Kā tiek definēta Tāla teorēma?

No Thales teorēmas, ņemot vērā vairākas paralēlas taisnes, tiek uzskatīts, ka taisne \(T\) ir šķērsvirziena paralēlajām taisnēm, ja tā krusto katru no paralēlajām taisnēm.

1. attēlā līnijas \({T_1}\) un \({T_2}\) ir šķērsām paralēlām līnijām \({L_1}\) un \({L_2}.\)

Tāla teorēma (vāja versija)
Ja vairākas paralēles nosaka kongruentus segmentus (kas mēra vienādi) vienā no savām divām šķērslīnijām, tās noteiks arī kongruentus segmentus pārējās šķērslīnijās.

2. attēlā melnās līnijas ir paralēlas, un jums ir:
\({A_1}{A_2} = {A_2}{A_3} = {A_3}{A_4}.\)
Mēs varam nodrošināt sekojošo:
\({B_1}{B_2} = {B_2}{B_3} = {B_3}{B_4}.\)

Stāsta, ka gudrais Milētas Talss izmērījis Heopsa piramīdas augstumu, šim nolūkam izmantojis ēnas un trīsstūra līdzības īpašību pielietojumu. Tāla teorēma ir būtiska trīsstūru līdzības jēdziena izstrādei.

Proporciju attiecības un īpašības

Viens koeficients ir divu skaitļu koeficients ar dalītāju, kas nav nulle; proti:

\(\frac{a}{b}\;{\rm{ar\;}}b \ne 0\)

Proporcija ir divu attiecību vienādība, tas ir:

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k,\)

\(k\) sauc arī par proporcionalitātes konstanti.

Proporciju īpašības

Ja \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\), tad \(m \ne 0:\;\)

\(\frac{{ma}}{{mb}} = \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\)

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{{a + c}}{{b + d}} = \frac{{a – c}}{{b – d}} = k\)

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{f}{g} = \frac{{a + c + f}}{{b + d + g}} = k\)

\(\frac{{a \pm b}}{b} = \frac{{c \pm d}}{d}\)

piemēri

\(\frac{9}{{24}} = \frac{{15}}{{40}} = \frac{{9 + 15}}{{24 + 40}} = \frac{{24}} {{64}}\)

\(\frac{9}{{24}} = \frac{{15}}{{40}} = \frac{{{15–9}}{{40–24}} = \frac{6}{{ 16}}\)

\(\frac{{9 + 24}}{{24}} = \frac{{15 + 40}}{{40}}\)\(\frac{{33}}{{24}} = \frac {{55}}{{40}}\)

Tiek uzskatīts, ka segmentu pāris \(\overline {AB} \) un \(\overline {CD} \) ir proporcionāli segmentiem \(\overline {EF} \) un \(\overline {GH} \) ja proporcija ir izpildīta:

\(\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{EF}}{{GH}}\)

Kur \(AB\;\) apzīmē segmenta garumu \(\overline {AB} .\)

Tāla teorēma

Atgriežoties pie definīcijas, vairākas paralēles nosaka proporcionālus atbilstošos segmentus savās šķērslīnijās.

3. attēlā taisnes ir paralēlas, un mēs varam nodrošināt:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\ (\frac{{{A_2}{A_3}}}{{{A_3}{A_4}}} = \frac{{{B_2}{B_3}}}{{{B_3}{B_4}}}\)\( \frac{{{A_2}{A_4}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_2}{B_4}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_3}{A_4}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_3}{B_4}}}\)\(\frac{{{A_1}{A_3}}}{{{A_1}{A_2}}} = \frac{{{B_1}{B_3}}}{{{B_1}{B_2}}}\)

Ņemsim vērā, ka pirmās divas iepriekšējās proporcijas ir līdzvērtīgas šādām proporcijām:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\ (\frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}}\)no iepriekš minētā mēs iegūstam:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac {{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_2}+{A_2}{A_3}+{A_3}{A_4}}}{{{B_1}{B_2}+{B_2}{B_3}+{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_4}}}{{{B_1}{B_4}}}\)

Daudzos gadījumos labāk ir strādāt ar iepriekšējām proporcijām un šajā gadījumā:

\(\frac{{{A_i}{A_j}}}{{{B_i}{B_j}}} = k\)

Tāla teorēmas apvērsums

Ja vairākas līnijas nosaka proporcionālus atbilstošos segmentus savās šķērslīnijās, tad līnijas ir paralēlas

Ja 4. attēlā tas ir izpildīts

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}}\)

Tad mēs varam apstiprināt, ka: \({L_1}\parallel {L_2}\parallel {L_3}.\)

Apzīmējums \({L_1}\paralēli {L_2}\), lasāms \({L_1}\) ir paralēls \({L_2}\).

No iepriekšējās proporcijas mēs iegūstam:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac {{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_1}{A_3}}}{{{ B_1}{B_3}}}\)

Segmenta sadalīšana vairākās vienāda garuma daļās

Izmantojot konkrētu piemēru, mēs ilustrēsim, kā sadalīt segmentu vienāda garuma daļās.

Sadaliet segmentu \(\overline {AB} \) 7 vienāda garuma segmentos

Sākotnējā situācija

Uzzīmējiet palīglīniju, kas iet caur vienu no segmenta galiem

Ar kompasa atbalstu uz palīglīnijas tiek novilkti 7 vienāda garuma segmenti

Uzzīmējiet līniju, kas savieno pēdējā novilktā segmenta galus un sadalāmā segmenta otru galu

Tie ir novilkti paralēli pēdējai tikko novilktajai līnijai, kas iet cauri punktiem, kur apkārtmēra loki krustojas ar palīglīniju.

Ja ir dots segments \(\overline {AB} \), segmenta punkts \(P\) sadala segmentu \(\overline {AB} \) attiecībā \(\frac{{AP} } {{PB}}.\)

Segmenta dalīšana noteiktā proporcijā

Dots segments \(\overline {AB} \) un divi pozitīvi veseli skaitļi \(a, b\); punktu \(P\), kas sadala segmentu attiecībā \(\frac{a}{b};\;\), var atrast šādi:

1. Sadaliet segmentu \(\overline {AB} \) vienāda garuma segmentos \(a + b\).
2. Ņemiet \(a\) segmentus, skaitot no punkta \(A\).

piemēri

Segmenta \(\overline {AB} \) dalījums attiecībā \(\frac{a}{b}\)

Iemesls	To daļu skaits, kurās segments ir sadalīts	Punkta \(P\) atrašanās vieta
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{4}{3}\)	\(4 + 3 = 7\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = 6 = \frac{6}{1}\)	\(6 + 1 = 7\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{2}{3}\)	\(2 + 3 = 5\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{3}{2}\)	\(3 + 2 = 5\)

Tāla teorēmas pielietotie piemēri

pieteikums 1: Trīs zemes gabali stiepjas no Sol ielas līdz Luna ielai, kā parādīts 5. attēlā.

Sānu robežas ir Luna ielai perpendikulāri segmenti. Ja Sol ielas zemes gabalu kopējā fasāde ir 120 metri, nosaka katra zemes gabala fasādi šajā ielā, ja tā ir zināma arī:

\({A_1}{A_2} = 10{\rm{m}},\;{A_2}{A_3} = 40{\rm{m}},\;{A_3}{A_4} = 20{\rm{ m}},\;{A_4}{A_5} = 30{\rm{m}}.\)

Problēmas paziņojums

Tā kā līnijas ir perpendikulāras Luna ielai, tad tās ir paralēlas viena otrai, pielietojot Tāla teorēmu, varam apstiprināt:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}},\; \;\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_1}{A_4}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_1}{B_4}}}\;,\;\;\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_1}{A_5}} } = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_1}{B_5}}}\)no iepriekš minētā varam secināt:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_1}{A_4}}}{{{B_1}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_5}}}{{{B_1}{B_5}}}\;\)

Līdzīgi mēs varam secināt:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_4}{A_5}}}{{{B_4}{B_5}}}\)

Risinājums

Lai noteiktu proporcionalitātes konstanti \(k,\), izmantosim proporciju īpašības:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_4}{A_5}}}{{{B_4}{B_5}}} = \frac{{{A_1}{A_2}+{A_2}{A_3}+{A_3}{A_4}+{A_4}{A_5}}}{{{B_1}{B_2}+{B_2}{B_3}+{ B_3}{B_4} + {B_4}{B_5}}} = \frac{{{A_1}{A_5}}}{{{B_1}{B_5}}} = \frac{{100}}{{120}} = \frac{5}{6}\)

No iepriekš minētā mēs iegūstam:
\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{5}{6}\)\(\frac{{{B_1}{B_2}}}{ {{A_1}{A_2}}} = \frac{6}{5}\)\({B_1}{B_2} = \frac{6}{5}{A_1}{A_2} = \frac{6}{ 5}\left({10}\right) = 12.\)

Analogi:

\({B_2}{B_3} = \frac{6}{5}{A_2}{A_3} = \frac{6}{5}\left( {40} \right) = 48\)\({B_3} {B_4} = \frac{6}{5}{A_3}{A_4} = \frac{6}{5}\left( {20} \right) = 24\)\({B_4}{B_5} = \frac{6}{5}{A_4}{A_5} = \frac{6 }{5}\left( {30} \right) = 36\)

Atbilde

Segments	\({B_1}{B_2}\)	\({B_2}{B_3}\)	\({B_3}{B_4}\)	\({B_4}{B_5}\)
Garums	12 m	48 m	24 m	36 m

pieteikums 2: Grafiskais dizainers ir izstrādājis plauktu paralelograma formā un izvietos 3 plauktus, kā parādīts 6. attēlā punkti E un F ir malu viduspunkti \(\overline {AD} \) un \(\overline {BC} ,\) attiecīgi. Plauktos ir jāveic iegriezumi, lai varētu veikt komplektus. Kurā plauktu daļā jāveic griezumi?

Problēmas izklāsts: Ņemot vērā uzdevumā norādītos nosacījumus, ir izpildīts sekojošais:

\(ED = EA = CF = BF\)

Kā palīgkonstrukcijas pagarināsim malas \(\overline {CB} \) un \(\overline {DA} \). Caur punktu A caur \(A\) un paralēli malai \(\overline {EB} \) tiek novilkta līnija un caur punktu \(C\;\) tiek novilkta līnija paralēli malai \(\overline {DF} \).

Mēs izmantosim Thales teorēmu, lai parādītu, ka segmenti \(\overline {EB} \) un \(\overline {DF} \) ir paralēli, lai piemērotu Thales teorēmu.

Risinājums

Pēc konstrukcijas četrstūris \(EAIB\) ir paralelograms, tāpēc mums ir, ka EA=BI, jo tās ir paralelograma pretējās malas. Tagad:

\(\frac{{DE}}{{EA}} = \frac{{BF}}{{BI}} = 1\)

Piemērojot Thales teorēmas reciproku, mēs varam secināt:

\(\overline {AI} \parallel \overline {EB} \parallel \overline {DF} \parallel \overline {JC} \)

Ņemot segmentus \(\overline {AI} \parallel \overline {EB} \parallel \overline {DF} \parallel \overline {JC} \) un segmentus BC un CI kā to šķērsvirzienus; kā:

\(FC = BF = BI\)\(CH = HG = GA\)

Ņemot vērā \(\overline {AD} \parallel \overline {BC} \) un segmentus \(\overline {AC} \) un \(\overline {EB} \) kā to šķērsvirzienus, mēs iegūsim:

\(\frac{{EG}}{{GB}} = \frac{{AG}}{{GC}} = \frac{{AG}}{{CH + HG}} = \frac{{AG}} {{2\left( {AG} \right)}} = \frac{1}{2}\)

Līdzīgi tiek parādīts, ka:

\(\frac{{DH}}{{HF}} = 2\)

Atbildes

Diagonāli griezumi \(\overline {AC} \) jāveic punktos \(G\;\) un \(H\), lai:

\(\frac{{AG}}{{AC}} = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{1}{3}\)

Tas pats attiecas uz plauktiem \(\overline {EB} \) un \(\overline {DF} \).