Wat is de hiërarchie van operaties?

De hiërarchie van bewerkingen is een wiskundige conventie die de volgorde bepaalt waarin gecombineerde berekeningsacties moeten worden uitgevoerd dezelfde wiskundige bewering, dat wil zeggen, wanneer er een wiskundige bewering is waar wiskundige bewerkingen zijn (optellen, aftrekken, vermenigvuldiging, deling, machten en wortels) gecombineerd, moeten deze in een specifieke volgorde worden gedaan om tot een resultaat te komen gewoon.

Maar waarom is een hiërarchie nodig? Om het te beantwoorden, moeten we eerst de aard van wiskundige bewerkingen goed begrijpen, die bestaat uit een transformatie die wordt toegepast op de elementen van een set. Laten we bijvoorbeeld denken aan de verzameling reële getallen, dat wil zeggen de getallen die we allemaal kennen. Als we een getal a nemen en het optellen met een ander getal b, krijgen we een ander getal c dat tot dezelfde reeks reële getallen behoort, namelijk:

a+b = c

Bovendien heeft de volgorde waarin de toevoegingen worden gepresenteerd geen invloed op het uiteindelijke resultaat, dat wil zeggen

a+b = b+a, wordt deze eigenschap commutativiteit genoemd. Het is belangrijk om over optellen te praten, omdat het de basisbewerking is waarvan alle andere zijn afgeleid. Een vermenigvuldiging is niets meer dan een reeks herhaalde optellingen. Als we weer een getal a hebben en we vermenigvuldigen het met een getal b, dan tellen we soms het getal b bij zichzelf op, of als alternatief b maal het getal a bij zichzelf. Dit laatste is zo aangezien vermenigvuldiging commutatief is zoals optellen, dit houdt in dat: a⋅b = b⋅a. Het bovenstaande kan worden uitgedrukt als:

We kunnen dit gemakkelijk visualiseren met een voorbeeld. Laten we de 5×2 vermenigvuldiging doen:

5×2 = 2×5 = 2+2+2+2+2 = 5+5 = 10

Wat nu als we een bewerking moeten uitvoeren waarbij we optellen en vermenigvuldigen hebben gecombineerd? Bijvoorbeeld: a⋅b+c. Wat is de volgorde waarin optellen en vermenigvuldigen moet worden uitgevoerd? Aan welke bewerking moeten we de voorkeur geven? Als we eerst de vermenigvuldiging uitvoeren en deze als een som ontwikkelen, hebben we:

Als we nu eerst de optelling uitvoeren en daarna de vermenigvuldiging, krijgen we:

Omdat optellen commutatief is, kunnen we de rechterkant van de vergelijking hergroeperen om te krijgen:

Als we de verkregen resultaten in beide situaties vergelijken, is het gemakkelijk om te beseffen dat:

We concluderen dan dat de volgorde waarin wordt besloten om de operaties uit te voeren van invloed is op het behaalde resultaat. Hetzelfde gebeurt als we krachten erbij betrekken. Als we een getal b verheffen tot een macht c, vermenigvuldigen we c maal het getal b met zichzelf, dat wil zeggen:

We gaan nu verder met het uitvoeren van de volgende gecombineerde bewerking met vermenigvuldiging en macht a⋅b^C in een andere volgorde dan in het vorige geval. Als we eerst prioriteit geven aan macht hebben we:

Als we nu eerst de vermenigvuldiging uitvoeren en daarna de macht, krijgen we:

Door gebruik te maken van de commutativiteit van vermenigvuldiging kunnen we de rechterkant van de vergelijking hergroeperen als:

Nogmaals, we kunnen de verkregen resultaten vergelijken door de bewerkingen in een andere volgorde uit te voeren om te realiseren dat:

Ook in dit geval is de volgorde waarin de bewerkingen worden uitgevoerd van invloed op het verkregen resultaat. Dus, wat is de volgorde waarin de bewerkingen moeten worden uitgevoerd? De hiërarchie van bewerkingen stelt vast dat bevoegdheden zich op een hoger hiërarchisch niveau bevinden dan vermenigvuldigingen, op een zodanige manier dat bevoegdheden voorrang hebben in een wiskundige verklaring. Vermenigvuldigingen hebben op hun beurt een hoger hiërarchisch niveau dan optellingen.

Maar hoe zit het met aftrekken, delen en wortels? Aftrekken is de tegenovergestelde bewerking van optellen, wanneer we een getal b aftrekken van een getal a, krijgen we een ander getal c zodat c+b=a. Iets soortgelijks gebeurt met delen en aftrekken. Als we een getal a delen door een getal b en als resultaat een getal c krijgen, hebben we een getal gevonden zodat b⋅c=a. En tot slot, door de wortel b van een getal a te berekenen, vinden we een getal c zodanig dat c^B=een. Deze equivalenties plaatsen aftrekken, delen en rooten op hetzelfde hiërarchische niveau als respectievelijk optellen, vermenigvuldigen en macht.

Praktijken tussen haakjes en haakjes

Wat gebeurt er als we prioriteit willen geven aan sommige bewerkingen in een wiskundige bewering, ongeacht hun hiërarchieniveau? Hiervoor worden haakjes en vierkante haken gebruikt. Stel dat we de verklaring van het principe a⋅b+c hebben. Met wat we eerder hebben gezegd, weten we al dat we eerst de vermenigvuldiging moeten uitvoeren en daarna de optelling. Maar wat als we wilden dat dit niet het geval was? Om dit te doen, zouden we haakjes of vierkante haken moeten gebruiken om de optelling van de vermenigvuldiging te scheiden en dus prioriteit te geven aan het eerst berekenen van de optelling, dat wil zeggen: a⋅(b+c). Dit zorgt ervoor dat instructies gescheiden door haakjes en vierkante haken de hoogste prioriteit hebben boven alle andere bewerkingen.

Met alles wat hierboven is gezegd, is de hiërarchie van bewerkingen, of de volgorde waarin ze moeten worden uitgevoerd, als volgt:

1) Haakjes en haakjes
2) Bevoegdheden en wortels
3) Vermenigvuldigingen en delingen
4) Optellen en aftrekken

Referenties

H. Behnke, F. Bachman, K. Fladt, W. Sus, H. Gerik, F. Hohenberg, G. Pickert, H. Rau & S. H. Gould. (1983). Grondbeginselen van de wiskunde: deel I. Cambridge, Massachusetts en Londen: The MIT Press.