Exponentiële functiedefinitie

Remming Snaartheorie / by admin / April 02, 2023

Marco Antonio Rodríguez Andrade
Master in de Wiskunde, Dr. of Science

De exponentiële functie modelleert verschillende natuurlijke fenomenen en sociale en economische situaties, daarom is het belangrijk om exponentiële functies in verschillende contexten te identificeren.

Laten we onthouden dat voor een getal ${a^1} = a,{a^2} = aa,\;{a^3} = aaa$ is gedefinieerd, in het algemeen hebben we dat voor elke \(n\ ) getal natuurlijk:

In het geval $a \ne 0$, hebben we dat: ${a^0} = 1,\;$ inderdaad, wanneer $a \ne 0,$ is het logisch om de bewerking \ uit te voeren (\frac{a}{a} = 1;\) bij het toepassen van de wet van exponenten hebben we:

$\frac{a}{a} = 1$

${a^{1 – 1}} = 1$

${a^0} = 1.$

Wanneer $a = 0$, klopt de vorige redenering niet, daarom mist de uitdrukking ${0^0},$ een wiskundige interpretatie.

In het geval dat $b > 0$ en het is waar dat ${b^n} = a,$ wordt gezegd dat $b$ de n-de wortel is van $a$ en is meestal aangeduid als \ (b = {a^{\frac{1}{n}}},\;\) of $b = \sqrt[n]{a}$.

instagram story viewer

Als $a < 0$, is er geen reëel getal $b$ zodat ${b^2} = a;$ omdat ${b^2} \ge 0;\;\ ) dus uitdrukkingen van het formulier \({a^{\frac{m}{n}}}$, wordt niet overwogen voor $a < 0.$ In de volgende algebraïsche uitdrukking: ${a^n}$ $a \ ) heet grondtal, en \(n$ is exponent genoemd, ${a^n}$wordt de macht$\;n$ van $a$ genoemd of wordt ook wel $a$ genoemd naar de macht $n,\;$se houden aan de volgende wetten van de exponenten:

${a^n}{a^m} = {a^{n + m}}$	$\frac{{{a^n}}}{{{a^m}}} = {a^{n – m}}$	${\links( {{a^n}} \rechts)^m} = {a^{nm}} = {\links( {{a^m}} \rechts)^n}$
$\frac{1}{{{a^n}}} = {a^{ – n}}$	${a^n} = \frac{1}{{{a^{ – n}}}}$	${\links( {\frac{1}{a}} \rechts)^n} = \frac{1}{{{a^n}}}$
${\left( {ab} \right)^n} = {a^n}{b^n}$	${\links( {{a^{\frac{1}{n}}}} \rechts)^m} = {\links( {{a^m}} \rechts)^{\frac{1} {n}}} = {a^{\frac{m}{n}}}$	${a^0} = 1$ voor elke $a \ne 0$

De exponentiële functie heeft de vorm:

$f\links( x \rechts) = {a^x}$

waarbij $a > 0$ een constante is en de onafhankelijke variabele de exponent $x$.

Om een analyse van de exponentiële functie te maken, zullen we drie gevallen bekijken

Geval 1 Wanneer de basis $a = 1.$

In dit geval is $a = 1,$ de functie $f\left( x \right) = {a^x}$ een constante functie.

Geval 2 Wanneer de basis $a > 1$

In dit geval hebben we het volgende:

Waarde van $x$
$x < 0$	$0 < {a^x} < 1$
$x = 0$	${a^0} = 1$
$0 < x < 1$	$1 < {a^x} < a$
$x = 1$	${a^x} = 1$
$x > 1$	$a < {a^x}$

De functie $f\left( x \right) = {a^x}$ is een strikt stijgende functie, dat wil zeggen, als ${x_2} > {x_1}$, dan:

${a^{{x_2}}} > a_{}^{{x_2}}$

$f\links( {{x_2}} \rechts) > f\links( {{x_1}} \rechts)$

Wanneer een fenomeen wordt gemodelleerd met een exponentiële functie, met $a > 1$, zeggen we dat het een exponentiële groei vertoont.

Geval 2 Wanneer de basis $a < 1$.

Waarde van $x$
$x < 0$	${a^x} > 1$
$x = 0$	${a^0} = 1$
$0 < x < 1$	$0 < {a^x} < 1$
$x = 0$	${a^x} = 1$
$x > 1$	$0 < {a^x} < a < 1$

Als $a < 1$, is de functie $f\left( x \right) = {a^x}$ een strikt afnemende functie, dat wil zeggen als \({x_2} > {x_1}\ ), Dus:

${a^{{x_2}}} < a_{}^{{x_1}}$ $f\left( {{x_2}} \right) < f\left( {{x_1}} \right) $ Wanneer een fenomeen is modellen met een exponentiële functie, met $a < 1$, zeggen we dat het een verval of afname voorstelt exponentieel. De volgende grafiek illustreert het gedrag van ${a^x}$, in zijn drie verschillende gevallen.

Toepassingen van de exponentiële functie

Voorbeeld 1 Bevolkingsgroei

We zullen met ${P_0}$ de initiële bevolking aangeven en met $r \ge 0$ de bevolkingsgroeisnelheid, als de bevolkingssnelheid constant blijft in de tijd; de functie

$P\links( t \rechts) = {P_0}{\links( {1 + r} \rechts)^t};$

Bereken de populatie op tijdstip t.

Praktijkvoorbeeld 1

De bevolking van Mexico is in het jaar 2021 126 miljoen en presenteerde een jaarlijkse groei van 1,1%, Als deze groei aanhoudt, hoeveel inwoners zullen er dan in Mexico zijn in het jaar 2031, in het jaar 2021?

Oplossing

In dit geval ${P_o} = 126$ en $r = \frac{{1.1}}{{100}} = 0.011$, moet je dus gebruiken:

$P\links( t \rechts) = {P_0}{\links( {1 + .0011} \rechts)^t}$

De volgende tabel toont de resultaten

Jaar	verstreken tijd ($T$)	Berekening	Bevolking (miljoenen)
2021	0	$P\links( t \rechts) = 126{\links( {1.0011} \rechts)^0}$	126
2031	10	$P\links( t \rechts) = 126{\links( {1.0011} \rechts)^{10}}$	140.57
2051	30	$P\links( t \rechts) = 126{\links( {1.0011} \rechts)^{30}}$	174.95

Voorbeeld 2 Berekening van samengestelde rente

Banken bieden een jaarlijks rentepercentage, maar het werkelijke tarief hangt af van het aantal maanden dat u het investeert; Als u bijvoorbeeld een jaarlijkse rentevoet van r% wordt aangeboden, is de werkelijke maandelijkse rente $\frac{r}{{12}}$%, de tweemaandelijkse rente is $\frac{r}{6}$%, kwartaal is $\frac{r}{4}$%, kwartaal is $\frac{r}{3}$%, en het semester is $\frac{r}{2}$%.

Praktijkvoorbeeld 2

Stel dat u 10.000 euro inlegt bij een bank en zij bieden u de volgende jaarlijkse rentetarieven:

Deposito's met vaste termijn	Jaarlijks tarief	perioden in een jaar	werkelijke tarief	Geaccumuleerd geld in $k$ maanden
twee maanden	0.55%	6	$\frac{{0.55\% }}{6} = 0.091667{\rm{\% }}$	$10000{\links( {1 + 0.00091667} \rechts)^{\frac{k}{2}}}$
drie maanden	1.87%	4	$\frac{{1,87\% }}{4} = 0,4675{\rm{\% }}$	$10000{\links( {1 + 0,00461667} \rechts)^{\frac{k}{3}}}$
zes maanden	1.56%	2	$\frac{{1,56\% }}{4} = 0,78{\rm{\% }}$	$10000{\links( {1 + 0,0078} \rechts)^{\frac{k}{6}}}$

Het getal $e$, de constante en continue interesse van Euler.

Stel nu dat we een startkapitaal hebben $C$ en we investeren het tegen een vaste rente $r > 0$, en we verdelen het jaar in $n$ perioden; het in een jaar opgebouwde kapitaal is gelijk aan:

$A = \;C{\links( {1 + \frac{r}{n}} \rechts)^n}$

Om te analyseren hoe het geaccumuleerde kapitaal zich gedraagt wanneer $n$, groeit, herschrijven we het geaccumuleerde kapitaal in één jaar:

$A = \;C{\left( {1 + \frac{r}{n}} \right)^n}$$A = \;C{\left( {1 + \frac{1} {{\frac{n}{r}}}} \right)^{\left( {\frac{n}{r}} \right) r}},$

door $m = \frac{n}{r}$ te doen, krijgen we:

$A = C{\left( {1 + \frac{1}{m}} \right)^{mr}}$$A = C{\left( {{{\left( {1 + \ frac{1}{m}} \right)}^m}} \right)^r}.$

Naarmate $n$ groeit, groeit ook $m = \frac{n}{r}.$

Naarmate $m = \frac{n}{r},$ groeit, benadert de uitdrukking ${\left( {1 + \frac{1}{m}} \right)^m}$ wat de Euler-constante of getal:

$e \ongeveer 2,718281828 \ldots .$

De constante van Euler heeft geen eindige of periodieke decimale uitdrukking.

We hebben de volgende benaderingen

$C{\links( {{{\links( {1 + \frac{1}{m}} \rechts)}^m}} \rechts)^r} \ongeveer C{e^r},$ $C{\left( {1 + \frac{r}{n}} \right)^{ns}} \ongeveer C{e^{rs}}.$

Naar de uitdrukking:

$A = \;C{e^r},$

We kunnen het op twee manieren interpreteren:

1.- Als het maximale bedrag dat we in een jaar kunnen verzamelen wanneer we kapitaal $C,\;$ beleggen tegen een jaarlijkse rente $r.$

2.- Als het bedrag dat we in een jaar zouden verzamelen als ons kapitaal continu zou worden herbelegd tegen een jaarlijks tarief $r.$

$T\links( s \rechts) = \;C{e^{rs}},$

is het opgebouwde bedrag als $s$ jaren worden belegd met doorlopende rente.

Concreet voorbeeld 3

Nu gaan we terug naar een deel van concreet voorbeeld 2, waar het jaarlijkse tarief 0,55% is in tweemaandelijkse termijnen. Bereken het kapitaal dat wordt opgebouwd als het startkapitaal 10.000 is en een half jaar, twee jaar en 28 maanden herinvesteert.

$10{\links( {1.00091667} \rechts)^{\frac{6}{2}}} = 10.{\rm{\;}}027525$

zoals de onderstaande tabel laat zien, is de waarde van $m = \frac{n}{r},$ niet "klein" en de bovenstaande tabel geeft aan dat ${\left( {1 + \frac{1}{ m}} \right)^m}$ ligt dicht bij de constante van Euler.

Tijd	Aantal perioden ($k$)	Geaccumuleerd kapitaal, in duizenden, elke twee maanden herbelegd
Half jaar	3	$10{\links( {1.00091667} \rechts)^3} = 10.{\rm{\;}}027525$
Twee jaar	12	$10{\links( {1.00091667} \rechts)^{12}} = 10110.{\rm{\;}}557$
38 maanden	19	$10{\links( {1.00091667} \rechts)^{19}} = 10.\;175612$

Tijd	Tijd van jaren ($s$)	Geaccumuleerd kapitaal, in duizenden, beleg met continue rente
Half jaar	$s = \frac{1}{2}$	$10{e^{0.0055\links( {\frac{1}{2}} \right)}} = 10.{\rm{\;}}027538$
Twee jaar	$s = 2$	$10{\links( {1.00091667} \rechts)^{0.0055\links( 2 \rechts)}} = 10110.{\rm{\;}}607$
38 maanden	$s = \frac{{19}}{6}$	$10{\links( {1.00091667} \rechts)^{\frac{{19}}{6}}} = 10.\;175692$

Voorbeeld 2 Afschrijving

Praktijkvoorbeeld 1

Een computer wordt elk jaar met 30% afgeschreven, als een computer $ 20.000 pesos kost, bepaal dan de prijs van de computer voor $t = 1,12,\;14,\;38$ maanden.

In dit geval heeft men:

$P\links( t \rechts) = 20000{\rm{\;}}{\links( {1 – 0,30} \rechts)^t}$

Met $t$ in jaren geeft vervanging van $t$ in de volgende tabel

tijd in maanden	tijd in jaren	berekeningen	Numerieke waarde
1	$\frac{1}{{12}}$	$P\left( t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \right)^{\frac{1}{{12}}}}$	19414.289
12	1	$P\left( t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \right)^1}$	14000
14	$\frac{7}{6}$	$P\left( t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \right)^{\frac{7}{6}}}$	13192.012
38	$\frac{{19}}{6}$	$P\left( t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \right)^{\frac{7}{6}}}$	6464.0859

Tagswolk

Beoordeling

Keer bekeken

Opmerkingen

\({a^n}{a^m} = {a^{n + m}}\)	\(\frac{{{a^n}}}{{{a^m}}} = {a^{n – m}}\)	\({\links( {{a^n}} \rechts)^m} = {a^{nm}} = {\links( {{a^m}} \rechts)^n}\)
\(\frac{1}{{{a^n}}} = {a^{ – n}}\)	\({a^n} = \frac{1}{{{a^{ – n}}}}\)	\({\links( {\frac{1}{a}} \rechts)^n} = \frac{1}{{{a^n}}}\)
\({\left( {ab} \right)^n} = {a^n}{b^n}\)	\({\links( {{a^{\frac{1}{n}}}} \rechts)^m} = {\links( {{a^m}} \rechts)^{\frac{1} {n}}} = {a^{\frac{m}{n}}}\)	\({a^0} = 1\) voor elke \(a \ne 0\)

Waarde van \(x\)
\(x < 0\)	\(0 < {a^x} < 1\)
\(x = 0\)	\({a^0} = 1\)
\(0 < x < 1\)	\(1 < {a^x} < a\)
\(x = 1\)	\({a^x} = 1\)
\(x > 1\)	\(a < {a^x}\)

Waarde van \(x\)
\(x < 0\)	\({a^x} > 1\)
\(x = 0\)	\({a^0} = 1\)
\(0 < x < 1\)	\(0 < {a^x} < 1\)
\(x = 0\)	\({a^x} = 1\)
\(x > 1\)	\(0 < {a^x} < a < 1\)

Tijd	Tijd van jaren (\(s\))	Geaccumuleerd kapitaal, in duizenden, beleg met continue rente
Half jaar	\(s = \frac{1}{2}\)	\(10{e^{0.0055\links( {\frac{1}{2}} \right)}} = 10.{\rm{\;}}027538\)
Twee jaar	\(s = 2\)	\(10{\links( {1.00091667} \rechts)^{0.0055\links( 2 \rechts)}} = 10110.{\rm{\;}}607\)
38 maanden	\(s = \frac{{19}}{6}\)	\(10{\links( {1.00091667} \rechts)^{\frac{{19}}{6}}} = 10.\;175692\)

Jaar	verstreken tijd (\(T\))	Berekening	Bevolking (miljoenen)
2021	0	\(P\links( t \rechts) = 126{\links( {1.0011} \rechts)^0}\)	126
2031	10	\(P\links( t \rechts) = 126{\links( {1.0011} \rechts)^{10}}\)	140.57
2051	30	\(P\links( t \rechts) = 126{\links( {1.0011} \rechts)^{30}}\)	174.95

Deposito's met vaste termijn	Jaarlijks tarief	perioden in een jaar	werkelijke tarief	Geaccumuleerd geld in \(k\) maanden
twee maanden	0.55%	6	\(\frac{{0.55\% }}{6} = 0.091667{\rm{\% }}\)	\(10000{\links( {1 + 0.00091667} \rechts)^{\frac{k}{2}}}\)
drie maanden	1.87%	4	\(\frac{{1,87\% }}{4} = 0,4675{\rm{\% }}\)	\(10000{\links( {1 + 0,00461667} \rechts)^{\frac{k}{3}}}\)
zes maanden	1.56%	2	\(\frac{{1,56\% }}{4} = 0,78{\rm{\% }}\)	\(10000{\links( {1 + 0,0078} \rechts)^{\frac{k}{6}}}\)

Tijd	Aantal perioden (\(k\))	Geaccumuleerd kapitaal, in duizenden, elke twee maanden herbelegd
Half jaar	3	\(10{\links( {1.00091667} \rechts)^3} = 10.{\rm{\;}}027525\)
Twee jaar	12	\(10{\links( {1.00091667} \rechts)^{12}} = 10110.{\rm{\;}}557\)
38 maanden	19	\(10{\links( {1.00091667} \rechts)^{19}} = 10.\;175612\)

tijd in maanden	tijd in jaren	berekeningen	Numerieke waarde
1	\(\frac{1}{{12}}\)	\(P\left( t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \right)^{\frac{1}{{12}}}}\)	19414.289
12	1	\(P\left( t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \right)^1}\)	14000
14	\(\frac{7}{6}\)	\(P\left( t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \right)^{\frac{7}{6}}}\)	13192.012
38	\(\frac{{19}}{6}\)	\(P\left( t \right) = 20000{\rm{\;}}{\left( {1 – .30} \right)^{\frac{7}{6}}}\)	6464.0859