Ekvivalentu daļskaitļu definīcija

Divas vai vairākas daļas tiek uzskatītas par līdzvērtīgām, ja tās pārstāv vienu un to pašu daudzumu, tas ir, ja
\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\;,\)
tiek uzskatīts, ka daļskaitļi \(\frac{a}{b}\) un \(\frac{c}{d}\) ir līdzvērtīgi.

Ekvivalentās daļskaitļi: grafiskais attēlojums

Apsveriet kvadrātu, kuru sadalīsim ceturtdaļās, trešdaļās, astotajās un divpadsmitajās daļās.

No iepriekšējiem skaitļiem mēs novērojam šādas ekvivalences:

Kā iegūt vienu vai vairākas līdzvērtīgas frakcijas?

Ir divas pamatmetodes, lai iegūtu daļskaitli, kas līdzvērtīga noteiktai daļai.

1. Reiziniet skaitītāju un saucēju ar to pašu pozitīvo skaitli.

Piemēri:

\(\frac{3}{4} = \frac{{3\left( 5 \right)}}{{4\left( 5 \right)}} = \frac{{15}}{{20}} \)

\(\frac{3}{4} = \frac{{3\left( 7 \right)}}{{4\left( 7 \right)}} = \frac{{21}}{{28}} \)

\(\frac{5}{8} = \frac{{5\left( 6 \right)}}{{8\left( 6 \right)}} = \frac{{30}}{{56}} \)

2. To dala ar to pašu pozitīvo skaitītāja un saucēja kopējo dalītāju.

\(\frac{{52}}{{56}} = \frac{{52 \div 4}}{{56 \div 4}} = \frac{{13}}{{14}}.\)

\(\frac{{80}}{{140}} = \frac{{80 \div 20}}{{140 \div 20}} = \frac{4}{7}.\)

\(\frac{{21}}{{57}} = \frac{{21 \div 3}}{{57 \div 3}} = \frac{7}{{19}}\)

Ja daļdaļā gan skaitītāju, gan saucēju dala ar to pašu kopīgo dalītāju, kas nav 1, tiek teikts, ka daļa ir samazināta.

nereducējamās frakcijas

Daļskaitli sauc par nereducējamu daļu, ja skaitītāja un saucēja lielākais kopīgais dalītājs ir vienāds ar 1.

Ja \(gcd\left( {a, b} \right) = 1,\), daļu \(\frac{a}{b}\) sauc par nereducējamu daļskaitli.

Dota daļskaitļa \(\frac{a}{b}\), lai iegūtu daļskaitli, kas ir līdzvērtīga šai daļai un kas arī ir nereducējama daļa, skaitītājs un skaitītājs tiek dalīts ar lielāko kopīgo dalītāju \(a\;\) un no \(b.\)

Nākamajā tabulā ir parādīti nereducējamo un reducējamo frakciju piemēri; ja tas ir reducējams, tas parāda, kā iegūt nereducējamu ekvivalentu daļu.

Frakcija	Lielākais kopīgais dalītājs	Nesamazināms	nereducējama ekvivalentā daļa
\(\frac{{14}}{{42}}\)	7	Nē	\(\frac{{14}}{{42}} = \frac{{14 \div 7}}{{42 \div 7}} = \frac{2}{7}\)
\(\frac{3}{{25}}\)	1	Jā	\(\frac{3}{{25}}\)
\(\frac{{21}}{{201}}\)	3	Nē	\(\frac{{21 \div 3}}{{20\;1 \div 3}} = \frac{7}{{67}}\)
\(\frac{5}{{24}}\)	1	Jā	\(\frac{5}{{24}}\)
\(\frac{{72}}{{1125}}\)	9	Nē	\(\frac{{72}}{{1125}} = \frac{{72 \div 9}}{{1125 \div 9}} = \frac{8}{{125}}\)

Ekvivalentās frakcijas: verbāls attēlojums.

Nākamajā tabulā ir parādīti divi dažādi veidi, kā parādīt līdzvērtīgu informāciju no skaitliskā viedokļa.

Verbālā frāze	Līdzvērtīga frāze (skaitliski)	Argumentācija
1930. gadā Meksikā 4 cilvēki no 25 cilvēkiem runāja dzimtajā valodā.	1930. gadā Meksikā 16 cilvēki no 100 cilvēkiem runāja dzimtajā valodā.	Abi dati tika reizināti ar 4
1960. gadā Meksikā 104 cilvēki no katriem 1000 cilvēkiem runāja dzimtajā valodā.	1960. gadā Meksikā 13 cilvēki no 125 cilvēkiem runāja dzimtajā valodā.	Abi dati tika dalīti ar 8.

Ekvivalentās daļskaitļi: decimāldaļskaitļi

Tālāk esošajā tabulā ir parādīti dažādi decimālskaitļi un līdzvērtīgas daļdaļas, kas tos attēlo.

Decimālskaitlis	Frakcija	ekvivalenta daļa	Operācijas
\(0.25\)	0,25=\(\frac{{25}}{{100}}\)	0,25=\(\frac{1}{4}\)	\(25 \div 25 = 1\) \(100 \div 25 = \)
\(1.4\)	\(1,4 = 1 + \frac{4}{{10}} = \frac{{14}}{{10}}\)	\(1,4 = \frac{7}{5}\)	\(14 \div 2 = 1\) \(10 \div 2 = 5\)
\(0.145\)	\(0,145 = \frac{{145}}{{1000}}\)	\(0,145 = \frac{{29}}{{200}}\)	\(145 \div 5 = 29\) \(1000 \div 5 = 200\)

Ekvivalentās daļskaitļi: attēlojums procentos

Tālāk esošajā tabulā ir parādīti dažādi decimālskaitļi un līdzvērtīgas daļdaļas, kas tos attēlo.

Decimālskaitlis	Frakcija	ekvivalenta daļa	Operācijas
20%	\(\frac{{20}}{{100}}\)	\(\frac{1}{5}\)	\(20 \div 20 = 1\) \(100 \div 20 = 5\)
150%	\(\frac{{150}}{{100}}\)	\(\frac{3}{2}\)	\(150 \div 50 = 3\) \(100 \div 50 = 2\)
55%	\(\frac{{55}}{{100}}\)	\(\frac{{11}}{{20}}\)	\(55 \div 11 = 5\) \(100 \div 5 = 20\)

Ekvivalentās frakcijas: no heterogēnām līdz homogēnām

Ņemot vērā divas neviendabīgas daļas \(\frac{a}{b}\) un \(\frac{c}{d}\), mēs varam atrast divas daļas viendabīga tādā veidā, ka viena daļdaļa ir ekvivalenta daļai \(\frac{a}{b}\;\), bet otra \(\frac{c}{d}\).

Tālāk mēs parādīsim divas procedūras, lai veiktu iepriekšējā punktā minēto.

Novērosim:

\(\frac{a}{b} = \frac{{a\left( d \right)}}{{b\left( d \right)}}\)

\(\frac{c}{d} = {\rm{\;}}\frac{{c\left( b \right)}}{{d\left( b \right)}}\)

Nākamajā tabulā ir parādīti daži piemēri.

F. neviendabīgs	Operācijas	F. viendabīgs
\(\frac{4}{5}\), \(\frac{2}{3}\)	\(\frac{{4\left( 3 \right)}}{{5\left( 3 \right)}} = \frac{{12}}{{15}}\) \(\frac{{2\left( 5 \right)}}{{3\left( 5 \right)}} = \frac{{10}}{{15}}\)	\(\frac{{12}}{{15}}\), \(\frac{{10}}{{15}}\)
\(\frac{7}{{12}}\), \(\frac{4}{{18}}\)	\(\frac{{7\left( {18} \right)}}{{12\left( {18} \right)}} = \frac{{126}}{{216}}\) \(\frac{{4\left( {12} \right)}}{{18\left( {12} \right)}} = \frac{{48}}{{216}}\)	\(\frac{{126}}{{216}},\) \(\frac{{48}}{{216}}\)
\(\frac{7}{{10}}\), \(\frac{3}{{14}}\), \(\frac{5}{4}\)	\(\frac{{7\left( {14} \right)\left( 4 \right)}}{{10\left( {14} \right) 4}} = \frac{{392}}{{ 560}}\) \(\frac{{3\left( {10} \right)\left( 4 \right)}}{{14\left( {10} \right)\left( 4 \right)}} = \frac{ {120}{{560}}\) \(\frac{{5\left( {10} \right)\left( {14} \right)}}{{4\left( {10} \right)\left( {14} \right)}} = \frac{{700}}{{560}}\)	\(\frac{{392}}{{560}}\), \(\frac{{120}}{{560}},\) \(\frac{{700}}{{560}}\)

Šīs metodes trūkums ir tāds, ka procesā var iegūt ļoti lielu skaitu; Daudzos gadījumos no tā ir iespējams izvairīties, ja tiek aprēķināts saucēju mazākais kopīgais daudzkārtnis un otrā metode ir balstīta uz mazākā kopskaita aprēķinu.

Vismazākais daudzkārtnis daļskaitļu aprēķināšanā

Tālāk, izmantojot divus piemērus, kā iegūt viendabīgas frakcijas, izmantojot saucēju mazāko kopīgo daudzkārtni, kas būs iesaistīto daļu kopsaucējs.

Apsveriet daļskaitļus: \(\frac{7}{{12}}\), \(\frac{4}{{18}}.\)

\(12\) un \(18\) mazākais kopīgais daudzkārtnis ir \(36\); tagad

\(36 \div 12 = 3\)

\(36 \div 18 = 2\)

\(\frac{7}{{12}} = \frac{{7\left( 3 \right)}}{{12\left( 3 \right)}} = \frac{{21}}{{36 }},\)

\(\frac{4}{{18}} = \frac{{4\left( 2 \right)}}{{18\left( 2 \right)}} = \frac{8}{{36}} \)

Tagad apsveriet daļskaitļus: \(\frac{7}{{10}}\), \(\frac{3}{{14}}\), \(\frac{5}{4}\)

\(10\), \(14\) un \(3\) mazākais kopīgais reizinājums ir \(140\); tagad

\(140 \div 10 = 14\)

\(140 \div 14 = 10\)

\(140 \div 4 = 35\)

\(\frac{7}{{10}} = \frac{{7\left( {14} \right)}}{{10\left( {14} \right)}} = \frac{{98} }{{140}},\)

\(\frac{3}{{14}} = \frac{{3\left( {10} \right)}}{{14\left( {10} \right)}} = \frac{{30} }{{140}}\)

\(\frac{5}{4} = \frac{{5\left( {35} \right)}}{{4\left( {35} \right)}} = \frac{{175}}{ {140}}\)

No iepriekšējiem skaitļiem mēs novērojam šādu faktu:

\(\frac{1}{4} = \frac{3}{{12}}\)

Šeit ir citi piemēri.

F. neviendabīgs	min kopsaucēji	Operācijas	F. viendabīgs
\(\frac{1}{{14}}\) \(\frac{1}{{18}}\)	126	\(126 \div 14 = 9\) \(\frac{1}{{14}} = \frac{{1\left( 9 \right)}}{{14\left( 9 \right)}} = \frac{9}{{126}} \) \(126 \div 18 = 7\) \(\frac{1}{{18}} = \frac{{1\left( 7 \right)}}{{18\left( 7 \right)}} = \frac{7}{{126}} \)	\(\frac{9}{{126}}\), \(\frac{7}{{126}}\)
\(\frac{5}{6}\) \(\frac{2}{{15}},\) \(\frac{4}{9}\)	90	\(90 \div 6 = 15\) \(\frac{5}{6} = \frac{{5\left( {15} \right)}}{{6\left( {15} \right)}} = \frac{{75}}{ {90}}\) \(90 \div 15 = 6\) \(\frac{2}{{15}} = \frac{{2\left( {15} \right)}}{{15\left( 6 \right)}} = \frac{{30}}{ {90}}\) \(90 \div 9 = 10\) \(\frac{4}{9} = \frac{{4\left( {10} \right)}}{{9\left( {10} \right)}} = \frac{{40}}{ {90}}\)	\(\frac{{75}}{{90}}\), \(\frac{{30}}{{90}}\), \(\frac{{40}}{{90}}\)