Wat zijn de vergelijkingen van Maxwell en hoe worden ze gedefinieerd?

Angel Zamora Ramirez | juli. 2022
Graad in natuurkunde

Vóór deze vergelijkingen werd gezegd dat de elektrische en magnetische krachten "krachten op afstand" waren, er was geen fysiek middel bekend waarmee dit soort interactie zou plaatsvinden. Na jarenlang onderzoek naar elektriciteit Y magnetisme, voelde Michael Faraday aan dat er iets fysieks in de ruimte tussen de ladingen en de elektrische stromen zou moeten zijn waardoor ze met elkaar zouden kunnen interageren en alle elektrische en magnetische verschijnselen die bekend waren, noemde hij deze aanvankelijk "krachtlijnen", wat leidde tot het idee van het bestaan ​​​​van een elektromagnetisch veld.

James Clerk Maxwell bouwt voort op het idee van Faraday en ontwikkelt een veldentheorie die wordt weergegeven door vier partiële differentiaalvergelijkingen. Maxwell noemde dit "elektromagnetische theorie" en was de eerste die dit soort wiskundige taal in een natuurkundige theorie opnam. De vergelijkingen van Maxwell in hun differentiële vorm voor vacuüm (dat wil zeggen, bij afwezigheid van diëlektrische en/of polariseerbare materialen) zijn als volgt:

\(\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho }{{{\epsilon }_{0}}}\)
\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)
\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)
\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}\vec{J}+{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac {\partial \vec{E}}{\partial t}\)
Maxwell's vergelijkingen voor het vacuüm in zijn differentiële vorm

Waar \(\vec{E}~\)is het elektrische veld, \(\vec{B}~\)is het magnetische veld, \(\rho ~\)is de dichtheid van elektrische lading, \(\vec{J}~~\)is een vector geassocieerd met a elektrische stroom, \({{\epsilon }_{0}}~\)is de elektrische permittiviteit van een vacuüm en \({{\mu }_{0}}~~\)is de magnetische permeabiliteit van een vacuüm. Elk van deze vergelijkingen komt overeen met a wet van elektromagnetisme en heeft een betekenis. Ik zal ze hieronder elk kort toelichten.

Wet van Gauss

\(\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho }{{{\epsilon }_{0}}}\)
Wet van Gauss voor het elektrische veld

Wat deze eerste vergelijking ons vertelt, is dat de elektrische ladingen de bronnen van het elektrische veld zijn, dit elektrische veld "divert" rechtstreeks van de ladingen. Bovendien wordt de richting van het elektrische veld bepaald door het teken van de elektrische lading die het produceert, en hoe dicht de veldlijnen zijn, geeft de grootte van het veld zelf aan. De afbeelding hieronder vat enigszins samen wat zojuist is genoemd.

Illustratie 1. Uit Studiowork.- Schema van de elektrische velden gegenereerd door twee puntladingen, een positieve en een negatieve.

Deze wet dankt zijn naam aan de wiskundige Johann Carl Friedrich Gauss die haar formuleerde op basis van zijn divergentiestelling.

Wet van Gauss voor het magnetisch veld

\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)

Wet van Gauss voor het magnetisch veld

Deze wet heeft geen specifieke naam, maar wordt zo genoemd vanwege de gelijkenis met de vorige vergelijking. De betekenis van deze uitdrukking is dat er geen "magnetische lading" is die analoog is aan "elektrische lading", dat wil zeggen dat er geen magnetische monopolen zijn die de bron van het magnetische veld zijn. Dit is de reden waarom als we een magneet doormidden breken, we nog steeds twee soortgelijke magneten hebben, beide met een noordpool en een zuidpool.

De wet van Faraday

\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)
Inductiewet van Faraday

Dit is de beroemde inductiewet die door Faraday werd geformuleerd toen hij in 1831 ontdekte dat veranderende magnetische velden elektrische stromen konden induceren. Wat deze vergelijking betekent, is dat een magnetisch veld dat in de loop van de tijd verandert, kan induceren: daaromheen een elektrisch veld, dat op zijn beurt elektrische ladingen kan doen bewegen en een stroom. Hoewel dit in eerste instantie misschien heel abstract klinkt, zit de wet van Faraday achter de werking van motoren, elektrische gitaren en inductiekookplaten.

Ampère-Maxwell wet

\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}\vec{J}+{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac {\partial \vec{E}}{\partial t}\)

Het eerste dat deze vergelijking ons vertelt, is dat elektrische stromen magnetische velden genereren in de richting van de stroom en dat: de grootte van het opgewekte magnetische veld hangt af van de grootte hiervan, dit was wat Oersted opmerkte en dat Ampère later kon formuleren. Er zit echter iets merkwaardigs achter deze vergelijking, en dat is dat de tweede term aan de zijkant wet van de vergelijking werd geïntroduceerd door Maxwell omdat deze uitdrukking oorspronkelijk inconsistent was met name bij de anderen leidde het tot een schending van de wet van behoud van elektrische lading. Om dit te vermijden introduceerde Maxwell eenvoudig deze tweede term zodat zijn hele theorie consistent zou zijn, deze term kreeg de naam "verplaatsingsstroom" en op dat moment was er geen experimenteel bewijs om dit te ondersteunen. zal een back-up maken

Illustratie 2. De Rumruay.- Een elektrische stroom die door een kabel vloeit, genereert een magnetisch veld eromheen volgens de wet van Ampère.

De betekenis van de verplaatsingsstroom is dat, op dezelfde manier als een magnetisch veld variabele induceert een elektrisch veld, een elektrisch veld dat met de tijd verandert, kan een veld genereren magnetisch. De eerste experimentele bevestiging van de verplaatsingsstroom was de demonstratie van het bestaan ​​van elektromagnetische golven door Heinrich Hertz in 1887, meer dan 20 jaar na de publicatie van de theorie van Maxwell. De eerste directe meting van verplaatsingsstroom werd echter gedaan door M. R. Van Cauwenberghe in 1929.

licht is een elektromagnetische golf

Een van de eerste verbijsterende voorspellingen gemaakt door de vergelijkingen van Maxwell is het bestaan ​​van elektromagnetische golven, maar niet alleen dat, ze onthulden ook dat licht een golf van dit moest zijn Type. Om dit enigszins te zien, spelen we met de vergelijkingen van Maxwell, maar daarvoor is hier de vorm van elke golfvergelijking:

\({{\nabla }^{2}}u=\frac{1}{{{v}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{ t}^{2}}}\)
Algemene vorm van een golfvergelijking in drie dimensies.

Waar \({{\nabla }^{2}}\) de Laplace-operator is, \(u\) een golffunctie is, en \(v\) de snelheid van de golf is. We zullen ook werken met de vergelijkingen van Maxwell in de lege ruimte, dat wil zeggen, bij afwezigheid van elektrische ladingen en elektrische stromen, alleen elektrische en magnetische velden:

\(\nabla \cdot \vec{E}=0\)

\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)

\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)

\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\)

En we zullen ook het volgende gebruiken: identiteit vectorrekening:

\(\nabla \times \left( \nabla \times \vec{A} \right)=\nabla \left( \nabla \cdot \vec{A} \right)-{{\nabla }^{2}} \tijd{A}\)

Als we deze identiteit toepassen op elektrische en magnetische velden met behulp van de vergelijkingen van Maxwell voor lege ruimte hierboven, krijgen we de volgende resultaten:

\({{\nabla }^{2}}\vec{E}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{{{\partial }^{2} }\vec{E}}{\partial {{t}^{2}}}\)

\({{\nabla }^{2}}\vec{B}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{{{\partial }^{2} }\vec{B}}{\partial {{t}^{2}}}\)

Let op de gelijkenis van deze vergelijkingen met de golfvergelijking hierboven, in conclusie, kunnen elektrische en magnetische velden zich als golven gedragen (elektromagnetische golven). Als we de snelheid van deze golven definiëren als \(c\) en deze vergelijkingen vergelijken met de golfvergelijking hierboven kunnen we zeggen dat de snelheid is:

\(c=\frac{1}{\sqrt{{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}}}\)

\({{\mu }_{0}}\) en \({{\epsilon }_{0}}\) zijn respectievelijk de magnetische permeabiliteit en elektrische permittiviteit van vacuüm, en beide zijn constanten universalia waarvan de waarden \({{\mu }_{0}}=4\pi \times {{10}^{-7}}~~T\cdot m/A\) en \({{\ epsilon } 0}}=8.8542\times {{10}^{-12}}~{{C}^{2}}/N\cdot m~\), als we deze waarden vervangen, hebben we dat de waarde van \(c\) is \(c=299.792.458\frac{m}{s}\circa 300.000~km/s\), wat precies de snelheid is van de licht.

Met deze kleine analyse kunnen we drie zeer belangrijke conclusies trekken:

1) Elektrische en magnetische velden kunnen zich als golven gedragen, dat wil zeggen dat er elektromagnetische golven zijn die zich ook door een vacuüm kunnen voortplanten.

2) Licht is een elektromagnetische golf waarvan de snelheid afhangt van de magnetische permeabiliteit en permittiviteit van het medium waardoor het zich voortplant, heeft licht in de lege ruimte een snelheid van ongeveer 300.000 km/s.

3) Aangezien de magnetische permeabiliteit en de elektrische permittiviteit universele constanten zijn, is de lichtsnelheid is ook een universele constante, maar dit houdt ook in dat de waarde ervan niet afhangt van kader van waaruit het wordt gemeten.

Deze laatste uitspraak was destijds zeer controversieel. Hoe is het mogelijk dat de snelheid van? licht is hetzelfde, ongeacht de beweging van de persoon die het meet en de beweging van de lichtbron. licht? De snelheid van iets moet relatief zijn, toch? Welnu, dit was een keerpunt voor de fysica van die tijd en dit eenvoudige maar diepgaande feit leidde tot de ontwikkeling van de speciale relativiteitstheorie door Albert Einstein in 1905.