Kvadrātiskās funkcijas definīcija

Kvadrātiskā funkcija reālam mainīgajam, kura forma ir izteikta.

\(f\left(x\right) = a{x^2} + bx + c\)

Ja mainīgais ir \(x\), \(a, b\) un c ir reālas konstantes, ko sauc par kvadrātiskās funkcijas koeficientiem ar \(a \ne 0.\)

Tabulā ir sniegti vispārīgi kvadrātisko funkciju piemēri un situācija, ko tās var modelēt, lai vēlāk ilustrētu to tiešu pielietojumu no reālām problēmām.

Kvadrātiskā funkcija	Situācija, kuru varat modelēt
\(f\left(x\right) = {x^2}\)	Mainīgais \(y\) ir kvadrāta laukums, kura malas izmērs ir \(x\).
\(f\left(x\right) = \pi {x^2}\)	Mainīgais \(y\) ir apļa laukums, kura rādiuss ir \(x\).
\(f\left(x\right) = 100–4,9{x^2}\)	Mainīgais \(y\) ir objekta augstums, kas tika nomests 100 augstumā, un \(x\) ir pagājušais laiks.
\(f\left( x \right) = 60\left( {{\bf{sin}}45^\circ } \right) x – 4,9{x^2}\)	Mainīgais \(y\) ir 45° leņķī ar ātrumu 60 m/s izmestas lielgabala lodes augstums un \(x\) ir pagājušais laiks.

Vispārējā formula un kvadrātfunkcija

Ja \(x = \alpha \) kvadrātiskā funkcija ir nulle, tad skaitli \(\alpha \) sauc par kvadrātvienādojuma sakni, jā, \(\alpha \) ir kvadrātvienādojuma atrisinājums

\(a{x^2} + bx + c = 0\)

Kvadrātvienādojumu risināšanas vispārīgā formula ir tāda, ka kvadrātiskās funkcijas saknes ir:

\(\alpha = \frac{{ – b + \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}},\;\;\beta = \frac{{ – b – \sqrt {{b ^2}–4ac} }}{{2a}}\)

No iepriekš minētā tiek noteikta šāda attiecība starp kvadrātfunkcijas saknēm un koeficientiem:

\(\alpha + \beta = – \frac{b}{a},\;\;\alpha \beta = \frac{c}{a}\)

Izmantojot ievērojamus produktus, tiek noteikta šāda identitāte:

\(a{x^2} + bx + c = a\left( {x – \alpha } \right)\left( {x – \beta } \right)\)

Līdzīgi kā vispārējā formulā, tiek noteikts, ka kvadrātfunkciju var izteikt šādā formā:

\(f\left(x\right) = a{\left({x – h}\right)^2} + k\)

Ar \(h = – \frac{b}{{2a}}\) un \(k = – \frac{{{b^2} – 4ac}}{a}\)

Atrisinot vienādojumu:

\(a{\left( {x – h} \right)^2} + k = 0\)

Tiek iegūts:

\(\left| {x – h} \right| = \sqrt { – \frac{k}{a}} \)

\(x = h \pm \sqrt { – \frac{k}{a}} \)

No iepriekš minētā var secināt, ka \(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\), tikai tad, ja konstantes \(k\) un \(a\) ir no pretējās zīmēs šai kvadrātfunkcijai ir reālas saknes, kas ir: \(h + \sqrt { – \frac{k}{a}} ,\;\;h – \sqrt { – \frac{k}{a} } \).

Ja konstantēm \(k\) un \(a\) ir vienāda zīme, tad kvadrātfunkcijai nav reālu sakņu.

Ja \(k = 0,\;\;\)kvadrātiskajai funkcijai ir tikai viena sakne.

Piemēri, kas attiecas uz reālo dzīvi

1. pielietojuma piemērs: Ekonomika

Skola vēlas organizēt futbola turnīru, kurā katra komanda spēlē ar katru no citām komandām tikai vienu reizi. Šķīrējtiesas izmaksām ir paredzēts budžets 15 600 $, ja šķīrējtiesas izmaksas ir 200 $ par spēli. Cik komandas var reģistrēties turnīram?

Problēmas paziņojums: jāatrod funkcija, kas aprēķina atbilstību, ja mums ir \(n\) komandas, lai tās saskaitītu, pieņemsim, ka pirmā komanda spēlē ar visām pārējām, tas ir, \(n – 1\) sērkociņi. 2. komanda tagad spēlētu ar visu pārējo, tas ir, ar \(n – 2\), jo viņi jau būs spēlējuši ar 1. komandu. 3. komanda jau būs spēlējusi ar 1. un 2. komandu, tātad būtu jāspēlē ar n-3 komandām.

Ar iepriekš minēto argumentāciju mēs nonākam pie:

\(f\left(n \right) = n – 1 + n – 2 + \lpunkti + 2 + 1\)

\(f\left( n \right) = \frac{{n\left( {n-1} \right)}}{2}\)

Izmaksu funkcija ir:

\(C\left(n \right) = 200f\left(n \right) = 100n\left({n-1} \right)\)

Tā kā budžets ir USD 15 600, mums ir vienādojums:

\(100n\pa kreisi( {n - 1} \right) = 15600\)

vienādojuma risinājums

\(100n\left( {n-1} \right) = 15600\) Sākotnējā situācija
\(n\left( {n - 1} \right) = 156\) Sadaliet katru vienādojuma pusi ar 100
\({n^2} – n – 156 = \) Pievienojiet \( – 156\) katrai vienādojuma pusei
\(\left( {n – 13} \right)\left( {n + 12} \right) = 0\) Mums ir \(\left( { – 13} \right)\left( {12} \right) ) = – 156\) un \( – 13 + 12 = – 1\)
Tas tika ņemts vērā.
Vienādojuma \(n = – 12,\;13\) risinājumi
Atbilde: Budžetā pietiek 13 komandu reģistrācijai.

2. pielietojuma piemērs: Ekonomika

Kāds lielpilsētas transporta autobusu uzņēmums novērojis, ka astoņu stundu diennaktī katrs tā autobuss pārvadā vidēji tūkstoti pasažieru. Lai varētu saviem darbiniekiem paaugstināt paaugstinājumu, jums būs jāpalielina braukšanas maksa, kas pašlaik ir 5 USD; Ekonomists aprēķina, ka par katru peso, kura cena palielinās, katra kravas automašīna katru dienu zaudēs vidēji 40 pasažierus. Uzņēmums ir aprēķinājis, ka, lai segtu algas pieaugumu, katru dienu jāiegūst papildus USD 760. Par cik jāpalielina braukšanas maksa?

Problēmas formulējums: Lai \(x\) ir peso summa, kurā biļete pieaugs, par kuru \(5 + x\) ir jaunā biļetes cena. Ar šo pašu pieaugumu katra kravas automašīna vidēji dienā pārvadās \(1000 – 40x\) pasažierus.

Visbeidzot, ieņēmumi uz vienu kravas automašīnu ir:

\(I\left( x \right) = \left( {5 + x} \right)\left( {1000 – 40x} \right) = – 40\left( {x + 5} \right)\left( {x – 25} \pa labi)\)

Lai segtu algas pieaugumu, katram autobusam jāsavāc: \(1000\pa kreisi( 5 \pa labi) + 760 = 5760\)

Visbeidzot, mums ir vienādojums:

\(–40\kreisais( {x + 5} \labais)\kreisais( {x – 25} \labais) = 5760\)

vienādojuma risinājums
\(–40\kreisais( {x + 5} \labais)\kreisais( {x – 25} \labais) = 5760\) Sākotnējā situācija
\(\left( {x + 5} \right)\left( {x – 25} \right) = – 144\) Sadaliet ar \( – 40\) katru vienādojuma pusi
\({n^2} – 20n – 125 = – 144\) Ievērojamais produkts tika izstrādāts
\({n^2} – 20n + 19 = 0\) katram tika pievienoti 144
\(\left( {n - 19} \right)\left( {n - 1} \right) = 0\) Mums ir \(\left( { - 19} \right)\left( { - 1} \ pa labi) = 19\) un \( – 19 – 1 = – 20\)
faktorēts
Vienādojuma \(n = 1,19\) risinājumi
Atbilde: Biļešu cena var pieaugt par USD 1 vai USD 19 peso.

3. pielietojuma piemērs: Ekonomika

Maizes veikalā vidēji tiek pārdoti 1200 ruļļu nedēļā par 6 USD katrs. Kādu dienu viņš nolēma paaugstināt cenu līdz 9 USD gabalā; tagad viņas pārdošanas apjoms ir samazinājies: viņa pārdod tikai vidēji 750 ruļļus nedēļā. Kādai jābūt katras maizītes cenai, lai tirdzniecības vietas ieņēmumi būtu iespējami lielāki? Pieņemsim, ka pastāv lineāra sakarība starp pieprasījumu un cenu.

Problēmas izklāsts: pieņemot, ka pastāv lineāra sakarība starp pieprasījumu D un cenu \(x,\), tad

\(D = mx + b\)

Kad \(x = 6; D = 1200;\;\), kas ģenerē vienādojumu:

\(1200 = 6 m + b\)

Ja \(x = 9;D = 750;\;\) lo un tiek iegūts vienādojums:

\(750 = 9 m + b\)

Atrisinot vienādojumu sistēmu, attiecība starp pieprasījumu un cenu ir:

\(D = – 150x + 2100 = – 150\kreisais( {x – 14} \labais)\)

Ienākumi ir vienādi ar

\(I\left(x\right) = Dx = – 150x\pa kreisi( {x – 14} \pa labi)\)

Risinājums

Ienākumu grafiks parabolā, kas atveras uz leju un kura maksimālā vērtība tiek sasniegta virsotnē ko var atrast, aprēķinot vidējo vērtību kvadrātfunkcijai, kas modelē ienākumiem. Saknes ir \(\alpha = 0,\;\;\beta = 14\).

\(h = \frac{{0 + 14}}{2} = 7\)

\(I\pa kreisi( h \pa labi) = – 150\kreisais( 7 \labais)\kreisais( {7 – 14} \labais) = 7350\)

Atbilde

Maksimālie ieņēmumi ir 7350 USD, un tie tiek sasniegti ar cenu 7 USD; pārdodot vidēji 1050 ruļļus nedēļā.

4. pielietojuma piemērs: Ekonomika

\(n\) krēslu izgatavošanas izmaksas vienā dienā var aprēķināt ar kvadrātisko funkciju:

\(C\left(n \right) = {n^2} – 200n + 13000\)

Nosakiet minimālās izmaksas, ko var sasniegt.

Problēmas paziņojums

Diagramma \(C\left( n \right)\) ir parabola, kas atveras uz augšu un sasniegs savu minimālo punktu pie \(h = – \frac{b}{{2a}} = – \frac{{\ pa kreisi( { – 200} \right)}}{{2\left( 1 \right)}} = 100\)

\(C\left( {100} \right) = {\left({100} \right)^2} – 200\left( {100} \right) + 13000 = 3000\)

Atbilde

Zemākās iespējamās izmaksas ir 3000 USD, un tās tiek sasniegtas, izgatavojot 100 krēslus.

Pielietojuma piemērs 5: Ģeometrija

Romba laukums ir 21 cm2; Ja tā diagonāļu garumu summa ir 17 cm, kāds ir katras romba diagonāles garums?

Problēmas formulējums: Romba laukumu aprēķina ar:

\(A = \frac{{Dd}}{2}\)

Ar \(D\) un \(d\) tā diagonāļu garumiem ir zināms arī:

\(D + d = 7\)

\(D = 17 – d\)

Aizstājot jūs saņemat:

\(A = \frac{{\left( {17 – d} \right) d}}{2}\)

Visbeidzot mēs iegūstam vienādojumu

\(\frac{{\left( {17 – d} \right) d}}{2} = 21\)

Risinājums
\(\frac{{\left( {17 – d} \right) d}}{2} = 21\) Sākotnējā situācija
\(\left( {17 – d} \right) d = 42\) Reiziniet ar \( – 40\) katrā vienādojuma pusē
\({d^2} – 17d + 42 = 0\) Produkts tika izstrādāts.
\(\left( {d – 14} \right)\left( {d – 3} \right) = 0\) Mums ir \(\left( { – 14} \right)\left( { – 3} \ pa labi) = 42\) un \( – 14 – 3 = – 17\)
faktorēts
Vienādojuma \(d = 3,14\) risinājumi
Atbilde:

Romba diagonāles ir 14 cm un 3 cm.

Pielietojuma piemērs 6: Ģeometrija

Vēlams būvēt taisnstūrveida vistu kūti 140 m2 platībā, izmantojot diezgan garo žogu, kas veidos vistu kūts dibenu. Pārējās trīs malas tiks būvētas ar 34 lineāriem metriem stiepļu sietu, cik lielam jābūt vistu kūts garumam un platumam, lai izmantotu kopējo sietu?

Ar tādiem pašiem nosacījumiem, cik liela ir maksimālā platība, ko var nožogot ar vienu un to pašu sietu?

Problēmas paziņojums: saskaņā ar diagrammu laukums ir vienāds ar:

\(A\left(x\right) = x\left({34–2x}\right) = 2x\left({17–x}\right)\)

Kur \(x\) ir žogam perpendikulāras malas garums.

Lai zinātu taisnstūra izmērus tā, lai tā platība būtu 140 m2, pietiek ar vienādojumu atrisināt

\(2x\pa kreisi( {17 – x} \pa labi) = 140\)

Tā kā \(A\left( x \right)\) grafiks ir parabola, kas atveras uz leju, lai aprēķinātu laukuma maksimālo vērtību, pietiek ar parabolas virsotnes aprēķināšanu.

Atbildes
Taisnstūra izmēri ar platību 140 m2
Sānu garums perpendikulāri žogam

\(x\) Sānu garums paralēli žogam

\(34–2x\)
10 14
7 20

Virsotnes pirmā koordināte ir \(h = \frac{{17}}{2}\) un

\(A\left( h \right) = \frac{{289}}{2}\)

Laukums ir maksimālais, ja perpendikulārās malas izmērs ir \(\frac{{17}}{2}\;\)m un paralēlās malas izmērs ir 17 m, tas ir 17 m, maksimālā sasniegtā laukuma vērtība ir \(\frac{ {289}} {2}\)m2.

Kvadrātfunkcijas grafiks

No ģeometriskā viedokļa saknes ir punkti, kuros funkcijas grafiks krustojas ar \(x\) asi.

No izteiksmes

\(f\left(x\right) = a{\left({x – h}\right)^2} + k,\)

Mēs noteiksim kvadrātiskās funkcijas grafika vispārējo formu.

Pirmais gadījums \(a > 0\) un \(k > 0\)

\(f\left(x\right) = a{\left({x – h}\right)^2} + k\)

\(x\)	\(f\left( x \right)\)
\(h–1\)	\(a + k\)
\(h–2\)	\(4a + k\)
\(h–3\)	\(9a + k\)
\(h–4\)	\(16a + k\)
\(h\)	\(k\)
\(h + 1\)	\(a + k\)
\(h + 2\)	\(4a + k\)
\(h + 3\)	\(9a + k\)
\(h + 4\)	\(16a + k\)

Šajā gadījumā grafiks atbilst:

Simetriska: ar simetrijas asi \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) Tas ir \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \pa labi)\)

Tas atrodas virs \(x\) ass un nekrustojas ar to. Tas nozīmē, ka \(f\left( x \right) > 0\) nav īstu sakņu.

Diagrammas zemākais punkts atrodas punktā \(\left( {h, k} \right)\). Tas ir \(f\left(x\right) \ge f\left(h\right) = k\)

Otrais gadījums \(a < 0\) un \(k < 0\)

\(f\left(x\right) = a{\left({x – h}\right)^2} + k\)

\(x\)	\(f\left( x \right)\)
\(h–1\)	\(a + k\)
\(h–2\)	\(4a + k\)
\(h–3\)	\(9a + k\)
\(h–4\)	\(16a + k\)
\(h\)	\(k\)
\(h + 1\)	\(4a + k\)
\(h + 2\)	\(9a + k\)
\(h + 3\)	\(4a + k\)
\(h + 4\)	\(16a + k\)

Šajā gadījumā grafiks atbilst:

Simetriska: ar simetrijas asi \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) Tas ir \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \pa labi)\)

Tas atrodas zem \(x\) ass un nekrustojas ar to. Tas nozīmē, ka \(f\left( x \right) < 0\) nav reālu sakņu. Diagrammas augstākais punkts atrodas punktā \(\left( {h, k} \right)\). Tas ir \(f\left(x \right) \le f\left(h \right) = k\) Trešais gadījums \(a > 0\) un \(k \le 0\).

Šis gadījums ir līdzīgs pirmajam gadījumam, atšķirība ir tāda, ka tagad mums ir viena reāla sakne (kad \(k = 0\) ) vai divas reālas saknes.

Šajā gadījumā grafiks atbilst:

Simetriska: ar simetrijas asi \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) Tas ir \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \pa labi)\)

Tas krustojas ar \(x\) asi, tas ir, tai ir vismaz viena reāla sakne.

Diagrammas zemākais punkts atrodas punktā \(\left( {h, k} \right)\). Tas ir \(f\left(x\right) \ge f\left(h\right) = k\)

Ceturtais gadījums \(a < 0\) un \(k \ge 0\). Šis gadījums ir līdzīgs otrajam gadījumam, atšķirība ir tāda, ka tagad mums ir viena reāla sakne (kad \(k = 0\) ) vai divas reālas saknes. Šajā gadījumā grafiks atbilst:

Simetriska: ar simetrijas asi \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) Tas ir \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \pa labi)\)

Diagrammas zemākais punkts atrodas punktā \(\left( {h, k} \right)\). Tas ir \(f\left(x\right) \le f\left(h\right) = k\)

Kvadrātfunkcijas grafiku sauc par parabolu, un tā izceļamie elementi ir simetrijas ass, punkti, kur tā krustojas uz \(x\) asi un virsotni, kas ir punkts funkcijas diagrammā, kurā tā sasniedz zemāko vai augstāko punktu atkarībā no lietu.

Pamatojoties uz veikto analīzi, mēs varam teikt:

Ar kvadrātisko funkciju \(f\left(x \right) = a{x^2} + bx + c\) saistītās parabolas virsotne atrodas \(\left( {h, k} \right)\), kur :

\(h = – \frac{b}{{2a}},\;\;k = f\left( h \right)\)

piemēri

Kvadrātfunkcija \(y = {x^2}\)	svarīgi elementi
Parabolas virsotne	\(\left( {0,0} \right)\)
Parabolas simetrijas ass	\(x = 0\)
Pārtver ar \(x\) asi	\(\left( {0,0} \right)\)

Kvadrātiskā funkcija \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 2} \right)^2}\)	svarīgi elementi
Parabolas virsotne	\(\left( {2,0} \right)\)
Parabolas simetrijas ass	\(x = 2\)
Pārtver ar \(x\) asi	\(\left( {2,0} \right)\)

Kvadrātiskā funkcija \(y = {\left( {x + 2} \right)^2} – 4\)	svarīgi elementi
Parabolas virsotne	\(\left( {–2, – 4} \right)\)
Parabolas simetrijas ass	\(x = – 2\)
Pārtver ar \(x\) asi	\(\left( { – 4,0} \right);\left( {0,0} \right)\)

Kvadrātfunkcija \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 9} \right)^2} + 8\)	svarīgi elementi
Parabolas virsotne	\(\left( {9,8} \right)\)
Parabolas simetrijas ass	\(x = 9\)
Pārtver ar \(x\) asi	\(\left( {5,0} \right);\left( {13,0} \right)\)

Kvadrātfunkcija \(y = {x^2} + 1\)	svarīgi elementi
Parabolas virsotne	\(\left( {0,1} \right)\)
Parabolas simetrijas ass	\(x = 0\)
Pārtver ar \(x\) asi	Nav

Kvadrātiskā funkcija \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 2} \right)^2} – 1\)	svarīgi elementi
Parabolas virsotne	\(\left( {2, – 1} \right)\)
Parabolas simetrijas ass	\(x = 2\)
Pārtver ar \(x\) asi	Nav

Ja pastāv kvadrātfunkcijas reālās saknes, mēs varam no tām attēlot saistīto parabolu. Pieņemsim, ka \(f\left( x \right) = a\left( {x – \alpha } \right)\left( {x – \beta } \right)\)

Šim nolūkam ir jāņem vērā:

\(\alpha + \beta = – \frac{b}{a}\)

\(\frac{{\alpha + \beta }}{2} = – \frac{b}{{2a}} = h\)

Kā

\(k = f\kreisais( h \labais)\)

\(k = f\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2}} \right)\)

\(k = a\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2} – \alpha } \right)\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2} – \ beta } \right)\)

\(k = – \frac{a}{4}{\left( {\alpha – \beta } \right)^2}\)

piemēri

Ieskicējiet kvadrātiskās funkcijas grafiku \(f\left( x \right) = \frac{1}{4}\left( {x – 3} \right)\left( {x + 6} \right )\)

Risinājums

Saknes ir \(\alpha = 3\;\) un \(\beta = – 6\); tad \(h = \frac{{3–6}}{2} = – \frac{3}{2}\).

\(k = f\left( { – \frac{3}{2}} \right) = 2\left( { – \frac{3}{2} – 3} \right)\left( { – \frac {3}{2} + 6} \right) = \frac{1}{4}\left( { – \frac{9}{2}} \right)\left( {\frac{9}{2}} \right) = – \frac{{81}}{{16}}\)

Tātad mēs varam izveidot šādu tabulu

\(f\left( x \right) = 2\left( {x – 3} \right)\left( {x + 6} \right)\)	svarīgi elementi
Parabolas virsotne	\(\left( { – \frac{3}{2}, – \frac{{81}}{2}} \right)\)
Parabolas simetrijas ass	\(x = – \frac{{81}}{2}\)
Pārtver ar \(x\) asi	\(\left( { – 6,0} \right)\;,\;\left( {3,0} \right)\)

Lai ieskicētu funkcijas grafiku:

\(f\left(x\right) = 3{x^2} – 18x + 4\)

Mēs izmantosim tās pašas idejas, kuras jau esam izmantojuši; Šim nolūkam mēs vispirms noteiksim virsotni.

Šajā gadījumā \(a = 3; b = – 12,\;c = 4\).

Tā kā \(a > 0\), parabola “atvērsies un \(h = – \frac{b}{{2a}} = – \left( {\frac{{ – 18}}{{3\left ( 2 \right)}}} \right) = 3.\) Tālāk mēs aprēķināsim \(k:\)

\(k = f\left(h \right) = f\left(3 \right) = 3{\left(3 \right)^2} - 18\left(3 \right) + 4 = -23\)

Parabolas virsotne atrodas \(\left( {3, – 23} \right)\) un tā kā tā atveras uz augšu, tad parabola krustos ar \(x\;\) asi un tās simetrijas ass ir \ (x = 3\).

Tagad aplūkosim kvadrātisko funkciju

\(f\left(x\right) = – 5{x^2} + 10x – 9\)

Šajā gadījumā \(a = 3; b = – 12,\;c = 4\).

Tā kā \(a < 0\), parabola "atvērsies" uz leju un \(h = - \frac{b}{{2a}} = - \left( {\frac{{10}}{{\left( 2 \labais)\kreisais( { - 5} \labais)}}} \labais) = 1.\) A Tālāk mēs aprēķināsim \(k:\) \(k = f\left( h \right) = f\left( 1 \right) = - 5{\left(1 \right)^2} + 10\left( 1 \ pa labi) - 9 = - 4\) Virsotne parabola atrodas \(\left( {1, - 4} \right)\) un tā kā tā atveras uz leju, tad parabola nekrustos ar \(x\;\) asi un tās simetrijas ass ir \(x = 1.\)