Definitie van geometrische progressie

Een reeks getallen \({{a}_{1}},~{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots \); Het wordt een geometrische progressie genoemd als, uitgaande van het tweede, elk element wordt verkregen uit de vermenigvuldiging van het vorige met een getal \(r\ne 0\), dat wil zeggen als:
\({{a}_{n+1}}={{a}_{n}}r\)
Waar:
- Het getal \(r\) wordt de verhouding van de geometrische progressie genoemd.
- Het element \({{a}_{1}}\) wordt het eerste element van de rekenkundige rij genoemd.

De elementen van de geometrische progressie kunnen worden uitgedrukt in termen van het eerste element en zijn verhouding, dat wil zeggen:
\({{a}_{1}},{{a}_{1}}r,{{a}_{1}}{{r}^{2}},{{a}_{1} {{r}^{3}}\)

Het zijn de eerste vier elementen van de rekenkundige rij; in het algemeen wordt het \(k-\)de element als volgt uitgedrukt:
\({{a}_{k}}={{a}_{1}}{{r}^{k-1}}\)

Wanneer \({{a}_{1}}\ne 0,~\)van de vorige uitdrukking krijgen we:

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}=\frac{{{a}_{1}}{{r}^{k-1}} }{{{a}_{1}}{{r}^{l-1}}}\)

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}={{r}^{k-l}}\)

De bovenstaande uitdrukking is gelijk aan:

\({{a}_{k}}={{a}_{l}}{{r}^{k-l}}\)

Voorbeeld/oefening 1. Vind het verschil van de rekenkundige progressie: \(2,6,18,54,\ldots \) ​​​​en vind de elementen \({{a}_{20}},~{{a}_{91}} \)

Oplossing

Aangezien \(\frac{6}{2}=\frac{18}{6}=\frac{54}{18}=3\) kunnen we concluderen dat de verhouding is:

\(r=3\)

\({{a}_{20}}=2\links( {{3}^{20-1}} \rechts)=2{{\links( 3 \rechts)}^{19}}\)

\({{a}_{91}}=2\links( {{3}^{91-1}} \rechts)=2{{\links( 3 \rechts)}^{90}}\)

Voorbeeld/oefening 2. In een rekenkundige rij hebben we: \({{a}_{17}}=20~\)y \({{a}_{20}}=-1280\), bepaal de verhouding van de meetkundige rij en schrijf de eerste 5 elementen.

Oplossing

dragen

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}={{r}^{k-l}}\)

\(\frac{{{y}_{20}}}{{{y}_{17}}}={{r}^{20-17}}\)

\(\frac{-1280}{20}={{r}^{3}}\)

\(-64={{r}^{3}}\)

\(\sqrt[3]{-64}=\sqrt[3]{{{r}^{3}}}\)

\(-4=r\)

De eerste 5 elementen van de rekenkundige rij vinden; we zullen \({{a}_{1}}\ berekenen):

\({{a}_{k}}={{a}_{1}}{{r}^{k-1}}\)

\({{a}_{17}}={{a}_{1}}{{\left( r \right)}^{17-1}}\)

\(20={{a}_{1}}{{\left( -4 \right)}^{16}}\)

\(\frac{20}{{{4}^{16}}}={{a}_{1}}\)

\(\frac{5\left( 4 \right)}{{{4}^{16}}}={{a}_{1}}\)

\(\frac{5}{{{4}^{15}}}={{a}_{1}}\)

De eerste 5 elementen van de geometrische progressie zijn:

\(\frac{5}{{{4}^{15}}},~\frac{5}{{{4}^{15}}}\left( -4 \right),\frac{5} {{{4}^{15}}}{{\links( -4 \right)}^{2}},\frac{5}{{{4}^{15}}}{{\left( -4 \right)}^{3}},\frac{5}{{ {4}^{15}}}{{\links( -4 \rechts)}^{4}}\)

\(\frac{5}{{{4}^{15}}},-~\frac{5}{{{4}^{14}}},\frac{5}{{{4}^{ 13}}},-\frac{5}{{{4}^{12}}},\frac{5}{{{4}^{11}}}\)

Voorbeeld/oefening 3. Een dun glas absorbeert 2% van het zonlicht dat er doorheen gaat.

naar. Welk percentage licht zal door 10 van die dunne glazen gaan?

B. Welk percentage licht zal door 20 van die dunne glazen gaan?

C. Bepaal het percentage licht dat door \(n\) achter elkaar geplaatste dunne glazen met dezelfde eigenschappen gaat.

Oplossing

We vertegenwoordigen met 1 het totale licht; door 2% van het licht te absorberen, gaat 98% van het licht door het glas.

We zullen weergeven met \({{a}_{n}}\) het percentage licht dat door het glas gaat \(n\) .

\({{a}_{1}}=0,98,~{{a}_{2}}=0,98\links( 0,98 \rechts),~{{a}_{3}}={{\links( 0,98 \rechts)}^{2}}\links( 0,98 \rechts),\)

In het algemeen \({{a}_{n}}={{\left( 0.98 \right)}^{n}}\)

naar. \({{a}_{10}}={{\links( 0,98 \rechts)}^{10}}=0,81707\); wat ons vertelt dat na glas 10 81,707% van het licht doorlaat

B. \({{a}_{20}}={{\links( 0,98 \rechts)}^{20}}=~0,66761\); wat ons vertelt dat na glas 20 66,761% passeert

De som van de eerste \(n\) elementen van een geometrische reeks

Gegeven de geometrische progressie \({{a}_{1}},{{a}_{1}}r,{{a}_{1}}{{r}^{2}},{{a} 1}}{{r}^{3}}\)….

Als \(r\ne 1\) de som is van de eerste \(n\) elementen, dan is de som:

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}+{{a}_{1}}r+{{a}_{1}}{{r}^{2}} +{{a}_{1}}{{r}^{3}}+\ldots +{{a}_{1}}{{r}^{n-1}}\)

Het kan worden berekend met

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r},~r \n1\)

Voorbeeld/oefening 4. Bereken vanuit voorbeeld 2 \({{S}_{33}}\).

Oplossing

In dit geval \({{a}_{1}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\) en \(r=-4\)

toepassen

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r}\)

\({{S}_{22}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\frac{1-{{\left( -4 \right)}^{22}}} {1-\links( -4 \rechts)}\)

\({{S}_{22}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\frac{1-{{\left( -4 \right)}^{22}}} {5}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1-{{\left( 4 \right)}^{22}}}{{{4}^{15}}}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1}{{{4}^{15}}}-\frac{{{\left( 4 \right)}^{22}}}{{ {4}^{15}}}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1}{{{4}^{15}}}-{{4}^{7}}\)

Voorbeeld/oefening 5. Stel dat iemand een foto van zijn huisdier uploadt en deze deelt met 3 van zijn vrienden op een sociaal internetnetwerk, en binnen een uur hen, deelt de foto met drie andere mensen en de laatste, over nog een uur, deelt elk van hen de foto met 3 anderen mensen; En zo gaat het verder; elke persoon die de foto ontvangt, deelt deze binnen een uur met 3 andere mensen. Hoeveel mensen hebben de foto al in 15 uur?

Oplossing

De volgende tabel toont de eerste berekeningen
Tijd Mensen die de foto ontvangen Mensen die de foto hebben
1 3 1+3=4
2 (3)(3)=32=9 4+9=13
3 32(3)= 33=27 13+27=40

Het aantal mensen dat de foto ontvangt in uur \(n\) is gelijk aan: \({{3}^{n}}\)

Het aantal mensen dat de foto al in het uur heeft is gelijk aan:

\(3+{{3}^{2}}+{{3}^{3}}+\ldots +{{3}^{n}}\)

toepassen

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r}\)

Met \({{a}_{1}}=3,\) \(r=3\) en \(n=15\)

Waardoor:

\({{S}_{n}}=\frac{\left( 1-{{3}^{15}} \right)}{1-3}=7174453\)

geometrische middelen

Gegeven twee getallen \(a~\) en \(b,\) de getallen \({{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k +1}}\) worden \(k\) geometrische gemiddelden van de getallen \(a~\) en \(b\) genoemd; als de reeks \(a,{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k+1}},b\) een meetkundige reeks is.

Om de waarden van \(k\) geometrische gemiddelden van de getallen \(a~\) en \(b\) te kennen, is het voldoende om de verhouding van de rekenkundige progressie te kennen, hiervoor moet het volgende worden overwogen:

\(a={{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k+1}},{ {a}_{k+2}}=b,\)

Uit het bovenstaande stellen we de relatie vast:

\(b=a{{r}^{k+1}}\)

Als we \(d\) oplossen, krijgen we:

\(b=a{{r}^{k+1}}\)

\(\frac{b}{a}={{r}^{k+1}}\)

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

Voorbeeld/oefening 6. Zoek 2 meetkundige gemiddelden tussen de getallen -15 en 1875.

Oplossing

Bij het solliciteren

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

met \(b=375,~a=-15\) en \(k=2~\):

\(r=\sqrt[2+1]{\frac{1875}{-15}}\)

\(r=\sqrt[3]{-125}=-5\)

De 3 geometrische gemiddelden zijn:

\(75,-375\)

Voorbeeld/oefening 7. Een persoon investeerde geld en ontving gedurende 6 maanden elke maand rente en zijn kapitaal steeg met 10%. Ervan uitgaande dat het tarief niet is gewijzigd, wat was dan het maandelijkse rentepercentage?

Oplossing

Laat \(C\) het geïnvesteerde kapitaal zijn; het eindkapitaal is \(1.1C\); Om het probleem op te lossen moeten we 5 geometrische middelen plaatsen, door de formule toe te passen:

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

Met \(k=5,~b=1.1C\) en \(a=C.\)

\(r=\sqrt[5+1]{\frac{1.1C}{C}}=\sqrt[6]{1.1}=1.016\)

Het ontvangen maandelijkse tarief was \(1,6%\)