Radikalų racionalizavimo apibrėžimas (matematika)

Radikalų racionalizavimas yra matematinis procesas, kuris atliekamas, kai vardiklyje yra dalinys su radikalais arba šaknimis. Tokiu būdu galima palengvinti matematinius veiksmus, kuriuose dalyvauja daliniai su radikalais ir kitų tipų matematiniais objektais.

Dalinių su radikalais tipai

Svarbu paminėti kai kuriuos koeficientų tipus su radikalais, kuriuos galima racionalizuoti. Tačiau prieš visiškai įsitraukiant į supaprastinimo procesą, reikia atsiminti keletą svarbių sąvokų. Pirma, tarkime, kad turime tokią išraišką: \(\sqrt[m]{n}\). Tai yra skaičiaus \(n\) šaknis \(m\), tai yra, minėtos operacijos rezultatas yra toks skaičius, kad jį padidinus iki laipsnio \(m\), gauname skaičių \(n\) kaip rezultatas). Galia ir šaknis yra atvirkštinės operacijos tokiu būdu: \(\sqrt[m]{{{n^m}}} = n\).
Kita vertus, verta paminėti, kad dviejų lygių šaknų sandauga yra lygi sandaugos šaknei, ty: \(\sqrt[m]{n}\sqrt[m]{p} = \sqrt[m ]{{np}}\). Šios dvi savybės bus geriausi mūsų sąjungininkai racionalizuojant.

Labiausiai paplitęs ir paprasčiausias koeficiento tipas su radikalu, kurį galime rasti, yra toks:

\(\frac{a}{{b\sqrt c }}\)

Kur \(a\), \(b\) ir \(c\) gali būti bet kokie realieji skaičiai. Racionalizavimo procesas šiuo atveju susideda iš būdo, kaip gauti dalinyje išraišką \(\sqrt {{c^2}} = c\), kad būtų pašalintas radikalas. Šiuo atveju pakanka padauginti iš \(\sqrt c \) ir skaitiklį, ir vardiklį:

\(\frac{a}{{b\sqrt c }} = \frac{a}{{b\sqrt c }}\frac{{\sqrt c }}{{\sqrt c }} = \frac{{ a\sqrt c }}{{b\sqrt c \sqrt c }}\)

Prisimindami tai, kas buvo paminėta aukščiau, žinome, kad \(\sqrt c \sqrt c = \sqrt {{c^2}} = c\). Todėl galiausiai gauname, kad:
\(\frac{a}{{b\sqrt c }} = \frac{a}{{bc}}\sqrt c \)

Tokiu būdu mes racionalizavome ankstesnę išraišką. Ši išraiška yra ne kas kita, kaip konkretus bendrosios išraiškos atvejis, kuris yra toks:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}}\)

Kur \(a\), \(b\), \(c\) yra bet kokie realieji skaičiai, o \(n\), \(m\) yra teigiami laipsniai. Šios išraiškos racionalizavimas grindžiamas tuo pačiu principu kaip ir ankstesnis, tai yra, vardiklyje gaukite išraišką \(\sqrt[n]{{{c^n}}} = c\). Tai galime pasiekti padauginę iš \(\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}\) ir skaitiklį, ir vardiklį:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}} = \frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}} }\frac{{\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}{{\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}} = \frac{{a\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}\)

Vardiklio radikalų sandaugą galime sukurti taip: \(\sqrt[n]{{{c^m}}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}} = \sqrt[n]{{{c^m}{c^ {n – m}}}} = \sqrt[n]{{{c^{m + \left( {n – m} \right)}}}} = \sqrt[n]{{{c^n}}} = c\). Todėl racionalizuotas koeficientas išlieka toks:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}} = \frac{a}{{bc}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}\)

Kitas koeficientas su radikalais, kurį galima racionalizuoti, yra tas, kurio vardiklyje turime dvinarį su kvadratinėmis šaknimis:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }}\)

Kur \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) ir \(e\;\) yra bet kokie realieji skaičiai. Simbolis \(± \) rodo, kad ženklas gali būti teigiamas arba neigiamas. Vardiklio dvejetainis gali turėti abi šaknis arba tik vieną, tačiau mes naudojame šį atvejį, kad gautume bendresnį rezultatą. Pagrindinė idėja atlikti racionalizavimo procesą šiuo atveju yra ta pati, kaip ir ankstesniais atvejais, tik tai šiuo atveju skaitiklį ir vardiklį padauginsime iš dvinario konjugato, rasto vardiklis. Dvinalio konjugatas yra dvinaris, turintis tuos pačius terminus, bet kurio centrinis simbolis yra priešingas pradiniam dvinariui. Pavyzdžiui, dvejetainio \(ux + vy\) konjugatas yra \(ux – vy\). Tai pasakius, mes turime:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }}\frac{{b\sqrt c \ mp d\sqrt e }}{{b\sqrt c \mp d\sqrt e }} = \frac{{a\left( {b\sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}{{\left( {b\sqrt c \pm d\sqrt e } \right)\left( {b \sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}\)

Simbolis \( \mp \) rodo, kad ženklas gali būti teigiamas arba neigiamas, tačiau jis turi būti priešingas vardiklio simboliui, kad būtų galima konjuguoti dvejetainius. Išplėtodami vardiklio dvinarių dauginimą, gauname, kad:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{{a\left( {b\sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}{{{ b^2}\sqrt {{c^2}} + bd\sqrt {ce} – bd\sqrt {ce} – {d^2}\sqrt {{e^2}} }}\)

Pagaliau gauname tai:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{a}{{{b^2}c – {d^2}e}}\left( {b\ sqrt c \mp d\sqrt e } \right)\)

Taip mes racionalizavome koeficientą radikalu. Šie koeficientai su radikalais yra tie, kuriuos paprastai galima racionalizuoti. Toliau pamatysime keletą radikalų racionalizavimo pavyzdžių.

pavyzdžių

Pažvelkime į keletą racionalizavimo su koeficientais su aukščiau paminėto tipo radikalais pavyzdžių. Pirmiausia tarkime, kad turime tokį koeficientą:

\(\frac{3}{{7\sqrt 2 }}\)

Šiuo atveju pakanka skaitiklį ir vardiklį padauginti iš \(\sqrt 2 \)

\(\frac{3}{{7\sqrt 2 }} = \frac{3}{{7\sqrt 2 }}\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = \frac{3 }{{7\sqrt 2 \sqrt 2 }}\sqrt 2 = \frac{3}{{7\sqrt 4 }}\sqrt 2 = \frac{3}{{14}}\sqrt 2 \)

Tarkime, kad turime tokį koeficientą su radikalu:

\(\frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}}\)

Šiuo atveju turime šeštąją kubinės galios šaknį. Ankstesnėje dalyje minėjome, kad jei turime \(\sqrt[n]{{{c^m}}}\) formos radikalą vardiklis, galime racionalizuoti koeficientą, padauginę skaitiklį ir vardiklį iš \(\sqrt[n]{{{c^{n –m}}}}\). Palyginus tai su čia pateiktu atveju, galime suprasti, kad \(n = 6\), \(c = 4\) ir \(m = 3\), todėl Todėl ankstesnį koeficientą galime racionalizuoti padauginę skaitiklį ir vardiklį iš \(\sqrt[6]{{{4^3}}}\):

\(\frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}}} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}} }\frac{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}\sqrt[6]{{{4^3}}}}}\sqrt[6]{{{4^3} }} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^6}}}}}\sqrt[6]{{{4^3}}} = \frac{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}}{6}\)

Galiausiai, tarkime, kad turime tokią funkciją:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }}\)

Kaip parodyta ankstesniame skyriuje, norėdami racionalizuoti šio tipo koeficientą su radikalais, turite padauginti skaitiklį ir vardiklį iš vardiklio konjugato. Šiuo atveju vardiklio konjugatas būtų \(x – \sqrt x \). Todėl išraiška būtų tokia:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }}\frac{{x – \sqrt x }}{{x – \sqrt x }} = \frac{1}{{\left( {x + \sqrt x } \right)\left( {x – \sqrt x } \right)}}\left( {x – \sqrt x } \right)\)

Išplėtodami vardiklio konjuguotų dvinarių dauginimą, galiausiai gauname, kad:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }} = \frac{{x – \sqrt x }}{{{x^2} – x}}\)

Nuorodos

Aguilar Arturo, Bravo Fabián, Gallegos Herman, Cerón Miguel ir Reyes Ricardo. (2009). Aritmetika. Meksika: Pearsono išsilavinimas.