Definitie van rekenkundige progressie

Een getallenreeks \({a_1},\;{a_2},{a_3}, \ldots \) ​​​​wordt een rekenkundige rij genoemd als het verschil tussen twee opeenvolgende getallen gelijk is aan hetzelfde getal \(d\), dat is ja:

\({a_{n + 1}} - {a_n} = d\)

Het getal \(d\) wordt het verschil van de rekenkundige rij genoemd.

Het element \({a_1}\) wordt het eerste element van de rekenkundige reeks genoemd.

De elementen van de rekenkundige progressie kunnen worden uitgedrukt in termen van het eerste element en het verschil, dat wil zeggen:

\({a_1},{a_1} + d,{a_1} + 2d,{a_1} + 3d\)

Het zijn de eerste vier elementen van de rekenkundige rij; In het algemeen wordt het \(k – \)de element als volgt uitgedrukt:

\({a_k} = {a_1} + \left( {k – 1} \right) d\)

Uit de bovenstaande uitdrukking krijgen we:

\({a_k} – {a_l} = {a_1} + \left( {k – 1} \right) d – \left( {{a_1} + \left( {l – 1} \right) d} \right )\)

\({a_k} – {a_l} = \links( {k – l} \right) d\)

De bovenstaande uitdrukking is gelijk aan:

\({a_k} = {a_l} + \left( {k – l} \right) d\)

Voorbeelden toegepast voor rekenkundige progressie

1. Vind het verschil van de rekenkundige progressie: \(3,8,13,18, \ldots \) ​​​​en vind de elementen \({a_{20}},\;{a_{99}}\)

Oplossing

Aangezien \(5 = 8 – 3 = 13 – 8 = 18 – 3\) kunnen we concluderen dat het verschil is:

\(d = 5\)

\({a_{20}} = {a_1} + \links( {20 – 1} \rechts) d = 3 + 19\links( 5 \rechts) = 98\)

\({a_{99}} = {a_1} + \links( {99 – 1} \rechts) d = 3 + 98\links( 5 \rechts) = 493\)

2. In een rekenkundige rij hebben we: \({a_{17}} = 20\;\)en \({a_{29}} = – 130\), bepaal het verschil van de rekenkundige rij en schrijf de eerste 5 elementen op.

Oplossing

dragen

\({a_k} – {a_l} = \links( {k – l} \right) d\)

\({a_{29}} – {a_{17}} = \links( {29 – 17} \rechts) d\)

\( – 130 – 20 = \links( {12} \rechts) d\)

\( – 150 = \links( {12} \rechts) d\)

\(12d = – 150\)

\(d = – \frac{{150}}{{12}} = – \frac{{25}}{2}\)

Om de eerste 5 elementen te vinden; we zullen \({a_1}\) berekenen:

\({a_k} = {a_1} + \left( {k – 1} \right) d\)

\({a_{17}} = {a_1} + \left( {17 – 1} \right)\left( { – \frac{{25}}{2}} \right)\)

\(20 = {a_1} + \left( {16} \right)\left( { – \frac{{25}}{2}} \right)\)

\(20 = {a_1} – 200\)

\({a_1} = 20 + 200 = 220\)

De eerste 5 elementen zijn:

\(220,220 + \left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 2\left( { – \frac{{25}}{2}} \right),220 + 3 \links( { – \frac{{25}}{2}} \rechts),220 + 4\links( { – \frac{{25}}{2}} \rechts)\)

\(220,\frac{{415}}{2},195,\frac{{365}}{2},170\)

Veelhoekgetallen en de som van de eerste \(n\) elementen van een rekenkundige rij

driehoekige getallen

De driehoeksgetallen \({T_n}\;\) worden gevormd uit de rekenkundige reeks: \(1,2,3,4 \ldots \); op de volgende manier.

\({T_1} = 1\)

\({T_2} = 1 + 2 = 3\)

\({T_3} = 1 + 2 + 3 = 6\)

\({T_4} = 1 + 2 + 3 + 4 = 10\)

vierkante getallen

De kwadraatgetallen \({C_n}\;\) worden gevormd uit de rekenkundige reeks: \(1,3,5,7 \ldots \); als volgt

\({C_1} = 1\)

\({C_2} = 1 + 3 = 4\)

\({C_3} = 1 + 3 + 5 = 9\)

\(C{\;_4} = 1 + 3 + 5 + 7 = 16\)

vijfhoekige getallen

De kwadraatgetallen \({P_n}\;\) worden gevormd uit de rekenkundige reeks: \(1,3,5,7 \ldots \); als volgt

\({P_1} = 1\)

\({P_2} = 1 + 4 = 5\)

\({P_3} = 1 + 4 + 7 = 12\)

\({P_4} = 1 + 4 + 7 + 10 = 22\)

Vervolgens laten we de formule zien om de som van de eerste \(n\) elementen van een rekenkundige rij te vinden.

Gegeven de rekenkundige progressie, \({a_1},{a_2} = {a_1} + d,{a_3} + 2d, \ldots .,{a_n} = {a_1} + \left( {n – 1} \right) D\). Om de som \({S_n} = {a_1} + {a_2} + {a_3} + \ldots + {a_n};\) te berekenen kun je de formule gebruiken:

\({S_n} = \frac{{n\left( {{a_1} + {a_n}} \right)}}{2}\)

wat gelijk is aan

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{a_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

Door de vorige formule toe te passen, worden de formules voor het berekenen van de driehoekige, vierkante en vijfhoekige getallen verkregen; die in de volgende tabel worden weergegeven.

veelhoekig getal	\({a_1}\)	\(D\)	Formule
Driehoekige \(n – \)th	1	1	\({T_n} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\)
Kwadraat \(n – \)de	1	2	\({C_n} = {n^2}\)
Vijfhoekige \(n – \)e	1	3	\({P_n} = \frac{{n\left( {3n – 1} \right)}}{2}\)

Voorbeeld op veelhoekige getallen

3. Bereken vanuit voorbeeld 2 \({S_{33}}\).

Oplossing

In dit geval \({a_1} = 200\) en \(d = – \frac{{25}}{2}\)

toepassen

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{a_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

\({S_{33}} = \frac{{34\left( {2\left( {200} \right) + \left( {33 – 1} \right)\left( { – \frac{{25 }}{2}} \right)} \right)}}{2}\)

\({S_{33}} = 17\links( {400 + 16\links( { – 25} \rechts)} \rechts) = 17\links( 0 \rechts) = 0\)

rekenkundige middelen

Gegeven twee getallen \(a\;\) en \(b,\) worden de getallen \({a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}}\) \(k\) middelen genoemd rekenkundige getallen \(a\;\) en \(b\); als de rij \(a,{a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}},b\) een rekenkundige reeks is.

Om de waarden van de \(k\) rekenkundige gemiddelden van de getallen \(a\;\) en \(b\) te kennen, is het voldoende om het verschil van de rekenkundige progressie te kennen, hiervoor moet het volgende zijn beschouwd:

\(a = {a_1},{a_2},{a_3}, \ldots ,{a_{k + 1}},{a_{k + 2}} = b,\)

Uit het bovenstaande stellen we de relatie vast:

\(b = a + \links( {k + 2 – 1} \rechts) d\)

Als we \(d\) oplossen, krijgen we:

\(d = \frac{{b – a}}{{k + 1}}\)

voorbeelden

4. Zoek 7 rekenkundige gemiddelden tussen de getallen -5 en 25.

Oplossing

Bij het solliciteren

\(d = \frac{{b – a}}{{k + 1}}\)

met \(b = 25,\;a = – 5\) en \(k = 7\;\):

\(d = \frac{{25 – \left( { – 5} \right)}}{{7 + 1}} = \frac{{30}}{8} = \frac{{15}}{4 }\)

De 7 rekenkundige gemiddelden zijn:

\( – \frac{5}{4},\;\frac{5}{2},\;\frac{{25}}{4},10,\frac{{55}}{4},\ frac{{35}}{2},\frac{{85}}{4}\)

9. Een persoon gaf $ 2.000 als aanbetaling om een ​​koelkast te kopen en betaalde de rest met zijn creditcard gedurende 18 maanden zonder rente. Hij moet $ 550 per maand betalen om de schuld af te lossen, die hij heeft verworven om zijn koelkast te betalen.

naar. Wat zijn de kosten van de koelkast?

B. Als u de rest over 12 maanden zonder rente heeft betaald, hoeveel is dan de maandelijkse afbetaling?

Oplossing

naar. In dit geval:

\({a_{19}} = 2000 + 18\links( {550} \rechts)\)

\({a_{19}} = 2000 + 9900 = 11900\)

B. Tussen de getallen 2000 en 11900 moeten we 11 rekenkundige middelen vinden, waarvoor:

\(d = \frac{{11900 – 2000}}{{12}} = 825\)

5. Gegeven de reeks \(7,\;22,\;45,\;76,115,162\) vind je de volgende 3 elementen en de algemene uitdrukking van het element \(n\).

Oplossing

De betreffende rij is geen rekenkundige rij, want \(22 – 7 \ne 45 – 22\), maar we kunnen een reeks met de verschillen van twee opeenvolgende elementen en de volgende tabel toont de resultaten:

Elementen van de reeks \({b_n}\)	Volgorde \(\;{c_n} = {b_n} – {b_{n – 1}}\)	\(d = {c_{n + 1}} – {c_n}\)
\({b_1} = 7\)	\({c_1} = {b_1}\)
\({b_2} = 22\)	\({c_2} = {b_2} – {b_1} = 15\)	\({c_2} – {c_1} = 8\)
\({b_3} = 45\)	\({c_3} = {b_3} – {b_2} = \)23	\({c_3} – {c_2} = 8\)
\({b_4} = 76\)	\({c_4} = {b_4} – {b_3} = 31\)	\({c_4} – {c_3} = 8\)
\({b_5} = 115\)	\({c_5} = {b_5} – {b_4} = 39\)	\({c_5} – {c_4} = 8\)
\({b_6} = 162\)	\({c_6} = {b_6} – {b_5} = 47\)	\({c_6} – {c_5} = 8\)

De derde kolom van de bovenstaande tabel vertelt ons dat de reeks \(15,\;23,31,39,\;47, \ldots .\); is een rekenkundige reeks waarvan het verschil \(d = 8\) is.

Vervolgens schrijven we de elementen van de reeks \({b_n}\) in termen van de reeks \({c_n},\)

\({b_1} = {c_1}\)

\({b_2} = {c_1} + {c_2}\)

\({b_3} = {b_2} + {c_3} = {c_1} + {c_2} + {c_3}\)

\({b_4} = {b_3} + {c_4} = {c_1} + {c_2} + {c_3} + {c_4}\)

Over het algemeen heb je:

\({b_n} = {c_1} + {c_2} + {c_3} + \ldots + {c_n}\;\)

Bij het solliciteren

\({S_n} = \frac{{n\left( {2{c_1} + \left( {n – 1} \right) d} \right)}}{2}\)

Met \({c_1} = 7\) en \(d = 8,\) krijgen we:

\({b_n} = \frac{{n\left( {14 + \left( {n – 1} \right) 8} \right)}}{2}\)

\({b_n} = n\links( {7 + 4\links( {n – 1} \rechts)} \rechts)\)

\({b_n} = n\links( {4n + 3} \rechts)\)

Door de vorige formule toe te passen: \({b_7} = 217,\;{b_8} = 280,\;{b_9} = 351\)