Bernulli principa/vienādojuma definīcija

Bernulli princips, ko bieži sauc arī par Bernulli vienādojumu, ir viens no svarīgākajiem jēdzieniem hidrodinamikā un šķidrumu mehānikā. To 1738. gadā kā daļu no sava darba formulēja Šveices fiziķis un matemātiķis Daniels Bernulli.hidrodinamika” un daļa no enerģijas saglabāšanas ideālā šķidrumā kustībā.

Iedomāsimies šādu situāciju: Mums ir šļūtene, pa kuru plūst ūdens, kas atstāj šļūteni ar noteiktu ātrumu un noteiktu spiedienu. Pēc tam mēs ar pirkstu daļēji pārklājam šļūtenes izejas atveri; to darot, mēs redzam, kā ūdens tagad izplūst ar lielāku ātrumu. Šis ir Bernulli principa piemērs darbībā.

Ideāli šķidrumi kustībā

Bernulli princips attiecas uz ideāliem šķidrumiem kustībā, tāpēc pirms šī principa skaidrošanas ir svarīgi pieminēt, ko mēs saprotam ar ideālu šķidrumu. Ideāls šķidrums ir reāla šķidruma vienkāršojums, tas tiek darīts šķidruma apraksta dēļ Ideāls ir matemātiski vienkāršāks un sniedz mums noderīgus rezultātus, kurus vēlāk var attiecināt arī uz šķidro lietu īsts.

Ir četri pieņēmumi, kas tiek veikti, lai šķidrumu uzskatītu par ideālu, un tie visi ir saistīti ar plūsmu:

• Vienmērīga plūsma: vienmērīga plūsma ir tāda, kurā šķidruma kustības ātrums ir vienāds jebkurā telpas punktā. Citiem vārdiem sakot, mēs pieņemam, ka šķidrums nepakļaujas turbulencei.

• Nesaspiežamība: tiek arī pieņemts, ka ideāls šķidrums ir nesaspiežams, tas ir, ka tam vienmēr ir nemainīgs blīvums.

• Neviskozitāte: viskozitāte ir šķidrumu īpašība, kas vispārīgi raksturo šķidruma pretestību kustībai. Viskozitāti var uzskatīt par analogu mehāniskajai berzei.

• Irrotācijas plūsma: ar šo pieņēmumu mēs atsaucamies uz faktu, ka kustīgais šķidrums neveic nekādas apļveida kustības nevienā sava ceļa punktā.

Izdarot šos pieņēmumus un nodrošinot ideālu šķidrumu, mēs ievērojami vienkāršojam matemātisko apstrādi un mēs arī nodrošinām enerģijas saglabāšanu, kas ir sākumpunkts ceļā uz principu Bernulli.

Bernulli vienādojums izskaidrots

Apskatīsim ideālu šķidrumu, kas pārvietojas pa cauruli, kā parādīts nākamajā attēlā:

Tagad mēs izmantosim Darba un kinētiskās enerģijas teorēmu, kas ir vēl viens veids, kā izteikt enerģijas nezūdamības likumu, un tas mums norāda, ka:

\(W = {\rm{\Delta }}K\)

Kur \(W\) ir kopējais mehāniskais darbs un \({\rm{\Delta }}K\) ir kinētiskās enerģijas izmaiņas starp diviem punktiem. Šajā sistēmā mums ir divu veidu mehāniskais darbs: viens tiek veikts ar gravitācijas spēku uz šķidrumu un otrs, kas rodas šķidruma spiediena rezultātā. Lai \({W_g}\) ir mehāniskais darbs, ko veic gravitācija, un \({W_p}\) ir mehāniskais darbs, ko veic spiediens, mēs varam teikt, ka:

\({W_g} + {W_p} = {\rm{\Delta }}K\)

Tā kā gravitācija ir konservatīvs spēks, tā veiktais mehāniskais darbs būs vienāds ar gravitācijas potenciālās enerģijas starpību starp diviem punktiem. Sākotnējais augstums, kurā šķidrums tiek atrasts, ir \({y_1}\) un galīgais augstums ir \({y_2}\), tāpēc mums ir:

\({W_g} = – {\rm{\Delta }}mg{\rm{\Delta }}y = – {\rm{\Delta }}mg\left( {{y_2} – {y_1}} \right )\)

Kur \({\rm{\Delta }}m\) ir šķidruma masas daļa, kas iet caur noteiktu punktu, un \(g\) ir gravitācijas radītais paātrinājums. Tā kā ideālais šķidrums ir nesaspiežams, tad \({\rm{\Delta }}m = \rho {\rm{\Delta }}V\). Kur \(\rho \) ir šķidruma blīvums un \({\rm{\Delta }}V\) ir tilpuma daļa, kas plūst caur punktu. Aizvietojot to iepriekš minētajā vienādojumā, mēs iegūstam:

\({W_g} = – \rho g{\rm{\Delta }}V\left( {{y_2} – {y_1}} \right)\)

Tagad aplūkosim mehānisko darbu, ko veic šķidruma spiediens. Spiediens ir spēks, kas iedarbojas uz laukuma vienību, tas ir, \(F = PA\). No otras puses, mehāniskais darbs tiek definēts kā \(W = F{\rm{\Delta }}x\), kur \(F\) ir pieliktais spēks un \({\rm{\Delta }}x\) ir pārvietojums, kas šajā gadījumā veikts uz x ass. Šajā kontekstā mēs varam domāt par \({\rm{\Delta }}x\) kā šķidruma daļas garumu, kas plūst caur noteiktu punktu. Apvienojot abus vienādojumus, mēs iegūstam, ka \(W = PA{\rm{\Delta }}x\). Mēs varam saprast, ka \(A{\rm{\Delta }}x = {\rm{\Delta }}V\), tas ir, tā ir tilpuma daļa, kas plūst caur šo punktu. Tāpēc mums ir, ka \(W = P{\rm{\Delta }}V\).

Sākotnējā punktā sistēmā tiek veikts mehānisks darbs, kas vienāds ar \({P_1}{\rm{\Delta }}V\) un beigu punktā sistēma veic mehānisku darbu apkārtnē, kas vienāds ar \({P_2}{\rm{\Delta }}V\). Šķidruma spiediena radītais mehāniskais darbs tad būs darbs, kas veikts sistēmā, atskaitot darbu, ko tā veic tās apkārtnē, tas ir, ka:

\({W_p} = {P_1}{\rm{\Delta }}V – {P_2}{\rm{\Delta }}V = \kreisais( {{P_1} - {P_2}} \labais){\rm {\Delta }}V\)

Visbeidzot, kinētiskās enerģijas starpība \({\rm{\Delta }}K\) būs vienāda ar kinētisko enerģiju beigu punktā mīnus kinētisko enerģiju sākuma punktā. Tas ir:

\({\rm{\Delta }}K = \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}mv_2^2 – \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}mv_1^ 2 = \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}m\left( {v_2^2 – v_1^2} \right)\)

No iepriekš minētā mēs zinām, ka \({\rm{\Delta }}m = \rho {\rm{\Delta }}V\). Iepriekš minētais vienādojums ir šāds:

\({\rm{\Delta }}K = \frac{1}{2}\rho {\rm{\Delta }}V\left( {v_2^2 – v_1^2} \right)\)

Aizvietojot visus enerģijas nezūdamības vienādojumā iegūtos rezultātus, iegūst, ka:

\(\left( {{P_1} – {P_2}} \right){\rm{\Delta }}V – \rho {\rm{\Delta }}V\left( {{y_2} – {y_1}} \right) = \frac{1}{2}\rho {\rm{\Delta }}V\left( {v_2^2 – v_1^2} \right)\)

Mēs varam ieskaitīt terminu \({\rm{\Delta }}V\) abās vienādojuma pusēs, un tas noved pie:

\({P_1} - {P_2} - \rho g\left( {{y_2} - {y_1}} \right) = \frac{1}{2}\rho \left( {v_2^2 - v_1^2 } \pa labi)\)

Izstrādājot trūkstošos produktus, mums ir:

\({P_1} – {P_2} – \rho g{y_2} + \rho g{y_1} = \frac{1}{2}\rho v_2^2 – \frac{1}{2}\rho v_1^ 2\)

Pārkārtojot visus vārdus abās vienādojuma pusēs, mēs iegūstam, ka:

\({P_1} + \rho g{y_1} + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = {P_2} + \rho g{y_2} + \frac{1}{2}\rho v_2^ 2\)

Šis vienādojums ir saistība starp mūsu sistēmas sākotnējo stāvokli un galīgo stāvokli. Beidzot varam teikt:

\(P + \rho gy + \frac{1}{2}\rho {v^2} = konstante\)

Šis pēdējais vienādojums ir Bernulli vienādojums, no kura izriet tā princips. Bernulli princips ir ideāla šķidruma saglabāšanas likums kustībā.

Atsauces

Deivids Hallidejs, Roberts Resņiks un Džearls Vokers. (2011). Fizikas pamati. Amerikas Savienotās Valstis: John Wiley & Sons, Inc.