Ģeometriskās progresēšanas definīcija

Ciparu virkne \({{a}_{1}},~{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots \); To sauc par ģeometrisko progresiju, ja, sākot no otrā, katru elementu iegūst, reizinot iepriekšējo ar skaitli \(r\ne 0\), tas ir, ja:
\({{a}_{n+1}}={{a}_{n}}r\)
Kur:
- Skaitli \(r\) sauc par ģeometriskās progresijas attiecību.
- Elementu \({{a}_{1}}\) sauc par pirmo aritmētiskās progresijas elementu.

Ģeometriskās progresijas elementus var izteikt ar pirmo elementu un tā attiecību, tas ir:
\({{a}_{1}},{{a}_{1}}r,{{a}_{1}}{{r}^{2}},{{a}_{1} }{{r}^{3}}\)

Tie ir pirmie četri aritmētiskās progresijas elementi; parasti \(k-\)-tais elements tiek izteikts šādi:
\({{a}_{k}}={{a}_{1}}{{r}^{k-1}}\)

Kad \({{a}_{1}}\ne 0,~\)no iepriekšējās izteiksmes mēs iegūstam:

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}=\frac{{{a}_{1}}{{r}^{k-1}} }{{{a}_{1}}{{r}^{l-1}}}\)

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}={{r}^{k-l}}\)

Iepriekš minētā izteiksme ir līdzvērtīga:

\({{a}_{k}}={{a}_{l}}{{r}^{k-l}}\)

1. piemērs/vingrinājums. Atrodiet aritmētiskās progresijas atšķirību: \(2,6,18,54,\ldots \) un atrodiet elementus \({{a}_{20}},~{{a}_{91}} \)

instagram story viewer

Risinājums

Tā kā \(\frac{6}{2}=\frac{18}{6}=\frac{54}{18}=3\), mēs varam secināt, ka attiecība ir:

\(r=3\)

\({{a}_{20}}=2\left( {{3}^{20-1}} \right)=2{{\left(3 \right)}^{19}}\)

\({{a}_{91}}=2\left( {{3}^{91-1}} \right)=2{{\left(3 \right)}^{90}}\)

2. piemērs/vingrinājums. Aritmētiskajā progresijā mums ir: \({{a}_{17}}=20~\)y \({{a}_{20}}=-1280\), nosaka ģeometriskās progresijas attiecību un ieraksta pirmie 5 elementi.

Risinājums

Valkājot

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}={{r}^{k-l}}\)

\(\frac{{{y}_{20}}}{{{y}_{17}}}={{r}^{20-17}}\)

\(\frac{-1280}{20}={{r}^{3}}\)

\(-64={{r}^{3}}\)

\(\sqrt[3]{-64}=\sqrt[3]{{{r}^{3}}}\)

\(-4=r\)

Atrast pirmos 5 aritmētiskās progresijas elementus; mēs aprēķināsim \({{a}_{1}}\):

\({{a}_{k}}={{a}_{1}}{{r}^{k-1}}\)

\({{a}_{17}}={{a}_{1}}{{\left( r \right)}^{17-1}}\)

\(20={{a}_{1}}{{\left( -4 \right)}^{16}}\)

\(\frac{20}{{{4}^{16}}}={{a}_{1}}\)

\(\frac{5\left( 4 \right)}{{{4}^{16}}}={{a}_{1}}\)

\(\frac{5}{{{4}^{15}}}={{a}_{1}}\)

Pirmie 5 ģeometriskās progresijas elementi ir:

\(\frac{5}{{{4}^{15}}},~\frac{5}{{{4}^{15}}}\left( -4 \right),\frac{5} {{{4}^{15}}}{{\left( -4 \right)}^{2}},\frac{5}{{{4}^{15}}}{{\left( -4 \right)}^{3}},\frac{5}{{ {4}^{15}}}{{\left( -4 \right)}^{4}}\)

\(\frac{5}{{{4}^{15}}},-~\frac{5}{{{4}^{14}}},\frac{5}{{{4}^{ 13}}},-\frac{5}{{{4}^{12}}},\frac{5}{{{4}^{11}}}\)

3. piemērs/vingrinājums. Plāns stikls absorbē 2% no saules gaismas, kas iet caur to.

uz. Cik daudz gaismas izies cauri 10 no šīm plānām glāzēm?

b. Cik daudz gaismas izies cauri 20 no šīm plānām glāzēm?

c. Nosakiet gaismas procentuālo daudzumu, kas iziet cauri \(n\) plānām glāzēm ar vienādām īpašībām, kas novietotas secīgi.

Risinājums

Mēs attēlosim ar 1 kopējo gaismu; absorbējot 2% gaismas, tad 98% gaismas iet caur stiklu.

Mēs attēlosim ar \({{a}_{n}}\) gaismas procentuālo daudzumu, kas iziet cauri stiklam \(n\) .

\({{a}_{1}}=0,98,~{{a}_{2}}=0,98\left( 0,98 \right),~{{a}_{3}}={{\left( 0,98 \right)}^{2}}\left( 0,98 \right),\)

Kopumā \({{a}_{n}}={{\left( 0,98 \right)}^{n}}\)

uz. \({{a}_{10}}={{\left( 0,98 \right)}^{10}}=0,81707\); kas norāda, ka pēc stikla 10 iziet 81,707% gaismas

b. \({{a}_{20}}={{\left( 0,98 \right)}^{20}}=~0,66761\); kas liecina, ka pēc 20 glāzītes iziet 66,761%

Ģeometriskās progresijas pirmo \(n\) elementu summa

Ņemot vērā ģeometrisko progresiju \({{a}_{1}},{{a}_{1}}r,{{a}_{1}}{{r}^{2}},{{a} 1}}{{r}^{3}}\)….

Ja \(r\ne 1\) ir pirmo \(n\) elementu summa, summa:

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}+{{a}_{1}}r+{{a}_{1}}{{r}^{2}} +{{a}_{1}}{{r}^{3}}+\lpunkti +{{a}_{1}}{{r}^{n-1}}\)

To var aprēķināt ar

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r},~r \n1\)

4. piemērs/vingrinājums. No 2. piemēra aprēķiniet \({{S}_{33}}\).

Risinājums

Šajā gadījumā \({{a}_{1}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\) un \(r=-4\)

piesakoties

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r}\)

\({{S}_{22}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\frac{1-{{\left( -4 \right)}^{22}}} {1-\left(-4 \right)}\)

\({{S}_{22}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\frac{1-{{\left( -4 \right)}^{22}}} {5}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1-{{\left(4 \right)}^{22}}}{{{4}^{15}}}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1}{{{4}^{15}}}-\frac{{{\left( 4 \right)}^{22}}}{{ {4}^{15}}}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1}{{{4}^{15}}}-{{4}^{7}}\)

5. piemērs/vingrinājums. Pieņemsim, ka persona augšupielādē sava mājdzīvnieka fotoattēlu un kopīgo to ar 3 saviem draugiem interneta sociālajā tīklā, un vienas stundas laikā katrs no viņi kopīgo fotogrāfiju ar trim citiem cilvēkiem, un pēc tam pēdējie vēl vienas stundas laikā kopīgo fotogrāfiju ar 3 citiem cilvēki; Un tā tas turpinās; katra persona, kas saņem fotogrāfiju, stundas laikā kopīgo to ar 3 citiem cilvēkiem. Cik cilvēkiem pēc 15 stundām jau ir fotogrāfija?

Risinājums

Nākamajā tabulā parādīti pirmie aprēķini
Laiks Cilvēki, kuri saņem fotogrāfiju Cilvēki, kuriem ir fotogrāfija
1 3 1+3=4
2 (3)(3)=32=9 4+9=13
3 32(3)= 33=27 13+27=40

Cilvēku skaits, kas saņem fotogrāfiju stundā \(n\), ir vienāds ar: \({{3}^{n}}\)

To cilvēku skaits, kuriem jau ir fotogrāfija stundā, ir vienāds ar:

\(3+{{3}^{2}}+{{3}^{3}}+\lpunkti +{{3}^{n}}\)

piesakoties

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r}\)

Ar \({{a}_{1}}=3,\) \(r=3\) un \(n=15\)

Kurā:

\({{S}_{n}}=\frac{\left( 1-{{3}^{15}} \right)}{1-3}=7174453\)

ģeometriskie līdzekļi

Doti divi skaitļi \(a~\) un \(b,\) skaitļi \({{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k +1}}\) sauc par \(k\) skaitļu \(a~\) un \(b\) ģeometriskiem vidējiem; ja secība \(a,{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k+1}},b\) ir ģeometriska progresija.

Lai zinātu skaitļu \(a~\) un \(b\) ģeometrisko vidējo vērtību \(k\), pietiek zināt aritmētiskās progresijas attiecību, šim nolūkam jāņem vērā:

\(a={{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k+1}},{ {a}_{k+2}}=b,\)

No iepriekš minētā mēs izveidojam attiecības:

\(b=a{{r}^{k+1}}\)

Atrisinot \(d\), mēs iegūstam:

\(b=a{{r}^{k+1}}\)

\(\frac{b}{a}={{r}^{k+1}}\)

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

6. piemērs/vingrinājums. Atrodiet 2 ģeometriskos vidējos starp skaitļiem -15 un 1875.

Risinājums

Piesakoties

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

ar \(b=375,~a=-15\) un \(k=2~\):

\(r=\sqrt[2+1]{\frac{1875}{-15}}\)

\(r=\sqrt[3]{-125}=-5\)

Trīs ģeometriskie līdzekļi ir:

\(75,-375\)

7. piemērs/vingrinājums. Cilvēks katru mēnesi 6 mēnešus ieguldīja naudu un saņēma procentus un viņa kapitāls pieauga par 10%. Pieņemot, ka likme nemainījās, kāda bija mēneša procentu likme?

Risinājums

Lai \(C\) ir ieguldītais kapitāls; galīgais kapitāls ir \(1.1C\); Lai atrisinātu problēmu, ir jāievieto 5 ģeometriskie līdzekļi, izmantojot formulu:

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

Ar \(k=5, ~b=1,1C\) un \(a=C.\)

\(r=\sqrt[5+1]{\frac{1,1C}{C}}=\sqrt[6]{1,1}=1,016\)

Saņemtā mēneša likme bija \(1,6%\)