Definitie van niet-euclidische meetkunde

In principe zijn niet-Euclidische geometrieën degene die voortkomen uit de bevraging van de zogenaamde Het 5e postulaat van Euclides, daarom is een algemene karakterisering van het werk van Euclides essentieel, die een Griekse wiskundige en meetkundige was, wiens werk paradigmatisch is voor de Geometrie, om als een van de oprichters te worden beschouwd. Het is met zekerheid bekend beveiliging die rond het jaar 300 voor Christus in de stad Alexandrië woonde, een cultureel centrum van de oudheid. C.

Zijn werk elementen het begint met een reeks "principes", bestaande uit een lijst van 23 definities; gevolgd door 5 postulaten, verwijzend naar

figuren specifiek geometrisch; en 5 algemene axioma's die andere wiskundige disciplines gemeen hebben. Vervolgens introduceert Euclides, na de principes, de "proposities", van twee soorten: problemen, verwezen naar de gebouw van figuren met liniaal en kompas; en stellingen, verwijzend naar de demonstratie van de eigenschappen die sommige geometrische figuren.

Het vijfde postulaat van Euclides

Hij stelt dat "Als een rechte lijn die op twee andere rechte lijnen valt, de binnenhoeken van dezelfde zijde kleiner maakt dan twee rechte lijnen, dan, als de twee lijnen oneindig worden verlengd, ontmoeten ze elkaar aan de kant waarop de hoeken kleiner zijn dan twee Rechtdoor”. Als de hoeken juist waren, dan zouden zulke lijnen, volgens definitie nr. 23, evenwijdig zijn ("Parallelle lijnen zijn lijnen die, als ze in hetzelfde vlak liggen en oneindig lang zijn, elkaar in geen enkele richting ontmoeten.”).

Dit postulaat, ingewikkelder dan de vorige, was op zichzelf niet onbetwistbaar: het was niet evident dat, lijnen voor onbepaalde tijd, zouden ze elkaar kruisen aan de kant waar de hoeken minder dan twee rechte hoeken waren, omdat het niet mogelijk zou zijn om het te bewijzen door gebouw. Vervolgens werd de mogelijkheid opengelaten dat de lijnen elkaar voor onbepaalde tijd naderden zonder elkaar ooit te kruisen.

Pogingen om het vijfde postulaat te bewijzen

Het is om deze reden dat er vanaf de oudheid tot het midden van de 19e eeuw een reeks mislukte pogingen waren om het vijfde postulaat te bewijzen: er werd altijd een bewijs geleverd; maar het introduceren van een ander aanvullend postulaat (logisch gelijk aan de vijfde), verschillend van die van Euclides. Dat wil zeggen, het vijfde postulaat kon niet worden bewezen, maar werd vervangen door een equivalent.

Een voorbeeld hiervan is het postulaat van John Playfair (v. XVIII): “Een enkel punt evenwijdig aan die lijn gaat door een punt buiten een lijn die in hetzelfde vlak ligt." (bekend als "parallelle postulaat”). Niet-euclidische meetkunde komt precies voort uit de mislukte pogingen om het vijfde postulaat van het Euclidische systeem te bewijzen.

Saccheri's absurditeitstest

In 1733 probeerde de Italiaanse wiskundige Girolamo Saccheri de absurditeit van het vijfde postulaat van Euclides te bewijzen. Om dit te doen, bouwde hij een vierhoek (bekend als "Saccheri's vierhoek”, waarin een paar hoeken rechte hoeken zijn) en stelde dat het vijfde postulaat equivalent is aan de stelling dat de karakteristieke hoeken (die tegenover het paar rechte hoeken) van die vierhoek zijn ook rechte hoeken. dan zijn er drie hypothese mogelijk, elkaar uitsluiten: dat de twee karakteristieke hoeken recht, scherp of stomp zijn. Om het vijfde postulaat door het absurde te bewijzen, was het nodig om te bewijzen (zonder toevlucht te nemen tot het vijfde) gepostuleerd) dat de hypothesen van de stompe en scherpe hoek tegenstrijdigheid impliceerden en daarom waren vals.

Saccheri slaagde erin te bewijzen dat de stompe hoekhypothese tegenstrijdig is, maar hij slaagde niet in het geval van de scherpe hoek. Integendeel, hij leidde een reeks stellingen af ​​die consistent zijn met en onverenigbaar zijn met de Euclidische meetkunde. Ten slotte concludeerde hij dat, gezien de vreemdheid van deze stellingen, de hypothese onjuist moet zijn. Bijgevolg meende hij dat hij het vijfde postulaat absurd had bewezen; wat hij echter wel deed, was per ongeluk een belangrijke reeks stellingen van niet-euclidische meetkunde bewijzen.

De "gelijktijdige" ontdekking van niet-Euclidische geometrieën

Karel F. Gauss was in de negentiende eeuw de eerste die vermoedde dat het vijfde postulaat niet kon worden bewezen uit de andere vier (dat wil zeggen dat het onafhankelijk) en bij het bedenken van de mogelijkheid van een niet-euclidische meetkunde die gebaseerd was op de vier Euclidische postulaten en op de ontkenning van de vijfde. Hij heeft zijn ontdekking nooit gepubliceerd: dit wordt beschouwd als een geval van gelijktijdige ontdekking, omdat hij drie onafhankelijke referenten had (Gauss zelf, János Bolyai en Nikolai Lobachevsky).

de ontkenning van vijfde wet van Euclidische impliceert twee mogelijkheden (met de equivalente formulering van Playfair): door een punt buiten een rechte lijn, ofwel geen parallelle passages, of meer dan één parallelle passage. Onder de niet-euclidische meetkunde vinden we bijvoorbeeld de meetkunde "denkbeeldig” door Lobachevsky, —later bekend als “hyperbolisch"- volgens, "Gegeven een buitenpunt van een lijn, oneindige snijdende lijnen, oneindige niet-snijdende lijnen en slechts twee evenwijdige lijnen gaan door dat punt.”, in tegenstelling tot de unieke Euclidische parallel; of Bernhard Riemann's elliptische meetkunde, die stelt dat "Door een punt buiten een lijn gaat geen parallel aan die lijn.”.

Toepassingen en implicaties van de ontdekking

Momenteel is bekend dat beide geometrieën in de lokale ruimte benaderende resultaten opleveren. De verschillen verschijnen wanneer de fysieke ruimte wordt beschreven door een of andere geometrie, rekening houdend met grote afstanden. Hoewel we Euclidische meetkunde blijven gebruiken, omdat het degene is die onze ruimte op lokale schaal het eenvoudigst beschrijft, is de ontdekking van niet-euclidische meetkunde was beslissend voor zover het een radicale transformatie betekende van het begrip van waarheden wetenschappelijk.

Tot die tijd werd gedacht dat de Euclidische meetkunde de ruimte echt beschreef. Bij het bewijzen van de mogelijkheid om het te beschrijven door een andere geometrie, met andere postulaten, was het noodzakelijk om de criteria te heroverwegen op basis waarvan het mogelijk was om de ene of andere verklaring aan te nemen, zoals "waar”.

Bibliografie

MARTINEZ LORCA, A. (1980) “De ethiek van Socrates en hun invloed op de gedachte Occidental”, in Revista Baética: Estudios de Arte, Geografie en Geschiedenis, 3, 317-334. Universiteit van Malaga.

Onderwerpen in niet-euclidische meetkunde