Kas ir operāciju hierarhija?

Operāciju hierarhija ir matemātiska vienošanās, kas nosaka secību, kādā jāveic kombinētās aprēķina darbības tas pats matemātiskais paziņojums, tas ir, ja ir matemātisks paziņojums, kurā ir matemātiskas darbības (saskaitīšana, atņemšana, reizināšana, dalīšana, pakāpes un saknes), tie ir jāveic noteiktā secībā, lai iegūtu rezultātu kopīgs.

Bet kāpēc ir vajadzīga hierarhija? Lai uz to atbildētu, vispirms ir labi jāsaprot matemātisko darbību būtība, kas sastāv no transformācijas, kas tiek piemērota kopas elementiem. Padomāsim, piemēram, par reālo skaitļu kopu, tas ir, tiem skaitļiem, kurus mēs visi zinām. Ja mēs ņemam skaitli a un pievienosim to ar citu skaitli b, mēs iegūsim citu skaitli c, kas pieder tai pašai reālo skaitļu kopai, tas ir:

a+b = c

Turklāt papildinājumu uzrādīšanas secība neietekmē gala rezultātu, tas ir, to a+b = b+a, šo īpašību sauc par komutativitāti. Ir svarīgi runāt par pievienošanu, jo tā ir pamatdarbība, no kuras tiek iegūtas visas pārējās. Reizināšana ir nekas vairāk kā atkārtotu saskaitījumu sērija. Ja mums atkal ir skaitlis a un mēs to reizinām ar skaitli b, mēs dažreiz saskaitām skaitli b ar sevi vai, alternatīvi, saskaitām b reiz skaitli a ar sevi. Pēdējais ir tā, jo reizināšana ir komutatīva, piemēram, saskaitīšana, tas nozīmē, ka:

a⋅b = b⋅a. Iepriekšminēto var izteikt šādi:

Mēs to varam viegli vizualizēt ar piemēru. Veicam reizināšanu 5 × 2:

5×2 = 2×5 = 2+2+2+2+2 = 5+5 = 10

Ko darīt, ja mums ir jāveic darbība, kurā esam apvienojuši saskaitīšanu ar reizināšanu? Piemēram: a⋅b+c. Kādā secībā jāveic saskaitīšana un reizināšana? Kurai operācijai mums ir jādod priekšroka? Ja mēs vispirms veiktu reizināšanu un izstrādātu to kā summu, mēs iegūtu:

Tagad, ja mēs vispirms veiktu saskaitīšanu un pēc tam reizināšanu, mēs iegūtu:

Tā kā saskaitīšana ir komutatīva, mēs varam pārgrupēt vienādojuma labo pusi, lai iegūtu:

Salīdzinot abās situācijās iegūtos rezultātus, ir viegli saprast, ka:

Mēs secinām, ka secība, kādā tiek nolemts veikt operācijas, ietekmē iegūto rezultātu. Tas pats notiek, ja mēs iesaistām pilnvaras. Kad mēs palielinām skaitli b līdz pakāpei c, tas, ko mēs darām, ir c reizinājums ar skaitli b ar sevi, tas ir:

Tagad mēs turpinām veikt šādu kombinēto darbību, kas ietver reizināšanu un jaudu a⋅b^c citā secībā, kā mēs to darījām iepriekšējā gadījumā. Ja mēs vispirms piešķiram prioritāti varai, mums ir:

Tagad, ja mēs vispirms veiktu reizināšanu un pēc tam jaudu, mums būtu:

Izmantojot reizināšanas komutativitāti, mēs varam pārgrupēt vienādojuma labo pusi šādi:

Atkal mēs varam salīdzināt rezultātus, kas iegūti, veicot darbības citā secībā, lai saprastu, ka:

Arī šajā gadījumā operāciju veikšanas secība ietekmē iegūto rezultātu. Tātad, kādā secībā ir jāveic darbības? Operāciju hierarhija nosaka, ka pilnvaras atrodas augstākā hierarhijas līmenī nekā reizināšanas, tādā veidā, ka pilnvarām ir prioritāte matemātiskā paziņojumā. Savukārt reizinājumiem ir augstāks hierarhijas līmenis nekā saskaitījumiem.

Bet kā ir ar atņemšanu, dalīšanu un saknēm? Atņemšana ir pretēja saskaitīšanas darbība, kad no skaitļa a atņemam skaitli b, iegūstam citu skaitli c tā, ka c+b=a. Kaut kas līdzīgs notiek ar dalīšanu un atņemšanu. Ja mēs dalām skaitli a ar skaitli b un iegūstam skaitli c, mēs esam atraduši tādu skaitli, ka b⋅c=a. Un visbeidzot, aprēķinot skaitļa a sakni b, mēs atrodam tādu skaitli c, ka c^b=a. Šīs ekvivalences ievieto atņemšanu, dalīšanu un sakni tajā pašā hierarhijas līmenī kā saskaitīšanu, reizināšanu un pakāpi.

Iekavās un iekavās prakse

Tagad, kas notiek, ja mēs vēlamies piešķirt prioritāti dažām darbībām matemātiskā paziņojumā neatkarīgi no to hierarhijas līmeņa? Lai to izdarītu, tiek izmantotas iekavas un kvadrātiekavas. Pieņemsim, ka mums ir principa a⋅b+c apgalvojums. Ar iepriekš teikto mēs jau zinām, ka vispirms ir jāveic reizināšana un pēc tam saskaitīšana. Bet ko darīt, ja mēs vēlētos, lai tas tā nebūtu? Lai to izdarītu, mums būtu jāizmanto iekavas vai kvadrātiekavas, lai atdalītu saskaitīšanu no reizināšanas un tādējādi vispirms būtu jāaprēķina saskaitīšana, tas ir: a⋅(b+c). Tādējādi priekšrakstiem, kas atdalīti ar iekavām un kvadrātiekavām, ir augstākā prioritāte salīdzinājumā ar visām pārējām darbībām.

Ņemot vērā visu iepriekš minēto, darbību hierarhija vai secība, kādā tās jāveic, ir šāda:

1) Iekavas un iekavas
2) Spēki un saknes
3) Reizināšana un dalīšana
4) Saskaitīšana un atņemšana

Atsauces

h. Bēnke, F. Bahmans, K. Fleds, V. Suss, H. Gerike, F. Hohenbergs, G. Pikerts, H. Rau un S. h. Goulds. (1983). Matemātikas pamati: I sējums. Kembridža, Masačūsetsa un Londona: MIT Press.