Pilnos erdvės pavyzdys

Matematinė analizė yra matematikos mokslų šaka, kuri nagrinėja pilnos vietos, kuris yra metrinės erdvės tipas.

Metrinę erdvę sudaro taškų poros ir atstumo tarp jų funkcija; šiose erdvėse galima apibrėžti Cauchy seką, kuri susidaro vis mažesniais atstumais tarp šių dviejų taškų. Kai metrinėje erdvėje sekoje nebeįmanoma rasti mažesnio atstumo, tada turime a pilnos vietos. Uždaryti skaitiniai rinkiniai, tai yra tie, kuriuose yra riba, yra pilni tarpai.

Pilnos erdvės pavyzdys:

Natūraliųjų skaičių rinkinys, įskaitant 0, yra visas tarpas, nes šis rinkinys uždaromas iki 0 pabaigos. Šio skaičiaus rinkinio atvaizdavimas yra N= [0, 1, 2,... n}.

Paimkime bet kuriuos du taškus tarp dviejų šios aibės elementų, pavyzdžiui, 4 ir 8, pavaizduotų taip p = (4, 8), atstumo funkcija tarp dviejų taškų yra lygi 4, Cauchy seką pateikia seka {4, 3, 2, 1, 0}, kuri sutampa 0.

Kitas pavyzdys yra teigiamų realiųjų skaičių rinkinys, suformuotas su {0}, kuris vaizduojamas kaip IR⁺= [0, 1, 2, 3, 4,…. N}, nes atsižvelgiant į du taškus šioje erdvėje, Cauchy seka sutaps, kai atstumas bus 0

Racionaliųjų skaičių aibė nėra išsami erdvė, nes atstumas 0 (skaičius 0 kaip skaičius nėra egzistuoja šiame rinkinyje), dėl kurio Cauchy seka nėra konvergenti nė viename to taške rinkinys.

Bet koks uždaras natūralių skaičių intervalas yra visa erdvė.