Jaukto, mērvienību, homogēno un heterogēno frakciju definīcija

Jaukti. Jaukto daļskaitli veido vesels skaitlis, kas ir lielāks vai vienāds ar vienu, un pareiza daļdaļa, daļskaitļa vispārīgā rakstība jaukts ir šādā formā: \(a + \frac{c}{d},\), kura kompaktais raksts ir: \(a\frac{c}{d},\;\), tas ir: \(a\ daļa{c}{d} = a + \frac{c}{d}\). Skaitlis \(a\) tiek saukts par jauktās daļskaitļa veselo skaitļu daļu, un \(\frac{c}{d}\) sauc par tā daļskaitli.

viendabīgs. Ja divām vai vairākām daļām ir vienāds saucējs, tās tiek uzskatītas par daļām. Piemēram, daļskaitļi \(\frac{3}{4},\) \(\frac{7}{4},\) \(\frac{1}{4},\) \(\frac{{ 10}}{4}\) ir viendabīgi, jo tiem visiem ir viens un tas pats saucējs, kas šajā gadījumā ir \(4\). Kamēr daļskaitļi \(\frac{3}{4},\) \(\frac{7}{4},\) \(\frac{1}{4},\) \(\frac{5} { 2}\) nav viendabīgas frakcijas, jo \(\frac{5}{2}\) saucējs ir \(2\) un pārējo daļu saucējs ir \(4\). Viena no viendabīgo daļu priekšrocībām ir tā, ka funkciju saskaitīšanas un atņemšanas aritmētiskās darbības ir ļoti vienkāršas.

neviendabīgs. Ja divām vai vairākām daļām, vismaz divām no tām nav vienāds saucējs, tad šīs daļas tiek uzskatītas par neviendabīgām daļām. Šīs frakcijas ir neviendabīgas: \(\frac{3}{5},\;\) \(\frac{7}{5}\), \(\frac{1}{4},\) \(\ frac{2}{5}\).

vienots. Daļskaitlis tiek identificēts kā vienība, ja skaitītājs ir vienāds ar 1 \(1,\) \(2\). Tālāk norādītās daļas ir vienību daļu piemēri: \(\frac{1}{2},\;\) \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{4}\), \(\;\frac{1}{5}\).

Jauktas frakcijas verbāla izteiksme

jauktā frakcija	Verbālā izteiksme
\(3\frac{1}{2} = \)	Trīs ar pusi veseli
\(5\frac{3}{4} = \)	Pieci veseli skaitļi un trīs ceturtdaļas
\(10\frac{1}{8} = \)	Desmit veseli skaitļi ar astoto

Jauktas frakcijas pārvēršana nepareizā frakcijā

Jauktās frakcijas ir noderīgas aplēsēm, piemēram, ir viegli noteikt:

\(5\frac{1}{{20}} > 4\frac{9}{{10}}\)

Tomēr jauktās daļskaitļi parasti ir nepraktiski, lai veiktu tādas darbības kā reizināšana un dalīšana, tāpēc ir svarīgi, kā pārvērst jauktā daļskaitlī.

Iepriekšējais skaitlis attēlo jaukto daļu \(2\frac{3}{4}\), tagad katrs vesels skaitlis sastāv no četras ceturtdaļas, tātad 2 veselos skaitļos ir 8 ceturtdaļas, un tiem mums jāpievieno pārējās 3 ceturtdaļas, tas ir saki:

\(2\frac{3}{4} = \frac{{2\left(4 \right) + 3}}{4} = \frac{{11}}{4}\)

Vispārīgi:

\(a\frac{c}{d} = \frac{{ad + c}}{d}\)

Nākamajā tabulā ir parādīti citi piemēri.

jauktā frakcija	Veicamās operācijas	nepareiza frakcija
\(3\frac{1}{2}\)	\(\frac{{3\left( 2 \right) + 1}}{2}\)	\(\frac{7}{2}\)
\(5\frac{3}{4}\)	\(\frac{{5\left( 4 \right) + 3}}{4}\)	\(\frac{{23}}{4}\)
\(10\frac{1}{8}\)	\(\frac{{10\left( 8 \right) + 1}}{8}\)	\(\frac{{81}}{8}\)

Nepareizas frakcijas pārvēršana jauktā frakcijā

Lai nepareizu daļskaitli pārvērstu jauktā daļskaitlī, aprēķiniet koeficientu un atlikumu, dalot skaitītāju ar saucēju. Iegūtais koeficients būs jauktās daļskaitļa veselā daļa, un pareizā daļa būs \(\frac{{{\rm{remainder}}}}{{{\rm{saucējs}}}}\)

Piemērs

Lai pārvērstu \(\frac{{25}}{7}\) par jauktu daļskaitli:

Par veiktajām operācijām mēs iegūstam:

Tālāk esošajā tabulā ir parādīti citi piemēri.

nepareiza frakcija	Koeficienta un atlikuma aprēķināšana	nepareiza frakcija
\(\frac{{25}}{7}\)		\(3\frac{4}{7}\)
\(\frac{{35}}{8}\)		\(4\frac{3}{8}\)
\(\frac{{46}}{5}\)		\(9\frac{1}{5}\)

Jauktu un pareizu frakciju lietošana ikdienā

Ikdienā mums ir jāmēra, jāpērk, jāsalīdzina cenas, jāpiedāvā atlaides; mērīšanai mums ir vajadzīgas mērvienības, un tās ne vienmēr piedāvā veselas produktu vienības, un jūs ne vienmēr maksājat ar veselu vienības monētu daudzumu.

Piemēram, daži šķidrumi parasti tiek pārdoti traukos, kuru saturs ir \(\frac{3}{4}\;\) no litra, pusgalona vai pusotra galona. Varbūt, dodoties pirkt cauruli, jūs prasāt \(\frac{1}{8},\;\) \(\frac{7}{8},{\rm{\;}}\) \({ \rm {3}}\frac{1}{2}\), un jums nav jānorāda mērvienība, kas šajā gadījumā ir colla.

Līdzīgu daļskaitļu pamatoperācijas

\(\frac{3}{4}\) un \(\frac{2}{4}\) summa ir parādīta šādā shēmā:

\(\frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{{3 + 2}}{4} = \frac{5}{4}\)

Kamēr atņemšana tiek veikta šādi:

\(\frac{3}{4} – \frac{2}{4} = \frac{{3–2}}{4} = \frac{1}{4}\)

Kopumā homogēnām frakcijām:

\(\frac{a}{d} + \frac{b}{d} = \frac{{a + b}}{d}\)

\(\frac{a}{d} – \frac{b}{d} = \frac{{a – b}}{d}\)

Ēģiptieši un vienību daļas

Ēģiptes kultūra sasniedza ievērojamu tehnoloģiju attīstību, un tas nebūtu noticis bez matemātikai līdzvērtīgas attīstības. Ir vēsturiskas paliekas, kur var atrast ierakstus par frakciju izmantošanu Ēģiptes kultūrā, ar specifiku, viņi izmantoja tikai unitārās daļas.

Ir vairāki gadījumi, kad daļskaitļa rakstīšana kā vienību daļu summa ir tikpat vienkārša kā

\(\frac{3}{n} = \frac{1}{n} + \frac{1}{{2n}}\)

Gadījumā, ja \(n = 2q + 1\), tas ir, nepāra, mums ir šāds:

\(\frac{2}{n} = \frac{1}{{q + 1}} + \frac{1}{{n\left( {q + 1} \right)}}\)

Mēs to ilustrēsim ar diviem piemēriem.

Lai izteiktu \(\frac{2}{{11}}\); šajā gadījumā mums ir \(11 = 2\left( 5 \right) + 1\), tāpēc:

\(\frac{2}{{11}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{{11\left( 6 \right)}},\)

proti,

\(\frac{2}{{11}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{{66}}\)

Lai izteiktu \(\frac{2}{{17}}\); šajā gadījumā mums ir \(17 = 2\left(8 \right) + 1\),

\(\frac{2}{{15}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{{120}}\)

Tālāk mēs parādām dažas frakcijas kā vienības daļu summu,

Frakcija	Izteiksme kā vienību daļu summa	Frakcija	Izteiksme kā vienību daļu summa
\(\frac{3}{n}\)	\(\frac{1}{n}+\frac{1}{{2n}}\)	\(\frac{5}{8}\)	\(\frac{1}{2}+\frac{1}{8}\)
\(\frac{2}{3}\)	\(\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\)	\(\frac{7}{8}\)	\(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}\)
\(\frac{3}{4}\)	\(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\)	\(\frac{2}{9}\)	\(\frac{1}{5}+\frac{1}{{45}}\)
\(\frac{3}{5}\)	\(\frac{1}{5}+\frac{1}{{10}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2}+\frac{1}{{18}}\)
\(\frac{4}{5}\)	\(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{{20}}\)	\(\frac{7}{9}\)	\(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{{36}}\)
\(\frac{5}{6}\)	\(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\)	\(\frac{8}{9}\)	\(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{{18}}\)
\(\frac{3}{7}\)	\(\frac{1}{3}+\frac{1}{{11}}+\frac{1}{{231}}\)	\(\frac{4}{9}\)	\(\frac{1}{3}+\frac{1}{9}\)
\(\frac{4}{7}\)	\(\frac{1}{2}+\frac{1}{{14}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2}+\frac{1}{{18}}\)
\(\frac{5}{7}\)	\(\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{{10}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2}+\frac{1}{{18}}\)
\(\frac{6}{7}\)	\(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{{42}}\)	\(\frac{{19}}{{20}}\)	\(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}\)

Izmantojot iepriekšējo tabulu, varam saskaitīt daļskaitļus un izteikt šādas summas; kā vienību daļu summa.

Heterogēnu frakciju piemēri

1. piemērs

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{{15}}} \right) + \left ( {\frac{1}{3} + \frac{1}{9}} \right)\)

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \frac{2}{3} + \frac{1}{{15}} + \frac{1}{9}\)

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{6}} \right) + \frac{1 }{{15}}+\frac{1}{9}\)

2. piemērs

\(\frac{4}{7} + \frac{5}{9} = \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{14}}} \right) + \left ( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}} \right)\)

\(\frac{2}{7} + \frac{5}{9} = 1 + \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{18}}\)

Visbeidzot, mēs varam izteikt to pašu daļu kā vienības daļu summu citādā veidā:

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{{504}}\)

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{9} + \frac{1}{{63}}\)

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{18}}\)