Kvadrātiskā/kvartiskā vienādojuma definīcija

Otrās pakāpes vienādojums vai, ja tāda nav, kvadrātvienādojums attiecībā pret nezināmo tiek izteikts šādā formā:
\(a{x^2} + bx + c = 0\)
Ja nezināmais ir \(x\), ja vien \(a, b\) un c ir reālas konstantes, ar \(a \ne 0.\)

Ir vairāki paņēmieni, lai atrisinātu kvadrātvienādojumus, tostarp faktorizēšana, un tādā gadījumā mums ir jāņem vērā šāda īpašība saskaņā ar izšķirtspēju:

Ja divu skaitļu reizinājums ir nulle, tad ir divas iespējas:

1. Abi ir vienādi ar nulli.
2. Ja viens nav nulle, tad otrs ir nulle

Iepriekš minēto var izteikt šādi:
Ja \(pq = 0\), tad \(p = 0\) vai \(q = 0\).

1. praktiskais piemērs: atrisiniet vienādojumu \({x^2} – 8\)=0

\({x^2}–8 = 0\)	Sākotnējā situācija
\({x^2} – 8 + 8 = 8\)	Pievienojiet 8 abām vienādojuma pusēm, lai atrisinātu \({x^2}\)
\(\sqrt {{x^2}} = \sqrt {{2^3}} = \sqrt {{2^2}2} = \sqrt {{2^2}} \sqrt 2 = 2\sqrt 2 \)	Kvadrātsakne tiek iegūta, meklējot izolējošu \(x.\) 8 tiek faktorēts un tiek izmantotas radikāļu un spēku īpašības.
\(\left| x \right| = 2\sqrt 2 \)	Jūs iegūstat \({x^2}\) sakni
\(x = \pm 2\sqrt 2 \)

\({x^2} – 8\)=0 risinājumi ir:
\(x = – 2\sqrt 2 ,\;2\sqrt 2 \)

2. praktiskais piemērs: atrisiniet vienādojumu \({x^2} – 144\)=0

\({x^2} – 144 = 0\)	Sākotnējā situācija
\({x^2} – {12^2} = 0\)	Kvadrātsakne no 144 ir 12. Tiek noteikta kvadrātu atšķirība.
\(\kreisais( {x + 12} \labais)\kreisais( {x – 12} \labais) = 0\)	Kvadrātu starpība tiek ņemta vērā
\(x + 12 = 0\) \(x = – 12\)	Mēs apsveram iespēju, ka koeficients \(x + 12\) ir vienāds ar 0. Iegūtais vienādojums ir atrisināts.
\(x–12 = 0\) \(x = 12\)	Mēs apsveram iespēju, ka koeficients \(x – 12\) ir vienāds ar 0. Iegūtais vienādojums ir atrisināts.

Vienādojuma \({x^2} – 144 = 0\) atrisinājumi ir

\(x = – 12,\;12\)

3. praktiskais piemērs: atrisiniet vienādojumu \({x^2} + 3x = 0\)

\({x^2} + 3x = 0\)	Sākotnējā situācija
\(x\left( {x + 3} \right) = 0\)	\(x\) tiek identificēts kā kopīgs faktors un tiek veikta faktorizācija.
\(x = 0\)	Apsveriet iespēju, ka koeficients \(x\) ir vienāds ar 0.
\(x + 3 = 0\) \(x = – 3\)	Mēs apsveram iespēju, ka koeficients \(x – 12\) ir vienāds ar 0. Iegūtais vienādojums ir atrisināts.

Vienādojuma \({x^2} + 3x = 0\) atrisinājumi ir:
\(x = – 3,0\)

4. praktiskais piemērs: atrisiniet vienādojumu \({x^2} – 14x + 49 = 0\)

\({x^2} – 14x + 49 = 0\)	Sākotnējā situācija
\({x^2} – 14x + {7^2} = 0\)	Kvadrātsakne no 49 ir ​​7 un \(2x\left(7 \right) = 14x.\) Tiek identificēts ideāls kvadrātveida trinomāls.
\({\left( {x – 7} \right)^2} = 0\)	Ideāls kvadrātveida trinomāls tiek izteikts kā kvadrātveida binomiāls.
\(x–7 = 0\) \(x = 7\)

\({x^2} – 14x + 49 = 0\) risinājums ir:
\(x = 7\)

5. praktiskais piemērs: atrisiniet vienādojumu \(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)

\(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)	Sākotnējā situācija
\(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)	Produkts \(\left( {10} \right)\left( {12} \right) = 120 = \left( {–8} \right)\left( {–15} \right)\)
\(\left( {10{x^2} – 8x} \right) – 15x + 12 = 0\)	To izsaka kā \( – 23x = – 18x – 15\)
\(2x\kreisais( {5x – 4} \labais) – 3\kreisais( {5x – 4} \labais) = 0\)	Identificējiet \(2x\) kā kopējo faktoru pirmajā papildinājumā un faktorējiet to. Identificējiet \(–3\) kā kopīgu faktoru otrajā papildinājumā un faktorējiet to.
\(\kreisais( {5x – 4} \labais)\kreisais( {2x – 3} \labais) = 0\)	Kopējo koeficientu \(5x – 4\)
\(5x – 4 = 0\) \(x = \frac{4}{5}\)	Mēs apsveram iespēju, ka koeficients \(5x – 12\) ir vienāds ar 0. Iegūtais vienādojums ir atrisināts.
\(2x – 3 = 0\) \(x = \frac{3}{2}\)	Apsveriet iespēju, ka koeficients \(2x – 3\) ir vienāds ar 0. Iegūtais vienādojums ir atrisināts.

\(10{x^2} – 23x + 12 = 0\) risinājumi ir šādi:
\(x = \frac{4}{5},\;\frac{3}{2}\)

6. praktiskais piemērs: atrisiniet vienādojumu \({x^2} + 4x + 1 = 0\)

\({x^2} + 4x + 1 = 0\)	Sākotnējā situācija Trinomiāls nav ideāls kvadrāts
\({x^2} + 4x + 1–1 = – 1\)	Katrai vienādojuma pusei pievienojiet -1.
\({x^2} + 4x = – 1\)	Tā kā \(\frac{1}{2}\left( 4 \right) = 2\), pievienojot \({2^2}\), mēs iegūstam perfektu kvadrātu.
\({x^2} + 4x + 4 = – 1 + 4\)	Pievienojiet \({2^2}\;\) katrā vienādojuma pusē. Kreisā puse ir ideāls kvadrāts.
\({\left( {x + 2} \right)^2} = 3\)	Ideāls kvadrātveida trinomāls tiek izteikts kā kvadrātveida binomiāls.
\(\sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2}} = \pm \sqrt 3 \)	Paņemiet kvadrātsakni no katras vienādojuma puses
\(\left| {x + 2} \right| = \sqrt 3 \) \(x = – 2 \pm \sqrt 3 \)	Atrisiniet \(x\).

\({x^2} + 4x + 1 = 0\) risinājumi ir šādi:
\(x = – 2 – \sqrt 3 ,\; – 2 + \sqrt 3 \)

7. praktiskais piemērs: atrisiniet vienādojumu \(5{x^2} + 3x – 1 = 0\)

\(5{x^2} + 3x – 1 = 0\)	Sākotnējā situācija Trinomiāls nav ideāls kvadrāts.
\(5{x^2} + 3x – 1 + 1 = 1\)	Katrai vienādojuma pusei pievienojiet 1
\(\frac{1}{5}\left( {5{x^2} + 3x} \right) = \frac{1}{5}\left( 1 \right)\)	Reiziniet ar katru vienādojuma pusi tā, lai \({x^2}\) koeficients būtu vienāds ar 1.
\({x^2}+\frac{3}{5}x = \frac{1}{5}\)	produkts tiek izplatīts Tā kā \(\frac{1}{2}\left( {\frac{3}{5}} \right) = \frac{3}{{10}}\), pievienojot \({\left( { \frac{3}{{10}}} \right)^2} = \frac{9}{{100}}\) nodrošina perfektu kvadrātveida trinomu.
\({x^2} + \frac{3}{5}x + \frac{9}{{100}} = \frac{1}{5} + \frac{9}{{100}}\)	Pievienojiet 3 abām vienādojuma pusēm, lai atrisinātu \({\left( {x + 2} \right)^2}\)
\({\left( {x + \frac{3}{{10}}} \right)^2}\)=\(\frac{{29}}{{100}}\)	Ideāls kvadrātveida trinomāls tiek izteikts kā kubveida binomiāls.
\(\sqrt {{{\left( {x + \frac{3}{{10}}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{29}}{{100}}} \ )	Paņemiet kvadrātsakni no katras vienādojuma puses
\(x = – \frac{3}{{10}} \pm \frac{{\sqrt {29} }}{{10}}\)	Atrisiniet \(x\).

\(5{x^2} + 3x – 1 = 0\) risinājumi ir šādi:
\(x = – \frac{{3 + \sqrt {29} }}{{10}},\; – \frac{{3 – \sqrt {29} }}{{10}}\)

Iepriekš minētajā vienādojumā izmantotā procedūra tiks izmantota, lai atrastu to, ko sauc par vispārīgo kvadrātisko risinājumu formulu.

Otrās pakāpes vienādojuma vispārīgā formula.

Kvadrātvienādojumu vispārīgā formula

Šajā sadaļā mēs uzzināsim, kā vispārīgā veidā atrisināt kvadrātvienādojumu

Ar \(a \ne 0\) aplūkosim vienādojumu \(a{x^2} + bx + c = 0\).

\(a{x^2} + bx + c = a\left( {{x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}} \right) = 0\)

Tā kā \(a \ne 0\), pietiek, lai atrisinātu:

\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)

\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)	Sākotnējā situācija
\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} – \frac{c}{a} = – \frac{c}{a}\)	Pievienojiet \( – \frac{c}{a}\) katrā vienādojuma pusē.
\({x^2} + \frac{b}{a}x = – \frac{c}{a}\)	Tā kā \(\frac{1}{2}\left( {\frac{b}{a}} \right) = \frac{b}{{2a}}\), pievienojot \({\left( { \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}\) iegūst perfektu kvadrātveida trinomu.
\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} = \frac{{{b^2}} }{{4{a^2}}} – \frac{c}{a}\)	Vienādojuma kreisā puse ir ideāls kvadrātveida trijstūris.
\({\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{{b^2} – 4{a^2}c}}{{4{ a^2}}}\)	Ideāls kvadrātveida trinomāls tiek izteikts kā kvadrātveida binomiāls. Algebriskā daļa ir veikta.
\(\sqrt {{{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{{b^2} - 4{a^ 2}c}}{{4{a^2}}}} \)	Paņemiet kvadrātsakni no katras vienādojuma puses.
\(\left| {x + \frac{b}{{2a}}} \right| = \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} }}{{2a} }\)	Piemēro radikālas īpašības.
\(x + \frac{b}{{2a}} = \pm \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} }}{{2a}}\)	Piemēro absolūtās vērtības īpašības.
\(x + \frac{b}{{2a}} – \frac{b}{{2a}} = \pm \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c}} }{{2a}} – \frac{b}{{2a}}\)	Katrai vienādojuma pusei pievienojiet \( – \frac{b}{{2a}}\), lai atrisinātu \(x\)
\(x = \frac{{ – b \pm \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)	Algebriskā daļa ir veikta.

Terminu \({b^2} – 4{a^2}c\) sauc par kvadrātvienādojuma \(a{x^2} + bx + c = 0\) diskriminantu.

Ja iepriekšminētā vienādojuma diskriminants ir negatīvs, risinājumi ir kompleksi skaitļi un reālu risinājumu nav. Šajā piezīmē netiks apskatīti sarežģīti risinājumi.

Dots kvadrātvienādojums \(a{x^2} + bx + c = 0\), ja \({b^2} – 4{a^2}c \ge 0\). Tad šī vienādojuma risinājumi ir:

\(\alpha = \frac{{–b + \sqrt {{b^2}–4ac} }}{{2a}}\)

\(\beta = \frac{{ – b – \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

Izteiciens:

\(x = \frac{{ – b \pm \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

To sauc par kvadrātvienādojuma vispārējo formulu.

8. praktiskais piemērs: atrisiniet vienādojumu \(3{x^2} – 2x – 5 = 0\)

\(uz\)	\(b\)	\(c\)	Diskriminējoša	reāli risinājumi
\(3\)	\( – 2\)	\( – 5\)	\({2^2} – 4\kreisais( 3 \labais)\kreisais( { – 5} \labais) = 4 + 60 = 64\)	\(x = \frac{{ – \left( { – 2} \right) \pm \sqrt {64} }}{{2\left( 3 \right)}} = \frac{{2 \pm 8} }{6}\)

Vienādojuma atrisinājumi ir:
\(\alpha = – 1,\;\beta = \frac{5}{3}\)

9. praktiskais piemērs: atrisiniet vienādojumu \( – 4{x^2} + 3x + 9 = 0\)

\(uz\)	\(b\)	\(c\)	Diskriminējoša	reāli risinājumi
\( – 4\)	3	9	\({3^2} – 4\kreisais( { – 4} \labais)\kreisais( 9 \labais) = 9 + 144 = 153\) \(153 = 9\left( {17} \right)\)	\(x = \frac{{ – 3 \pm \sqrt {9\left( {17} \right)} }}{{2\left( {–4} \right)}} = \frac{{–3 \pm 3\sqrt {17} }}{{ – 8}}\)

Vienādojuma atrisinājumi ir:
\(\alpha = \frac{{3–3\sqrt {17} }}{8},\;\beta = \frac{{3 + 3\sqrt {17} }}{8}\)

10. praktiskais piemērs: atrisiniet vienādojumu \(5{x^2} – 4x + 1 = 0\)

\(uz\)	\(b\)	\(c\)	Diskriminējoša	reāli risinājumi
\(5\)	-4	\(1\)	\({\kreisais( { – 4} \labais)^2} – 4\kreisais( 5 \labais)\kreisais( 1 \labais) = 16 – 20 = – 4\)	Nav

Dažādi vienādojumi

Ir nekvadrātiskie vienādojumi, kurus var pārvērst par kvadrātvienādojumu Mēs redzēsim divus gadījumus.

11. praktiskais piemērs: vienādojuma \(6x = 5 – 13\sqrt x \) reālo atrisinājumu atrašana

Mainot mainīgo \(y = \sqrt x \), iepriekšējais vienādojums paliek šāds:

\(6{y^2} = 5–13 g\)

\(6{y^2} + 13 g – 5 = 0\)

\(6{y^2} + 15 g – 2 g – 5 = 0\)

\(3y\pa kreisi( {2y + 5} \right) – \left( {2y + 5} \right) = 0\)

\(\left( {2y + 5} \right)\left( {3y – 1} \right) = 0\)

Tāpēc \(y = – \frac{2}{5},\;\frac{1}{3}\).

Tā kā \(\sqrt x \) apzīmē tikai pozitīvas vērtības, mēs ņemsim vērā tikai:

\(\sqrt x = \;\frac{1}{3}\)

Atbilde:

Vienīgais īstais risinājums ir:
\(x = \frac{1}{9}\)

12. darba piemērs: atrisiniet vienādojumu \(\sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} – \sqrt {\frac{{x – 5}}{x}} = \frac{5}{6 }\)

Mainīgā lieluma maiņa:

\(y = \sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} \)

Mēs iegūstam vienādojumu:

\(y – \frac{1}{y} = \frac{5}{6}\)

\(6{y^2} – 6 = 5y\)

\(6{y^2}–5 g–6 = 0\)

\(6{y^2} - 9g + 4g - 6 = 0\)

\(3y\pa kreisi( {2y - 3} \right) + 2\left( {2y - 3} \right) = 0\)

\(\left( {2y – 3} \right)\left( {3y + 2} \right) = 0\)

Iespējamās \(y\) vērtības ir:

\(y = – \frac{2}{3},\;\frac{3}{2}\)

No iepriekš minētā mēs apsvērsim tikai pozitīvo risinājumu.

\(\sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} = \frac{3}{2}\)

\(\frac{x}{{x – 5}} = \frac{9}{4}\)

\(4x = 9x – 45\)

\(5x = 45\)

\(x = 9.\)

Risinājumi ir \(x = 9.\)