_1}{B_2} = \frac{6}{5}{A_1}{A_2} = \frac{6}{ 5}\left( {10} \right) = 12.\)

Analogiškai:

\({B_2}{B_3} = \frac{6}{5}{A_2}{A_3} = \frac{6}{5}\left( {40} \right) = 48\)\({B_3} {B_4} = \frac{6}{5}{A_3}{A_4} = \frac{6}{5}\left( {20} \right) = 24\)\({B_4}{B_5} = \frac{6}{5}{A_4}{A_5} = \frac{6 }{5}\left( {30} \right) = 36\)

Atsakymas

Segmentas	\({B_1}{B_2}\)	\({B_2}{B_3}\)	\({B_3}{B_4}\)	\({B_4}{B_5}\)
Ilgis	12m	48m	24m	36m

paraiška 2: Grafikos dizaineris sukūrė lygiagretainio formos lentyną ir pastatys 3 lentynas, kaip parodyta 6 paveikslas, taškai E ir F yra kraštinių \(\overline {AD} \) ir \(\overline {BC} ,\) vidurio taškai. atitinkamai. Turite padaryti pjūvius lentynose, kad galėtumėte atlikti mazgus. Kurioje lentynų dalyje reikia daryti pjūvius?

Problemos teiginys: Atsižvelgiant į užduotyje pateiktas sąlygas, įvykdoma:

\(ED = EA = CF = BF\)

Kaip pagalbines konstrukcijas pratęsime šonus \(\overline {CB} \) ir \(\overline {DA} \). Per tašką A per \(A\) ir lygiagreti kraštinei \(\overline {EB} \) nubrėžiama linija, o per tašką \(C\;\) lygiagreti kraštinei \(\overline {DF} \).

Naudosime Talio teoremą, kad parodytume, jog segmentai \(\overline {EB} \) ir \(\overline {DF} \) yra lygiagretūs, kad būtų pritaikyta Talio teorema.

Sprendimas

Pagal konstravimą keturkampis \(EAIB\) yra lygiagretainis, todėl turime, kad EA=BI, nes jie yra priešingos lygiagretainio kraštinės. Dabar:

\(\frac{{DE}}{{EA}} = \frac{{BF}}{{BI}} = 1\)

Taikydami Thaleso teoremos reciproką galime padaryti išvadą:

\(\overline {AI} \parallel \overline {EB} \parallel \overline {DF} \parallel \overline {JC} \)

Priimant segmentus \(\overline {AI} \parallel \overline {EB} \parallel \overline {DF} \parallel \overline {JC} \) ir segmentus BC ir CI kaip jų skersinius; kaip:

\(FC = BF = BI\)\(CH = HG = GA\)

Atsižvelgdami į \(\overline {AD} \parallel \overline {BC} \) ir segmentus \(\overline {AC} \) ir \(\overline {EB} \) kaip jų skersinius, turėsime:

\(\frac{{EG}}{{GB}} = \frac{{AG}}{{GC}} = \frac{{AG}}{{CH + HG}} = \frac{{AG}} {{2\left( {AG} \right)}} = \frac{1}{2}\)

Panašiai parodyta, kad:

\(\frac{{DH}}{{HF}} = 2\)

Atsakymai

Įstrižai pjūviai \(\overline {AC} \) turi būti atliekami taškuose \(G\;\) ir \(H\), kad:

\(\frac{{AG}}{{AC}} = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{1}{3}\)

Tas pats pasakytina apie lentynas \(\overline {EB} \) ir \(\overline {DF} \).