Wat is de Dirac-vergelijking en hoe wordt deze gedefinieerd?

Deze vergelijking kan op verschillende manieren worden uitgedrukt, de meest compacte en vereenvoudigde is wat wordt beschouwd als een van de meest esthetische vergelijkingen in de wetenschap:

\(\links( {i\nabla - \frac{{mc}}{h}} \rechts) = 0\)

Waar:
i: denkbeeldige eenheid
m: rustmassa van het elektron
ħ: gereduceerde constante van Planck
c: snelheid van het licht
: sommatie-operator van partiële afgeleiden
: wiskundige golffunctie van het elektron

De absolute waarde van het kwadraat van de golffunctie vertegenwoordigt de waarschijnlijkheid om het deeltje in een bepaalde positie te vinden, rekening houdend met zijn Energie, snelheid, onder andere parameters, evenals zijn

evolutie in de tijd. Met andere woorden, de Paul Dirac-vergelijking gebruikt matrices die op vectoren werken en vertegenwoordigt een evolutie van de Schrödinger-vergelijking in relativistische kwantumfysica.

De Dirac-vergelijking werd oorspronkelijk gebruikt om het gedrag van een elektron zonder interactie te beschrijven, hoewel de toepasbaarheid zich uitstrekt tot Omschrijving van subatomaire deeltjes wanneer ze reizen met snelheden die dicht bij de lichtsnelheid liggen. Dirac slaagde erin om op subatomaire schaal het duale gedrag van golf en deeltje te verklaren dat toen al bekend was, aangezien hij de eigenschappen van deeltjes zoals impulsmoment beschouwde intrinsiek of draaien.

Een andere belangrijke bijdrage van de Dirac-vergelijking is de voorspelling van antimaterie, waarvan het bestaan ​​later werd aangetoond (in 1932) door Carl D. Anderson gebruikte een nevelkamer waarmee hij het positron identificeerde. Het verklaart ook grotendeels de fijne structuur die is geïdentificeerd in atomaire spectraallijnen.

De afbeelding toont de beroemde foto die werd genomen tijdens de "Photons and Electrons"-conferentie in 1927, waar enkele van de meest vooraanstaande wetenschappers uit de geschiedenis worden afgebeeld. In de hemelomtrek is Paul Dirac.

Dirac-vergelijkingsachtergrond

Om de overwegingen te begrijpen die Dirac heeft genomen bij de ontwikkeling van zijn vergelijking, evenals de waarop zijn aanpak was gebaseerd, is het belangrijk om de theorieën te kennen die aan zijn benadering voorafgingen model.

Ten eerste is er de beroemde Schrödinger-vergelijking van de kwantummechanica, gepubliceerd in 1925, die hoeveelheden omzet in kwantumoperatoren. Deze vergelijking gebruikt de golffunctie (), met als uitgangspunt de klassieke vergelijking van energie E = p2/2m en bevat de kwantisatieregels voor zowel momentum (p) als energie (EN):

\(ih\frac{\partial }{{\partial t}}\left( {r, t} \right) = \left[ {\frac{{{h^2}}}{{2m}}{\ nabla ^2} + V\left( {r, t} \right)} \right]\left( {r, t} \right)\)

De partiële afgeleide /t drukt de evolutie van het systeem in de tijd uit. De eerste term binnen de vierkante haken verwijst naar de Kinetische energie (\({\nabla ^2} = \frac{\partial }{{\partial r}}\left( {r, t} \right)\)), terwijl de tweede term betrekking heeft op de potentiële energie.

Opmerking: in de relativiteitstheorie van Einstein moeten de variabelen ruimte en tijd gelijkelijk in de vergelijkingen, wat niet het geval is in de Schrödingervergelijking, waarin tijd verschijnt als een afgeleide, en positie als een tweede afgeleide.

Nu hebben wetenschappers eeuwenlang geprobeerd een natuurkundig model te vinden dat de verschillende theorieën verenigt, en in het geval van De vergelijking van Schrödinger houdt rekening met de massa (m) en de lading van het elektron, maar houdt geen rekening met de relativistische effecten die zich manifesteren bij hoge snelheden. Om deze reden hebben wetenschappers Oskar Klein en Walter Gordon in 1926 een vergelijking voorgesteld die wel rekening houdt met de relativiteitsprincipes:

\({\left( {ih\frac{\partial }{{\partial t}}} \right)^2} = \left[ {{m^2}{c^4} + c{{\left( { - ih\bar \nabla } \right)}^2}} \right]\)

Het probleem met de Klein-Gordon-vergelijking is dat deze gebaseerd is op die van Einstein, waarin energie gekwadrateerd is, dus deze (Klein-Gordon) vergelijking bevat een kwadratische afgeleide met betrekking tot tijd, en dit houdt in dat het twee oplossingen heeft, waardoor negatieve waarden van tijd mogelijk zijn, en dit heeft geen zin fysiek. Evenzo heeft het het ongemak van het genereren van waarschijnlijkheidswaarden kleiner dan nul als oplossingen.

In een poging om de inconsistenties op te lossen die worden geïmpliceerd door negatieve oplossingen van bepaalde grootten die deze resultaten niet ondersteunen, begon Paul Dirac met de Klein-Gordon-vergelijking om lineariseren, en in deze procedure introduceerde hij twee parameters in de vorm van matrices van dimensie 4, bekend als Dirac- of ook Pauli-matrices, en die een weergave zijn van de algebra van de draaien. Deze parameters worden aangeduid als  en ` (in de energievergelijking worden ze weergegeven als E = pc + mc2):

door wat is? gelijkwaardigheid is voldaan, is de voorwaarde dat ´2 = m2c4

In het algemeen leiden de kwantisatieregels tot bewerkingen met afgeleiden die van toepassing zijn op scalaire golffuncties, aangezien de parameters α en β zijn 4x4 matrices, de differentiaaloperatoren grijpen in op een vierdimensionale vector (), bekend als spinor.

De Dirac-vergelijking lost het negatieve energieprobleem op dat wordt gepresenteerd door de Klein-Gordon-vergelijking, maar er verschijnt nog steeds een negatieve energie-oplossing; dat wil zeggen, deeltjes met eigenschappen die vergelijkbaar zijn met die van de andere oplossing, maar met een tegengestelde lading, noemde Dirac deze antideeltjes. Verder wordt met de Dirac-vergelijking aangetoond dat de spin het resultaat is van het toepassen van relativistische eigenschappen op de kwantumwereld.