Definitie van gemengde, eenheids-, homogene en heterogene breuken

Gemengd. Een gemengde breuk bestaat uit een geheel getal groter dan of gelijk aan één en een echte breuk, de algemene spelling van een breuk gemengd heeft de vorm: \(a + \frac{c}{d},\) waarvan de compacte schrijfwijze is: \(a\frac{c}{d},\;\), dat wil zeggen: \(a\ breuk{c}{d} = a + \frac{c}{d}\). Het getal \(a\) wordt het gehele deel van de gemengde breuk genoemd en \(\frac{c}{d}\) wordt het breukdeel genoemd.

homogeen. Als twee of meer breuken dezelfde noemer hebben, wordt gezegd dat ze als breuken zijn. Bijvoorbeeld de breuken \(\frac{3}{4},\) \(\frac{7}{4},\) \(\frac{1}{4},\) \(\frac{{ 10}}{4}\) zijn homogeen omdat ze allemaal dezelfde noemer hebben, in dit geval \(4\). Terwijl de breuken \(\frac{3}{4},\) \(\frac{7}{4},\) \(\frac{1}{4},\) \(\frac{5} { 2}\) niet homogene breuken aangezien de noemer van \(\frac{5}{2}\) \(2\) is en de noemer van de andere breuken is \(4\). Een van de voordelen van de homogene breuken is dat de rekenkundige bewerkingen van optellen en aftrekken van functies heel eenvoudig zijn.

heterogeen. Als twee of meer breuken, waarvan er tenminste twee niet dezelfde noemer hebben, dan worden deze breuken heterogene breuken genoemd. De volgende breuken zijn heterogeen: \(\frac{3}{5},\;\) \(\frac{7}{5}\), \(\frac{1}{4},\) \(\ fragment{2}{5}\).

unitair. Een breuk wordt geïdentificeerd als een eenheid als de teller gelijk is aan 1 \(1,\) \(2\). De volgende breuken zijn voorbeelden van eenheidsbreuken: \(\frac{1}{2},\;\) \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{4}\), \(\;\frac{1}{5}\).

Verbale uitdrukking van een gemengde breuk

gemengde fractie	Verbale expressie
\(3\frac{1}{2} = \)	Drie en een half geheel
\(5\frac{3}{4} = \)	Vijf gehele getallen en driekwart
\(10\frac{1}{8} = \)	Tien gehele getallen met een achtste

Een gemengde breuk omzetten in een oneigenlijke breuk

Gemengde breuken zijn handig voor schattingen, het is bijvoorbeeld eenvoudig vast te stellen:

\(5\frac{1}{{20}} > 4\frac{9}{{10}}\)

Gemengde breuken zijn echter meestal onpraktisch om bewerkingen zoals vermenigvuldigen en delen uit te voeren, daarom is het belangrijk hoe u converteert naar een gemengde breuk.

De vorige figuur vertegenwoordigt de gemengde breuk \(2\frac{3}{4}\), nu is elk geheel getal samengesteld uit vier kwartalen, dus in 2 gehele getallen zijn er 8 kwartalen en daar moeten we de andere 3 kwartalen bij optellen, dat wil zeggen inspraak:

\(2\frac{3}{4} = \frac{{2\left( 4 \right) + 3}}{4} = \frac{{11}}{4}\)

Over het algemeen:

\(a\frac{c}{d} = \frac{{ad + c}}{d}\)

De volgende tabel toont andere voorbeelden.

gemengde fractie	Uit te voeren bewerkingen	oneigenlijke breuk
\(3\frac{1}{2}\)	\(\frac{{3\links( 2 \rechts) + 1}}{2}\)	\(\frac{7}{2}\)
\(5\frac{3}{4}\)	\(\frac{{5\links( 4 \rechts) + 3}}{4}\)	\(\frac{{23}}{4}\)
\(10\frac{1}{8}\)	\(\frac{{10\links( 8 \rechts) + 1}}{8}\)	\(\frac{{81}}{8}\)

Een oneigenlijke breuk omzetten in een gemengde breuk

Om een ​​onechte breuk om te zetten in een gemengde breuk, berekent u het quotiënt en de rest van het delen van de teller door de noemer. Het verkregen quotiënt is het gehele deel van de gemengde breuk en de juiste breuk is \(\frac{{{\rm{rest}}}}{{{\rm{noemer}}}}\)

Voorbeeld

Om \(\frac{{25}}{7}\) om te zetten in een gemengde breuk:

Voor de uitgevoerde bewerkingen verkrijgen we:

In de onderstaande tabel ziet u andere voorbeelden.

oneigenlijke breuk	Berekening van het quotiënt en de rest	oneigenlijke breuk
\(\frac{{25}}{7}\)		\(3\frac{4}{7}\)
\(\frac{{35}}{8}\)		\(4\frac{3}{8}\)
\(\frac{{46}}{5}\)		\(9\frac{1}{5}\)

Dagelijks gebruik van gemengde en echte breuken

In het dagelijks leven moeten we meten, kopen, prijzen vergelijken, kortingen aanbieden; om te meten hebben we maateenheden nodig en ze bieden niet altijd hele eenheden van de producten aan en je betaalt niet altijd met een hele hoeveelheid munten van een eenheid.

Het is bijvoorbeeld gebruikelijk dat bepaalde vloeistoffen worden verkocht in containers waarvan de inhoud \(\frac{3}{4}\;\) van een liter, een halve gallon of anderhalve gallon is. Als je een tube gaat kopen, vraag je misschien om \(\frac{1}{8},\;\) \(\frac{7}{8},{\rm{\;}}\) \({ \rm {3}}\frac{1}{2}\) en je hoeft de maateenheid niet uit te spreken, in dit geval de inch.

Basisbewerkingen van gelijke breuken

De som van \(\frac{3}{4}\) en \(\frac{2}{4}\), wordt geïllustreerd in het volgende schema:

\(\frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{{3 + 2}}{4} = \frac{5}{4}\)

Terwijl de aftrekking als volgt wordt gedaan:

\(\frac{3}{4} – \frac{2}{4} = \frac{{3 – 2}}{4} = \frac{1}{4}\)

In het algemeen geldt voor homogene breuken:

\(\frac{a}{d} + \frac{b}{d} = \frac{{a + b}}{d}\)

\(\frac{a}{d} – \frac{b}{d} = \frac{{a – b}}{d}\)

De Egyptenaren en eenheidsfracties

De Egyptische cultuur heeft een opmerkelijke technologische ontwikkeling doorgemaakt en dit zou niet zijn gebeurd zonder een ontwikkeling die vergelijkbaar is met de wiskunde. Er zijn historische overblijfselen waar je verslagen kunt vinden van het gebruik van breuken in de Egyptische cultuur, met als bijzonderheid dat ze alleen eenheidsbreuken gebruikten.

Er zijn verschillende gevallen waarin het schrijven van een breuk als een som van eenheidsbreuken zo eenvoudig is als

\(\frac{3}{n} = \frac{1}{n} + \frac{1}{{2n}}\)

In het geval dat \(n = 2q + 1\), dat wil zeggen oneven, geldt:

\(\frac{2}{n} = \frac{1}{{q + 1}} + \frac{1}{{n\left( {q + 1} \right)}}\)

We zullen dit illustreren met twee voorbeelden.

Om \(\frac{2}{{11}}\) uit te drukken; in dit geval hebben we \(11 = 2\left( 5 \right) + 1\), dus:

\(\frac{2}{{11}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{{11\left( 6 \right)}},\)

Het is te zeggen,

\(\frac{2}{{11}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{{66}}\)

Om \(\frac{2}{{17}}\) uit te drukken; in dit geval hebben we \(17 = 2\left( 8 \right) + 1\),

\(\frac{2}{{15}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{{120}}\)

Vervolgens tonen we enkele breuken als som van eenheidsbreuken,

Fractie	Uitdrukking als som van eenheidsfracties	Fractie	Uitdrukking als som van eenheidsfracties
\(\frac{3}{n}\)	\(\frac{1}{n} + \frac{1}{{2n}}\)	\(\frac{5}{8}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{8}\)
\(\frac{2}{3}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{6}\)	\(\frac{7}{8}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}\)
\(\frac{3}{4}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\)	\(\frac{2}{9}\)	\(\frac{1}{5} + \frac{1}{{45}}\)
\(\frac{3}{5}\)	\(\frac{1}{5} + \frac{1}{{10}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{4}{5}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{{20}}\)	\(\frac{7}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{{36}}\)
\(\frac{5}{6}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\)	\(\frac{8}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{3}{7}\)	\(\frac{1}{3} + \frac{1}{{11}} + \frac{1}{{231}}\)	\(\frac{4}{9}\)	\(\frac{1}{3} + \frac{1}{9}\)
\(\frac{4}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{14}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{5}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{{10}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{6}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{{42}}\)	\(\frac{{19}}{{20}}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}\)

Met behulp van de vorige tabel kunnen we breuken optellen en dergelijke sommen uitdrukken; als een som van eenheidsfracties.

Voorbeelden van heterogene breuken

voorbeeld 1

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{{15}}} \right) + \left ( {\frac{1}{3} + \frac{1}{9}} \right)\)

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \frac{2}{3} + \frac{1}{{15}} + \frac{1}{9}\)

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \links( {\frac{1}{2} + \frac{1}{6}} \right) + \frac{1 }{{15}} + \frac{1}{9}\)

Voorbeeld 2

\(\frac{4}{7} + \frac{5}{9} = \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{14}}} \right) + \left ( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}} \right)\)

\(\frac{2}{7} + \frac{5}{9} = 1 + \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{18}}\)

Ten slotte kunnen we dezelfde breuk als een som van eenheidsfracties op een andere manier uitdrukken als:

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{{504}}\)

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{9} + \frac{1}{{63}}\)

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{18}}\)