Kwadratische functiedefinitie

Een kwadratische functie van een reële variabele waarvan de vorm wordt uitgedrukt.

\(f\links( x \rechts) = a{x^2} + bx + c\)

Waar de variabele \(x\) is, zijn \(a, b\) en c echte constanten, coëfficiënten genoemd van de kwadratische functie met \(a \ne 0.\)

De tabel geeft algemene voorbeelden van kwadratische functies en de situatie die ze kunnen modelleren, om later hun directe toepassing vanuit echte problemen te illustreren.

Kwadratische functie	Situatie die je kunt modelleren
\(f\links( x \rechts) = {x^2}\)	De variabele \(y\) is de oppervlakte van een vierkant waarvan de zijde \(x\) meet.
\(f\links( x \rechts) = \pi {x^2}\)	De variabele \(y\) is de oppervlakte van een cirkel waarvan de straal \(x\) is.
\(f\links( x \rechts) = 100 – 4,9{x^2}\)	De variabele \(y\) is de hoogte van een object dat is gevallen op een hoogte van 100 en \(x\) is de verstreken tijd.
\(f\links( x \rechts) = 60\links( {{\bf{sin}}45^\circ } \rechts) x – 4.9{x^2}\)	De variabele \(y\) is de hoogte van een kanonskogel die onder een hoek van 45° wordt geworpen met een snelheid van 60 m/s en \(x\) is de verstreken tijd.

De algemene formule en de kwadratische functie

Als voor \(x = \alpha \) de kwadratische functie nul is, dan wordt het getal \(\alpha \) de wortel van de kwadratische functie genoemd, ja, \(\alpha \) is de oplossing van de kwadratische vergelijking

\(a{x^2} + bx + c = 0\)

De algemene formule om kwadratische vergelijkingen op te lossen die we hebben, is dat de wortels van een kwadratische functie zijn:

\(\alpha = \frac{{ – b + \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}},\;\;\beta = \frac{{ – b – \sqrt {{b ^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

Uit het bovenstaande wordt de volgende relatie tussen de wortels en de coëfficiënten van de kwadratische functie vastgesteld:

\(\alpha + \beta = – \frac{b}{a},\;\;\alpha \beta = \frac{c}{a}\)

Door middel van opmerkelijke producten wordt de volgende identiteit vastgesteld:

\(a{x^2} + bx + c = a\links( {x – \alpha } \right)\links( {x – \beta } \right)\)

Op een vergelijkbare manier als vastgesteld in de algemene formule, wordt vastgesteld dat de kwadratische functie kan worden uitgedrukt in de vorm:

\(f\links( x \rechts) = a{\links( {x – h} \rechts)^2} + k\)

Met \(h = – \frac{b}{{2a}}\) en \(k = – \frac{{{b^2} – 4ac}}{a}\)

Door de vergelijking op te lossen:

\(a{\links( {x – h} \rechts)^2} + k = 0\)

Is verkregen:

\(\links| {x – h} \rechts| = \sqrt { – \frac{k}{a}} \)

\(x = h \pm \sqrt { – \frac{k}{a}} \)

Uit het bovenstaande kan worden geconcludeerd dat \(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\), alleen als de constanten \(k\) en \(a\) zijn van tegengestelde tekens, deze kwadratische functie heeft echte wortels, die zijn: \(h + \sqrt { – \frac{k}{a}} ,\;\;h – \sqrt { – \frac{k}{a} } \).

Als de constanten \(k\) en \(a\) hetzelfde teken hebben, dan heeft de kwadratische functie geen reële wortels.

Als \(k = 0,\;\;\) heeft de kwadratische functie maar één wortel.

Voorbeelden toegepast op het echte leven

Toepassingsvoorbeeld 1: Economie

Een school wil een voetbaltoernooi organiseren waarbij elk team maar één keer tegen elk ander team speelt. Er is een budget van $ 15.600 voor de arbitragekosten, als de arbitragekosten $ 200 per spel bedragen. Hoeveel teams kunnen zich inschrijven voor het toernooi?

Probleemstelling: we moeten een functie vinden die het aantal overeenkomsten berekent als we \(n\) hebben teams om ze te tellen, gaan we ervan uit dat team 1 als eerste speelt met alle anderen, dat wil zeggen \(n – 1\) wedstrijden. Team 2 zou nu met de rest spelen, dat wil zeggen met \(n – 2\), aangezien ze al met team 1 hebben gespeeld. Team 3 heeft al gespeeld met teams 1 en 2, dus ze zouden met n-3 teams moeten spelen.

Met bovenstaande redenering komen we uit op:

\(f\left( n \right) = n – 1 + n – 2 + \ldots + 2 + 1\)

\(f\links( n \rechts) = \frac{{n\links( {n – 1} \rechts)}}{2}\)

De kostenfunctie is:

\(C\links( n \rechts) = 200f\links( n \rechts) = 100n\links( {n – 1} \rechts)\)

Met een budget van $ 15.600, hebben we de vergelijking:

\(100n\links( {n – 1} \rechts) = 15600\)

oplossing van de vergelijking

\(100n\links( {n – 1} \rechts) = 15600\) Uitgangssituatie
\(n\left( {n – 1} \right) = 156\) Deel elke zijde van de vergelijking door 100
\({n^2} – n – 156 = \) Voeg \( – 156\) toe aan elke zijde van de vergelijking
\(\left( {n – 13} \right)\left( {n + 12} \right) = 0\) We hebben \(\left( { – 13} \right)\left( {12} \right ) = – 156\) en \( – 13 + 12 = – 1\)
Het was ingecalculeerd.
Oplossingen van de vergelijking \(n = – 12,\;13\)
Antwoord: Het budget is voldoende om 13 teams in te schrijven.

Toepassingsvoorbeeld 2: economie

Een grootstedelijk busbedrijf heeft geconstateerd dat elk van zijn bussen op een werkdag van acht uur gemiddeld duizend passagiers vervoert. Om je werknemers loonsverhoging te kunnen geven, moet je je tarief verhogen, dat momenteel $ 5 is; Een econoom berekent dat voor elke peso die het tarief verhoogt, elke vrachtwagen gemiddeld 40 passagiers per dag zal verliezen. Het bedrijf heeft berekend dat het, om de salarisverhoging te dekken, elke dag $ 760 extra per vrachtwagen moet krijgen.Hoeveel moet het tarief worden verhoogd?

Probleemstelling: Laat \(x\) het aantal pesos zijn waarmee het ticket zal stijgen, waarvoor \(5 + x\) de nieuwe prijs van het ticket is. Met dezelfde toename zal elke vrachtwagen gemiddeld \(1000 – 40x\) passagiers per dag vervoeren.

Tot slot is de opbrengst per vrachtwagen:

\(I\links( x \rechts) = \links( {5 + x} \rechts)\links( {1000 – 40x} \rechts) = – 40\links( {x + 5} \rechts)\links( {x – 25} \rechts)\)

Om de salarisverhoging te dekken, moet elke bus verzamelen: \(1000\left( 5 \right) + 760 = 5760\)

Eindelijk hebben we de vergelijking:

\( – 40\links( {x + 5} \rechts)\links( {x – 25} \rechts) = 5760\)

oplossing van de vergelijking
\( – 40\links( {x + 5} \rechts)\links( {x – 25} \rechts) = 5760\) Uitgangssituatie
\(\left( {x + 5} \right)\left( {x – 25} \right) = – 144\) Delen door \( – 40\) aan elke kant van de vergelijking
\({n^2} – 20n – 125 = – 144\) Het opmerkelijke product is ontwikkeld
\({n^2} – 20n + 19 = 0\) 144 werden toegevoegd aan elk
\(\left( {n – 19} \right)\left( {n – 1} \right) = 0\) We hebben \(\left( { – 19} \right)\left( { – 1} \ rechts) = 19\) en \( – 19 – 1 = – 20\)
meegerekend
Oplossingen van de vergelijking \(n = 1,19\)
Antwoord: De ticketprijs kan oplopen tot $1 of $19 pesos.

Toepassingsvoorbeeld 3: Economie

Een broodwinkel verkoopt gemiddeld 1.200 broodjes per week voor $ 6 per stuk. Op een dag besloot hij de prijs te verhogen tot $ 9 per stuk; nu is haar omzet gedaald: ze verkoopt nog maar gemiddeld 750 rollen per week. Wat zou de prijs van elk broodje moeten zijn, zodat de opbrengst van het verkooppunt zo hoog mogelijk is? Stel dat er een lineair verband bestaat tussen vraag en prijs.

Probleemstelling: Stel dat er een lineair verband is tussen vraag D en prijs \(x,\) dan

\(D = mx + b\)

Wanneer \(x = 6;D = 1200;\;\) wat de vergelijking genereert:

\(1200 = 6m + b\)

Wanneer \(x = 9;D = 750;\;\) lo en de vergelijking wordt verkregen:

\(750 = 9m + b\)

Als we het stelsel van vergelijkingen oplossen, is de relatie tussen vraag en prijs:

\(D = – 150x + 2100 = – 150\links( {x – 14} \rechts)\)

Het inkomen is gelijk aan

\(I\links( x \right) = Dx = – 150x\links( {x – 14} \right)\)

Oplossing

De grafiek van het inkomen in een parabool die naar beneden opent en de maximale waarde wordt bereikt op het hoekpunt die kan worden gevonden door het gemiddelde te nemen van de wortels van de kwadratische functie die de modelleert inkomen. De wortels zijn \(\alpha = 0,\;\;\beta = 14\).

\(h = \frac{{0 + 14}}{2} = 7\)

\(I\links( h \rechts) = – 150\links( 7 \rechts)\links( {7 – 14} \rechts) = 7350\)

Antwoord

De maximale opbrengst is $7.350 en wordt behaald met een prijs van $7; verkoop gemiddeld 1050 rollen per week.

Toepassingsvoorbeeld 4: economie

De productiekosten van \(n\) stoelen in één dag kunnen worden berekend met de kwadratische functie:

\(C\links( n \rechts) = {n^2} – 200n + 13000\)

Bepaal de minimale kosten die kunnen worden behaald.

Probleemstelling

De grafiek van \(C\left( n \right)\) is een parabool die naar boven opent en zijn minimumpunt bereikt op \(h = – \frac{b}{{2a}} = – \frac{{\ links( { – 200} \rechts)}}{{2\links( 1 \rechts)}} = 100\)

\(C\links( {100} \rechts) = {\links({100} \rechts)^2} – 200\links( {100} \rechts) + 13000 = 3000\)

Antwoord

De laagst mogelijke kosten zijn gelijk aan $ 3000 en worden bereikt door 100 stoelen te vervaardigen.

Toepassingsvoorbeeld 5: Geometrie

Een ruit heeft een oppervlakte van 21 cm2; Als de som van de lengten van de diagonalen 17 cm is, wat is dan de lengte van elke diagonaal van de ruit?

Probleemstelling: De oppervlakte van een ruit wordt berekend met:

\(A = \frac{{Dd}}{2}\)

Met \(D\) en \(d\) de lengtes van zijn diagonalen, is ook bekend:

\(D + d = 7\)

\(D = 17 – d\)

Door te vervangen krijg je:

\(A = \frac{{\left( {17 – d} \right) d}}{2}\)

Eindelijk krijgen we de vergelijking

\(\frac{{\left( {17 – d} \right) d}}{2} = 21\)

Oplossing
\(\frac{{\left( {17 – d} \right) d}}{2} = 21\) Uitgangssituatie
\(\left( {17 – d} \right) d = 42\) Vermenigvuldig met \( – 40\) aan elke zijde van de vergelijking
\({d^2} – 17d + 42 = 0\) Het product is ontwikkeld.
\(\left( {d – 14} \right)\left( {d – 3} \right) = 0\) We hebben \(\left( { – 14} \right)\left( { – 3} \ rechts) = 42\) en \( – 14 – 3 = – 17\)
meegerekend
Oplossingen van de vergelijking \(d = 3.14\)
Antwoord:

De diagonalen van de ruit zijn 14 cm en 3 cm.

Toepassingsvoorbeeld 6: Geometrie

Het is wenselijk om een ​​rechthoekig kippenhok van 140 m2 te bouwen, gebruikmakend van een vrij lang hek dat de bodem van het kippenhok zal vormen. De andere drie zijden worden gebouwd met 34 strekkende meter gaas, hoeveel moet de lengte en breedte van het kippenhok zijn om het totale gaas te gebruiken?

Wat is onder dezelfde omstandigheden de maximale oppervlakte die met hetzelfde gaas kan worden omheind?

Probleemstelling: Volgens het diagram is de oppervlakte gelijk aan:

\(A\links( x \rechts) = x\links( {34 – 2x} \rechts) = 2x\links( {17 – x} \rechts)\)

Waarbij \(x\) de lengte is van de zijde loodrecht op het hek.

Om de afmetingen van de rechthoek te kennen zodat deze een oppervlakte van 140 m2 heeft, volstaat het om de vergelijking op te lossen

\(2x\links( {17 – x} \rechts) = 140\)

Aangezien de grafiek van \(A\left( x \right)\) een parabool is die naar beneden opent om de maximale waarde van de oppervlakte te berekenen, volstaat het om de top van de parabool te berekenen.

Antwoorden
Afmetingen van de rechthoek met een oppervlakte van 140 m2
Lengte van de zijde loodrecht op het hek

\(x\) Lengte van de zijde evenwijdig aan het hek

\(34 – 2x\)
10 14
7 20

De eerste coördinaat van het hoekpunt is \(h = \frac{{17}}{2}\) en

\(A\left( h \right) = \frac{{289}}{2}\)

Het gebied is maximaal wanneer de loodrechte zijde \(\frac{{17}}{2}\;\)m meet en de evenwijdige zijde 17m meet, het meet 17m, de waarde van het maximaal bereikte gebied is \(\frac{ {289}} {2}\)m2.

Grafiek van een kwadratische functie

Geometrisch gezien zijn de wortels de punten waar de grafiek van een functie de \(x\)-as snijdt.

Van de uitdrukking

\(f\links( x \rechts) = a{\links( {x – h} \rechts)^2} + k,\)

We zullen de algemene vorm van de grafiek van een kwadratische functie vaststellen.

Eerste geval \(a > 0\) en \(k > 0\)

\(f\links( x \rechts) = a{\links( {x – h} \rechts)^2} + k\)

\(X\)	\(f\links( x \rechts)\)
\(h – 1\)	\(a + k\)
\(h – 2\)	\(4a + k\)
\(h – 3\)	\(9a + k\)
\(h – 4\)	\(16a + k\)
\(H\)	\(k\)
\(h + 1\)	\(a + k\)
\(h + 2\)	\(4a + k\)
\(h + 3\)	\(9a + k\)
\(h + 4\)	\(16a + k\)

In dit geval voldoet de grafiek aan:

Symmetrisch: Met symmetrieas \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) Dat is \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \rechts)\)

Het bevindt zich boven de \(x\)-as en snijdt deze niet. Dat wil zeggen, \(f\left( x \right) > 0\) heeft geen echte wortels.

Het laagste punt in de grafiek is punt \(\left( {h, k} \right)\). Dat is \(f\left( x \right) \ge f\left( h \right) = k\)

Tweede geval \(a < 0\) en \(k < 0\)

\(f\links( x \rechts) = a{\links( {x – h} \rechts)^2} + k\)

\(X\)	\(f\links( x \rechts)\)
\(h – 1\)	\(a + k\)
\(h – 2\)	\(4a + k\)
\(h – 3\)	\(9a + k\)
\(h – 4\)	\(16a + k\)
\(H\)	\(k\)
\(h + 1\)	\(4a + k\)
\(h + 2\)	\(9a + k\)
\(h + 3\)	\(4a + k\)
\(h + 4\)	\(16a + k\)

In dit geval voldoet de grafiek aan:

Symmetrisch: Met symmetrieas \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) Dat is \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \rechts)\)

Het bevindt zich onder de \(x\)-as en snijdt deze niet. Dat wil zeggen, \(f\left( x \right) < 0\) heeft geen echte wortels. Het hoogste punt van de grafiek is punt \(\left( {h, k} \right)\). Dat is \(f\left( x \right) \le f\left( h \right) = k\) Derde geval \(a > 0\) en \(k \le 0\).

Dit geval is vergelijkbaar met het eerste geval, het verschil is dat we nu één echte wortel hebben (wanneer \(k = 0\) ) of twee echte wortels.

In dit geval voldoet de grafiek aan:

Symmetrisch: Met symmetrieas \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) Dat is \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \rechts)\)

Het snijdt de \(x\)-as, dat wil zeggen, het heeft ten minste één reële wortel.

Het laagste punt in de grafiek is punt \(\left( {h, k} \right)\). Dat is \(f\left( x \right) \ge f\left( h \right) = k\)

Vierde geval \(a < 0\) en \(k \ge 0\). Dit geval is vergelijkbaar met het tweede geval, het verschil is dat we nu één echte wortel hebben (wanneer \(k = 0\) ) of twee echte wortels. In dit geval voldoet de grafiek aan:

Symmetrisch: Met symmetrieas \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) Dat is \(f\left( {h – s} \right) = f\left( {h + s} \rechts)\)

Het laagste punt in de grafiek is punt \(\left( {h, k} \right)\). Dat is \(f\left( x \right) \le f\left( h \right) = k\)

De grafiek van een kwadratische functie wordt een parabool genoemd en de te markeren elementen zijn de symmetrieas, de snijpunten naar de \(x\)-as en het hoekpunt, dat is het punt op de grafiek van de functie waar het zijn laagste of hoogste punt bereikt, afhankelijk van de geval.

Op basis van de uitgevoerde analyse kunnen we stellen:

De parabool behorende bij de kwadratische functie \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) heeft zijn hoekpunt op \(\left( {h, k} \right)\) waar :

\(h = – \frac{b}{{2a}},\;\;k = f\left( h \right)\)

voorbeelden

Kwadratische functie \(y = {x^2}\)	belangrijke elementen
Vertex van de parabool	\(\links( {0,0} \rechts)\)
Symmetrieas van de parabool	\(x = 0\)
Onderschept met de \(x\)-as	\(\links( {0,0} \rechts)\)

Kwadratische functie \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 2} \right)^2}\)	belangrijke elementen
Vertex van de parabool	\(\links( {2,0} \rechts)\)
Symmetrieas van de parabool	\(x = 2\)
Onderschept met de \(x\)-as	\(\links( {2,0} \rechts)\)

Kwadratische functie \(y = {\links({x + 2} \right)^2} – 4\)	belangrijke elementen
Vertex van de parabool	\(\links( { – 2, – 4} \rechts)\)
Symmetrieas van de parabool	\(x = – 2\)
Onderschept met de \(x\)-as	\(\links( { – 4,0} \rechts);\links( {0,0} \rechts)\)

Kwadratische functie \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 9} \right)^2} + 8\)	belangrijke elementen
Vertex van de parabool	\(\links( {9,8} \rechts)\)
Symmetrieas van de parabool	\(x = 9\)
Onderschept met de \(x\)-as	\(\links( {5,0} \rechts);\links( {13,0} \rechts)\)

Kwadratische functie \(y = {x^2} + 1\)	belangrijke elementen
Vertex van de parabool	\(\links( {0,1} \rechts)\)
Symmetrieas van de parabool	\(x = 0\)
Onderschept met de \(x\)-as	Heeft geen

Kwadratische functie \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 2} \right)^2} – 1\)	belangrijke elementen
Vertex van de parabool	\(\links( {2, – 1} \rechts)\)
Symmetrieas van de parabool	\(x = 2\)
Onderschept met de \(x\)-as	Heeft geen

Als de echte wortels van een kwadratische functie bestaan, kunnen we daaruit de bijbehorende parabool tekenen. Stel dat \(f\left( x \right) = a\left( {x – \alpha } \right)\left( {x – \beta } \right)\)

Hiervoor moet met het volgende rekening worden gehouden:

\(\alpha + \beta = – \frac{b}{a}\)

\(\frac{{\alpha + \beta }}{2} = – \frac{b}{{2a}} = h\)

Als

\(k = f\links( h \rechts)\)

\(k = f\links( {\frac{{\alpha + \beta }}{2}} \right)\)

\(k = a\left( {\frac{{\alpha + \beta}}{2} – \alpha} \right)\left( {\frac{{\alpha + \beta}}{2} – \ bèta } \right)\)

\(k = – \frac{a}{4}{\links( {\alpha – \beta} \right)^2}\)

voorbeelden

Schets de grafiek van de kwadratische functie \(f\left( x \right) = \frac{1}{4}\left( {x – 3} \right)\left( {x + 6} \right )\)

Oplossing

De wortels zijn \(\alpha = 3\;\) en \(\beta = – 6\); dan \(h = \frac{{3 – 6}}{2} = – \frac{3}{2}\).

\(k = f\left( { – \frac{3}{2}} \right) = 2\left( { – \frac{3}{2} – 3} \right)\left( { – \frac {3}{2} + 6} \right) = \frac{1}{4}\left( { – \frac{9}{2}} \right)\left( {\frac{9}{2}} \right) = – \frac{{81}}{{16}}\)

We kunnen dus de volgende tabel maken

\(f\links( x \rechts) = 2\links( {x – 3} \rechts)\links( {x + 6} \rechts)\)	belangrijke elementen
Vertex van de parabool	\(\left( { – \frac{3}{2}, – \frac{{81}}{2}} \right)\)
Symmetrieas van de parabool	\(x = – \frac{{81}}{2}\)
Onderschept met de \(x\)-as	\(\links( { – 6,0} \rechts)\;,\;\links( {3,0} \rechts)\)

Om de grafiek van de functie te schetsen:

\(f\links( x \rechts) = 3{x^2} – 18x + 4\)

We zullen dezelfde ideeën gebruiken die we al hebben gebruikt; Hiervoor gaan we eerst het hoekpunt bepalen.

In dit geval, \(a = 3;b = – 12,\;c = 4\).

Aangezien \(a > 0\), zal de parabool “zich openen en \(h = – \frac{b}{{2a}} = – \left( {\frac{{ – 18}}{{3\left ( 2 \right)}}} \right) = 3.\) Vervolgens berekenen we \(k:\)

\(k = f\left( h \right) = f\left( 3 \right) = 3{\left( 3 \right)^2} – 18\left( 3 \right) + 4 = – 23\)

Het hoekpunt van de parabool bevindt zich op \(\left( {3, – 23} \right)\) en aangezien het naar boven opent, zal de parabool de \(x\;\) as snijden en zijn symmetrieas is \ (x = 3\).

Laten we nu eens kijken naar de kwadratische functie

\(f\links( x \rechts) = – 5{x^2} + 10x – 9\)

In dit geval, \(a = 3;b = – 12,\;c = 4\).

Aangezien \(a < 0\), zal de parabool naar beneden "openen" en \(h = - \frac{b}{{2a}} = - \left( {\frac{{10}}{{\left( 2 \right)\left( { - 5} \right)}}} \right) = 1.\) A Vervolgens berekenen we \(k:\) \(k = f\left( h \right) = f\left( 1 \right) = - 5{\left( 1 \right)^2} + 10\left( 1 \ rechts) - 9 = - 4\) Het hoekpunt van de parabool staat op \(\left( {1, - 4} \right)\) en aangezien hij naar beneden opent, zal de parabool de \(x\;\) as niet snijden en zijn symmetrieas is \(x = 1.\)