Definitie van kwadratische/kwartale vergelijkingen

Een tweedegraadsvergelijking of, bij gebrek daaraan, een kwadratische vergelijking, met betrekking tot een onbekende, wordt uitgedrukt in de vorm:
\(a{x^2} + bx + c = 0\)
Waarbij de onbekende \(x\) is, zolang \(a, b\) en c reële constanten zijn, met \(a \ne 0.\)

Er zijn verschillende technieken om kwadratische vergelijkingen op te lossen, inclusief factorisatie, in welk geval we volgens de resolutie rekening moeten houden met de volgende eigenschap:

Als het product van twee getallen nul is, zijn er twee mogelijkheden:

1. Beide zijn gelijk aan nul.
2. Als de ene niet nul is, is de andere nul

Het bovenstaande kan als volgt worden uitgedrukt:
Als \(pq = 0\) dan \(p = 0\) of \(q = 0\).

Praktijkvoorbeeld 1: los de vergelijking \({x^2} – 8\)=0 op

\({x^2} – 8 = 0\)	Aanvankelijke situatie
\({x^2} – 8 + 8 = 8\)	Voeg 8 toe aan beide zijden van de vergelijking om \({x^2}\) op te lossen
\(\sqrt {{x^2}} = \sqrt {{2^3}} = \sqrt {{2^2}2} = \sqrt {{2^2}} \sqrt 2 = 2\sqrt 2 \)	De vierkantswortel wordt verkregen op zoek naar isolerende \(x.\) 8 wordt ontbonden en eigenschappen van radicalen en krachten worden toegepast.
\(\links| x \rechts| = 2\sqrt 2 \)	Je krijgt de root van \({x^2}\)
\(x = \pm 2\sqrt 2 \)

De oplossingen van \({x^2} – 8\)=0 zijn:
\(x = – 2\sqrt 2 ,\;2\sqrt 2 \)

Praktijkvoorbeeld 2: Los de vergelijking \({x^2} – 144\)=0 op

\({x^2} – 144 = 0\)	Aanvankelijke situatie
\({x^2} – {12^2} = 0\)	De vierkantswortel van 144 is 12. Er wordt een verschil van vierkanten geïdentificeerd.
\(\links( {x + 12} \rechts)\links( {x – 12} \rechts) = 0\)	Het verschil van kwadraten wordt ontbonden
\(x + 12 = 0\) \(x = – 12\)	We beschouwen de mogelijkheid dat de factor \(x + 12\) gelijk is aan 0. De verkregen vergelijking is opgelost.
\(x – 12 = 0\) \(x = 12\)	We beschouwen de mogelijkheid dat de factor \(x – 12\) gelijk is aan 0. De verkregen vergelijking is opgelost.

De oplossingen van de vergelijking \({x^2} – 144 = 0\) zijn

\(x = – 12,\;12\)

Praktijkvoorbeeld 3: los de vergelijking \({x^2} + 3x = 0\) op

\({x^2} + 3x = 0\)	Aanvankelijke situatie
\(x\links( {x + 3} \rechts) = 0\)	\(x\) wordt geïdentificeerd als een gemeenschappelijke factor en de factorisatie wordt uitgevoerd.
\(x = 0\)	Beschouw de mogelijkheid dat de factor \(x\) gelijk is aan 0.
\(x + 3 = 0\) \(x = – 3\)	We beschouwen de mogelijkheid dat de factor \(x – 12\) gelijk is aan 0. De verkregen vergelijking is opgelost.

De oplossingen van de vergelijking \({x^2} + 3x = 0\), zijn:
\(x = – 3.0\)

Praktijkvoorbeeld 4: Los de vergelijking \({x^2} – 14x + 49 = 0\) op

\({x^2} – 14x + 49 = 0\)	Aanvankelijke situatie
\({x^2} – 14x + {7^2} = 0\)	De vierkantswortel van 49 is 7 en \(2x\left( 7 \right) = 14x.\) Een perfecte vierkante trinominaal wordt geïdentificeerd.
\({\links( {x – 7} \rechts)^2} = 0\)	De perfect vierkante trinominaal wordt uitgedrukt als een kwadraat binomiaal.
\(x – 7 = 0\) \(x = 7\)

De oplossing van \({x^2} – 14x + 49 = 0\) is:
\(x = 7\)

Praktijkvoorbeeld 5: Los de vergelijking \(10{x^2} – 23x + 12 = 0\) op

\(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)	Aanvankelijke situatie
\(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)	Het product \(\left( {10} \right)\left( {12} \right) = 120 = \left( { – 8} \right)\left( { – 15} \right)\)
\(\links( {10{x^2} – 8x} \rechts) – 15x + 12 = 0\)	Het wordt uitgedrukt als \( – 23x = – 18x – 15\)
\(2x\links( {5x – 4} \rechts) – 3\links( {5x – 4} \rechts) = 0\)	Identificeer \(2x\) als een gemeenschappelijke factor in de eerste optelling en ontbind deze in factoren. Identificeer \( – 3\) als een gemeenschappelijke factor in de tweede toevoeging en ontbind deze.
\(\links( {5x – 4} \rechts)\links( {2x – 3} \rechts) = 0\)	Ontbind de gemeenschappelijke deler \(5x – 4\)
\(5x – 4 = 0\) \(x = \frac{4}{5}\)	We beschouwen de mogelijkheid dat de factor \(5x – 12\) gelijk is aan 0. De verkregen vergelijking is opgelost.
\(2x – 3 = 0\) \(x = \frac{3}{2}\)	Beschouw de mogelijkheid dat de factor \(2x – 3\) gelijk is aan 0. De verkregen vergelijking is opgelost.

De oplossingen van \(10{x^2} – 23x + 12 = 0\) zijn:
\(x = \frac{4}{5},\;\frac{3}{2}\)

Praktijkvoorbeeld 6: Los de vergelijking \({x^2} + 4x + 1 = 0\) op

\({x^2} + 4x + 1 = 0\)	Aanvankelijke situatie De trinominaal is geen perfect vierkant
\({x^2} + 4x + 1 – 1 = – 1\)	Voeg -1 toe aan elke kant van de vergelijking.
\({x^2} + 4x = – 1\)	Omdat \(\frac{1}{2}\left( 4 \right) = 2\) door \({2^2}\) toe te voegen, krijgen we een perfect vierkant.
\({x^2} + 4x + 4 = – 1 + 4\)	Voeg \({2^2}\;\) toe aan elke zijde van de vergelijking. De linkerkant is een perfect vierkant.
\({\links({x + 2} \rechts)^2} = 3\)	De perfect vierkante trinominaal wordt uitgedrukt als een kwadraat binomiaal.
\(\sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2}} = \pm \sqrt 3 \)	Neem de vierkantswortel van elke zijde van de vergelijking
\(\links| {x + 2} \rechts| = \sqrt 3 \) \(x = – 2 \pm \sqrt 3 \)	Los op voor X\).

De oplossingen van \({x^2} + 4x + 1 = 0\) zijn:
\(x = – 2 – \sqrt 3 ,\; – 2 + \sqrt 3 \)

Praktijkvoorbeeld 7: Los de vergelijking \(5{x^2} + 3x – 1 = 0\) op

\(5{x^2} + 3x – 1 = 0\)	Aanvankelijke situatie De trinominaal is geen perfect vierkant.
\(5{x^2} + 3x – 1 + 1 = 1\)	Voeg 1 toe aan elke kant van de vergelijking
\(\frac{1}{5}\left( {5{x^2} + 3x} \right) = \frac{1}{5}\left( 1 \right)\)	Vermenigvuldig met elke zijde van de vergelijking zodat de coëfficiënt van \({x^2}\) gelijk is aan 1.
\({x^2} + \frac{3}{5}x = \frac{1}{5}\)	product wordt uitgedeeld Omdat \(\frac{1}{2}\left( {\frac{3}{5}} \right) = \frac{3}{{10}}\), door \({\left( { \frac{3}{{10}}} \right)^2} = \frac{9}{{100}}\) geeft een perfecte vierkante trinominaal.
\({x^2} + \frac{3}{5}x + \frac{9}{{100}} = \frac{1}{5} + \frac{9}{{100}}\)	Voeg 3 toe aan beide zijden van de vergelijking om op te lossen voor \({\left( {x + 2} \right)^2}\)
\({\left( {x + \frac{3}{{10}}} \right)^2}\)=\(\frac{{29}}{{100}}\)	De perfect vierkante trinominaal wordt uitgedrukt als een derdemachts binomiaal.
\(\sqrt {{{\left( {x + \frac{3}{{10}}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{29}}{{100}}} \ )	Neem de vierkantswortel van elke zijde van de vergelijking
\(x = – \frac{3}{{10}} \pm \frac{{\sqrt {29} }}{{10}}\)	Los op voor X\).

De oplossingen van \(5{x^2} + 3x – 1 = 0\) zijn:
\(x = – \frac{{3 + \sqrt {29} }}{{10}},\; – \frac{{3 – \sqrt {29} }}{{10}}\)

De procedure die in de bovenstaande vergelijking wordt gebruikt, wordt gebruikt om te vinden wat de algemene formule voor kwadratische oplossingen wordt genoemd.

Algemene formule van de tweedegraadsvergelijking.

Algemene formule van kwadratische vergelijkingen

In deze sectie zullen we zien hoe we een kwadratische vergelijking in het algemeen kunnen oplossen

Laten we met \(a \ne 0\) de vergelijking \(a{x^2} + bx + c = 0\) bekijken.

\(a{x^2} + bx + c = a\left( {{x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}} \right) = 0\)

Omdat \(a \ne 0\) het voldoende is om op te lossen:

\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)

\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)	Aanvankelijke situatie
\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} – \frac{c}{a} = – \frac{c}{a}\)	Voeg \( – \frac{c}{a}\) toe aan elke kant van de vergelijking.
\({x^2} + \frac{b}{a}x = – \frac{c}{a}\)	Omdat \(\frac{1}{2}\left( {\frac{b}{a}} \right) = \frac{b}{{2a}}\), door \({\left( { \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}\) levert een perfecte vierkante trinominaal op.
\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} = \frac{{{b^2}} }{{4{a^2}}} – \frac{c}{a}\)	De linkerkant van de vergelijking is een perfecte vierkante trinominaal.
\({\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{{b^2} – 4{a^2}c}}{{4{ een^2}}}\)	De perfect vierkante trinominaal wordt uitgedrukt als een kwadraat binomiaal. De algebraïsche breuk is klaar.
\(\sqrt {{{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{{b^2} – 4{a^ 2}c}}{{4{a^2}}}} \)	Neem de vierkantswortel van elke zijde van de vergelijking.
\(\links| {x + \frac{b}{{2a}}} \rechts| = \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} }}{{2a} }\)	Radicale eigenschappen zijn van toepassing.
\(x + \frac{b}{{2a}} = \pm \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} }}{{2a}}\)	Absolute waarde-eigenschappen zijn van toepassing.
\(x + \frac{b}{{2a}} – \frac{b}{{2a}} = \pm \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} } }{{2a}} – \frac{b}{{2a}}\)	Tel aan elke zijde van de vergelijking \( – \frac{b}{{2a}}\) op om \(x\) op te lossen
\(x = \frac{{ – b \pm \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)	De algebraïsche breuk is klaar.

De term \({b^2} – 4{a^2}c\) wordt de discriminant genoemd van de kwadratische vergelijking \(a{x^2} + bx + c = 0\).

Als de discriminant van de bovenstaande vergelijking negatief is, zijn de oplossingen complexe getallen en zijn er geen echte oplossingen. Complexe oplossingen worden in deze notitie niet behandeld.

Gegeven de kwadratische vergelijking \(a{x^2} + bx + c = 0\), als \({b^2} – 4{a^2}c \ge 0\). Dan zijn de oplossingen van deze vergelijking:

\(\alpha = \frac{{ – b + \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

\(\beta = \frac{{ – b – \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

De uitdrukking:

\(x = \frac{{ – b \pm \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

Het wordt de algemene formule van de kwadratische vergelijking genoemd.

Praktijkvoorbeeld 8: los de vergelijking \(3{x^2} – 2x – 5 = 0\) op

\(naar\)	\(B\)	\(C\)	Discriminerend	echte oplossingen
\(3\)	\( – 2\)	\( – 5\)	\({2^2} – 4\links( 3 \rechts)\links( { – 5} \rechts) = 4 + 60 = 64\)	\(x = \frac{{ – \left( { – 2} \right) \pm \sqrt {64} }}{{2\left( 3 \right)}} = \frac{{2 \pm 8} }{6}\)

De oplossingen van de vergelijking zijn:
\(\alpha = – 1,\;\beta = \frac{5}{3}\)

Praktijkvoorbeeld 9: Los de vergelijking \( – 4{x^2} + 3x + 9 = 0\) op

\(naar\)	\(B\)	\(C\)	Discriminerend	echte oplossingen
\( – 4\)	3	9	\({3^2} – 4\links( { – 4} \rechts)\links( 9 \rechts) = 9 + 144 = 153\) \(153 = 9\links( {17} \rechts)\)	\(x = \frac{{ – 3 \pm \sqrt {9\left( {17} \right)} }}{{2\left( { – 4} \right)}} = \frac{{ – 3 \pm 3\sqrt {17} }}{{ – 8}}\)

De oplossingen van de vergelijking zijn:
\(\alpha = \frac{{3 – 3\sqrt {17} }}{8},\;\beta = \frac{{3 + 3\sqrt {17} }}{8}\)

Praktijkvoorbeeld 10: Los de vergelijking \(5{x^2} – 4x + 1 = 0\) op

\(naar\)	\(B\)	\(C\)	Discriminerend	echte oplossingen
\(5\)	-4	\(1\)	\({\links( { – 4} \rechts)^2} – 4\links( 5 \rechts)\links( 1 \rechts) = 16 – 20 = – 4\)	Heeft geen

Diverse vergelijkingen

Er zijn niet-kwadratische vergelijkingen die kunnen worden omgezet in een kwadratische vergelijking.We zullen twee gevallen zien.

Praktijkvoorbeeld 11: De reële oplossingen vinden van de vergelijking \(6x = 5 – 13\sqrt x \)

Door de variabele \(y = \sqrt x \) te wijzigen, blijft de vorige vergelijking als volgt:

\(6{j^2} = 5 – 13j\)

\(6{y^2} + 13j – 5 = 0\)

\(6{j^2} + 15j – 2j – 5 = 0\)

\(3j\links( {2j + 5} \rechts) – \links( {2j + 5} \rechts) = 0\)

\(\links( {2j + 5} \rechts)\links( {3j – 1} \rechts) = 0\)

Dus \(y = – \frac{2}{5},\;\frac{1}{3}\).

Aangezien \(\sqrt x \) alleen positieve waarden aangeeft, beschouwen we alleen:

\(\sqrt x = \;\frac{1}{3}\)

Antwoord:

De enige echte oplossing is:
\(x = \frac{1}{9}\)

Uitgewerkt voorbeeld 12: Los de vergelijking \(\sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} – \sqrt {\frac{{x – 5}}{x}} = \frac{5}{6 op }\)

Veranderen van variabele:

\(y = \sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} \)

We krijgen de vergelijking:

\(y – \frac{1}{y} = \frac{5}{6}\)

\(6{j^2} – 6 = 5j\)

\(6{y^2} – 5y – 6 = 0\)

\(6{j^2} – 9j + 4j – 6 = 0\)

\(3j\links( {2j – 3} \rechts) + 2\links( {2j – 3} \rechts) = 0\)

\(\links( {2j – 3} \rechts)\links( {3j + ​​2} \rechts) = 0\)

De mogelijke waarden van \(y\) zijn:

\(y = – \frac{2}{3},\;\frac{3}{2}\)

Van het bovenstaande zullen we alleen de positieve oplossing overwegen.

\(\sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} = \frac{3}{2}\)

\(\frac{x}{{x – 5}} = \frac{9}{4}\)

\(4x = 9x – 45\)

\(5x = 45\)

\(x = 9.\)

De oplossingen zijn \(x = 9.\)