Neeiklīda ģeometrijas definīcija

Pamatā ne-eiklīda ģeometrijas ir tās, kas rodas, apšaubot t.s Eiklida 5. postulāts, tāpēc ir nepieciešams vispārīgs Eiklida darba raksturojums, kurš bija grieķu matemātiķis un ģeometrs, kura darbs ir paradigmatisks. Ģeometrija, kas uzskatāms par vienu no tās dibinātājiem. Tas noteikti ir zināms drošību kurš dzīvoja Aleksandrijas pilsētā, kas ir senatnes kultūras centrs, ap 300. gadu pirms mūsu ēras. c.

Viņa darbs Elementi tas sākas ar “principu” sēriju, ko veido 23 definīciju saraksts; seko 5 postulāti, atsaucoties uz figūras īpaši ģeometriski; un 5 vispārīgas aksiomas, kas ir kopīgas citām matemātikas disciplīnām. Tālāk, pēc principiem, Eiklīds ievieš divu veidu "priekšlikumus": problēmas, uz kurām attiecas

ēka figūras ar likumu un kompasu; un teorēmas, kas attiecas uz dažu īpašību demonstrāciju ģeometriskas figūras.

Eiklida piektais postulāts

Viņš norāda, ka "Ja taisna līnija, kas krīt uz divām citām taisnēm, padara tās pašas puses iekšējos leņķus mazākus par divām taisnēm, tad, ja abas līnijas ir pagarinātas uz nenoteiktu laiku, tās saskaras tajā pusē, kurā leņķi ir mazāki par diviem taisni”. Ja leņķi būtu pareizi, tad šādas līnijas saskaņā ar definīciju nr. 23 būtu paralēlas ("Paralēlas līnijas ir līnijas, kuras, ja tās atrodas vienā plaknē un ir pagarinātas uz nenoteiktu laiku, nesatiekas nevienā virzienā.”).

Šis postulāts, kas ir sarežģītāks par iepriekšējiem, pats par sevi nebija neapšaubāms: nebija skaidrs, ka, pagarinot līnijas bezgalīgi, tās krustotos tajā pusē, kur leņķi ir mazāki par diviem taisniem leņķiem, jo ​​to nebūtu iespējams pierādīt ar ēka. Tad palika atklāta iespēja, ka līnijas tuvojās viena otrai bezgalīgi, nekad nekrustojas.

Mēģinājumi pierādīt piekto postulātu

Tieši šī iemesla dēļ no senatnes līdz 19. gadsimta vidum bija virkne neveiksmīgu mēģinājumu pierādīt piekto postulātu: pierādījums vienmēr tika sasniegts; bet ieviešot kādu citu papildu postulātu (loģiski līdzvērtīgu piektajam), kas atšķiras no Eiklida postulātiem. Tas ir, piekto postulātu nevarēja pierādīt, bet gan to aizstāja ar līdzvērtīgu.

Piemērs tam ir Džona Playfēra postulāts (s. XVIII): "Viens punkts, kas ir paralēls šai taisnei, iet caur punktu ārpus līnijas, kas atrodas tajā pašā plaknē." (zināms kā "paralēlais postulāts”). Ne-eiklīda ģeometrijas rodas tieši no neveiksmīgajiem mēģinājumiem pierādīt Eiklīda sistēmas piekto postulātu.

Sačeri absurda tests

1733. gadā itāļu matemātiķis Žirolamo Sačeri mēģināja pierādīt Eiklida piektā postulāta absurdumu. Lai to izdarītu, viņš izveidoja četrstūri (pazīstams kā "Sačeri četrstūris”, kurā viens leņķu pāris ir taisnleņķi) un norādīja, ka piektais postulāts ir līdzvērtīgs apgalvojumam, ka raksturīgie leņķi (tie, kas atrodas pretī taisnleņķa pārim) šī četrstūra arī ir taisnie leņķi. tad ir trīs hipotēze iespējams, viens otru izslēdzošs: ka divi raksturīgie leņķi ir taisni, asi vai strupi. Lai ar absurdu pierādītu piekto postulātu, bija jāpierāda (neizmantojot piekto postulēts), ka hipotēzes par stulbu un akūtu leņķi nozīmēja pretrunu un tāpēc bija viltus.

Sačeri izdevās pierādīt, ka stulšā leņķa hipotēze ir pretrunīga, taču viņam tas neizdevās akūtā leņķa gadījumā. Gluži pretēji, viņš secināja virkni teorēmu, kas saskan ar Eiklīda ģeometriju un nesader ar to. Visbeidzot viņš secināja, ka, ņemot vērā šo teorēmu dīvainību, hipotēzei ir jābūt nepatiesai. Līdz ar to viņš uzskatīja, ka piekto postulātu ir izrādījis absurdu; tomēr tas, ko viņš izdarīja, bija netīšām pierādīt svarīgu ne-eiklīda ģeometrijas teorēmu kopu.

Ne-eiklīda ģeometriju “vienlaicīga” atklāšana

Kārlis F. Gauss deviņpadsmitajā gadsimtā bija pirmais, kuram radās aizdomas, ka piekto postulātu nevar pierādīt no pārējiem četriem (tas ir, ka tas bija neatkarīgi) un izdomājot ne-eiklīda ģeometrijas iespēju, kas balstījās uz četriem eiklīda postulātiem un uz noliegumu piektais. Viņš nekad nav publicējis savu atklājumu: tas tiek uzskatīts par gadījumu vienlaicīga atklāšana, jo viņam bija trīs neatkarīgi referenti (pats Gauss, Jánoss Boljajs un Nikolajs Lobačevskis).

Atteikums uz piektais likumu Eiklīda jēdziens ietver divas iespējas (izmantojot līdzvērtīgu Playfair formulējumu): caur punktu ārpus taisnes vai nu neiet paralēli, vai iet vairāk nekā viena paralēla. Starp ne-eiklīda ģeometrijām mēs atrodam, piemēram, ģeometriju "iedomāts" autors Lobačevskis, vēlāk pazīstams kā "hiperbolisks"- saskaņā arJa līnijai ir ārējais punkts, caur šo punktu iet bezgalīgas krustojošas līnijas, bezgalīgas nekrustojas līnijas un tikai divas paralēlas līnijas.”, atšķirībā no unikālās Eiklīda paralēles; vai Bernharda Rīmaņa eliptiskā ģeometrija, kas nosaka, ka "Caur punktu ārpus taisnes neiet neviena paralēle šai taisnei.”.

Atklājuma pielietojumi un sekas

Pašlaik ir zināms, ka lokālajā telpā abas ģeometrijas dod aptuvenus rezultātus. Atšķirības parādās, ja fizisko telpu raksturo viena vai cita ģeometrija, ņemot vērā lielus attālumus. Lai gan mēs turpinām izmantot Eiklīda ģeometriju, jo tā ir tā, kas visvienkāršāk raksturo mūsu telpu vietējā mērogā, atklājums ne-eiklīda ģeometrijas bija izšķirošas, ciktāl tas nozīmēja radikālu patiesību izpratnes pārveidi. zinātnisks.

Līdz tam tika uzskatīts, ka Eiklīda ģeometrija patiesi apraksta telpu. Pierādot iespēju to aprakstīt caur citu ģeometriju, ar citiem postulātiem, bija jāpārdomā kritēriji, pēc kuriem varēja pieņemt vienu vai otru skaidrojumu, piemēram, "taisnība”.

Bibliogrāfija

MARTINEZS LORKA, A. (1980) “Sokrata ētika un to ietekme uz domāja Occidental”, grāmatā Revista Baética: Estudios de Arte, Ģeogrāfija un Vēsture, 3, 317-334. Malagas universitāte.

Ne-eiklīda ģeometrijas tēmas