Hoe wordt de stelling van Thales gedefinieerd?

Uit de stelling van Thales, gegeven verschillende evenwijdige lijnen, wordt gezegd dat de lijn \(T\) dwars op de evenwijdige lijnen staat als deze elk van de evenwijdige lijnen snijdt.

In figuur 1 staan ​​de lijnen \({T_1}\) en \({T_2}\) dwars op de evenwijdige lijnen \({L_1}\) en \({L_2}.\)

Stelling van Thales (zwakke versie)
Als meerdere parallellen congruente segmenten bepalen (die hetzelfde meten) in een van hun twee transversale lijnen, zullen ze ook congruente segmenten bepalen in de andere transversalen.

In figuur 2 lopen de zwarte lijnen evenwijdig en moet je:
\({A_1}{A_2} = {A_2}{A_3} = {A_3}{A_4}.\)
Wij kunnen het volgende verzekeren:
\({B_1}{B_2} = {B_2}{B_3} = {B_3}{B_4}.\)

Er wordt gezegd dat de wijze Thales van Miletus de hoogte van de Cheops-piramide heeft gemeten, hiervoor gebruikte hij schaduwen en de toepassing van driehoeksgelijkeniseigenschappen. De stelling van Thales is fundamenteel voor de ontwikkeling van het concept van gelijkvormigheid van driehoeken.

Verhoudingen en eigenschappen van verhoudingen

Eén verhouding is het quotiënt van twee getallen, met een andere deler dan nul; Het is te zeggen:

\(\frac{a}{b}\;{\rm{met\;}}b \ne 0\)

Een verhouding is de gelijkheid van twee verhoudingen, dat wil zeggen:

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k,\)

\(k\) wordt ook wel de evenredigheidsconstante genoemd.

Eigenschappen van verhoudingen

Als \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\) dan voor \(m \ne 0:\;\)

\(\frac{{ma}}{{mb}} = \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\)

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{{a + c}}{{b + d}} = \frac{{a – c}}{{b – d}} = k\)

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{f}{g} = \frac{{a + c + f}}{{b + d + g}} = k\)

\(\frac{{a \pm b}}{b} = \frac{{c \pm d}}{d}\)

voorbeelden

\(\frac{9}{{24}} = \frac{{15}}{{40}} = \frac{{9 + 15}}{{24 + 40}} = \frac{{24}} {{64}}\)

\(\frac{9}{{24}} = \frac{{15}}{{40}} = \frac{{15 – 9}}{{40 – 24}} = \frac{6}{{ 16}}\)

\(\frac{{9 + 24}}{{24}} = \frac{{15 + 40}}{{40}}\)\(\frac{{33}}{{24}} = \frac {{55}}{{40}}\)

Het paar segmenten \(\overline {AB} \) en \(\overline {CD} \) zouden evenredig zijn met de segmenten \(\overline {EF} \) en \(\overline {GH} \) als aan het aandeel is voldaan:

\(\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{EF}}{{GH}}\)

Waarbij \(AB\;\) de lengte van het segment aangeeft \(\overline {AB} .\)

De stelling van Thales

Terugkomend op de definitie, bepalen verschillende parallellen proportionele overeenkomstige segmenten in hun dwarslijnen.

In figuur 3 zijn de rechte lijnen evenwijdig en kunnen we zorgen voor:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\ (\frac{{{A_2}{A_3}}}{{{A_3}{A_4}}} = \frac{{{B_2}{B_3}}}{{{B_3}{B_4}}}\)\( \frac{{{A_2}{A_4}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_2}{B_4}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_3}{A_4}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_3}{B_4}}}\)\(\frac{{{A_1}{A_3}}}{{{A_1}{A_2}}} = \frac{{{B_1}{B_3}}}{{{B_1}{B_2}}}\)

Merk op dat de eerste twee voorgaande verhoudingen gelijk zijn aan de volgende verhoudingen:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}}\)\ (\frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}}\)Van hierboven we krijgen:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac {{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3} + {A_3}{A_4}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3} + {B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_4}}}{{{B_1}{B_4}}}\)

In veel gevallen is het beter om met de vorige verhoudingen te werken en in dit geval:

\(\frac{{{A_i}{A_j}}}{{{B_i}{B_j}}} = k\)

Converse van de stelling van Thales

Als meerdere lijnen proportionele corresponderende segmenten in hun dwarslijnen bepalen, dan zijn de lijnen evenwijdig

Als in figuur 4 is voldaan

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}}\)

Dan kunnen we bevestigen dat: \({L_1}\parallel {L_2}\parallel {L_3}.\)

De notatie \({L_1}\parallel {L_2}\), gelezen \({L_1}\) is parallel aan \({L_2}\).

Uit de vorige verhouding verkrijgen we:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac {{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_1}{A_3}}}{{{ B_1}{B_3}}}\)

Verdeling van een segment in verschillende delen van gelijke lengte

Aan de hand van een concreet voorbeeld zullen we illustreren hoe je een segment opdeelt in delen van gelijke lengte.

Verdeel het segment \(\overline {AB} \) in 7 segmenten van gelijke lengte

Aanvankelijke situatie

Teken een hulplijn die door een van de uiteinden van het lijnstuk gaat

Op de hulplijn worden met behulp van een kompas 7 segmenten van gelijke lengte getekend

Teken de lijn die de uiteinden van het laatst getekende segment verbindt met het andere uiteinde van het te verdelen segment

Ze worden evenwijdig getekend aan de laatst getekende lijn die door de punten gaat waar de bogen van de omtrek de hulplijn snijden.

Gegeven een segment \(\overline {AB} \), zou een punt \(P\) van het segment het segment \(\overline {AB} \) verdelen, in de verhouding \(\frac{{AP} } {{PB}}.\)

Verdeling van een segment in een bepaalde verhouding

Gegeven een segment \(\overline {AB} \), en twee positieve gehele getallen \(a, b\); het punt \(P\) dat het segment verdeelt in de verhouding \(\frac{a}{b};\;\) is als volgt te vinden:

1. Verdeel het segment \(\overline {AB} \) in \(a + b\) segmenten van gelijke lengte.
2. Neem \(a\) segmenten geteld vanaf punt \(A\).

voorbeelden

Deling van het lijnstuk \(\overline {AB} \) in de verhouding \(\frac{a}{b}\)

Reden	Aantal delen waarin het segment is verdeeld	Locatie van punt \(P\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{4}{3}\)	\(4 + 3 = 7\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = 6 = \frac{6}{1}\)	\(6 + 1 = 7\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{2}{3}\)	\(2 + 3 = 5\)
\(\frac{{AP}}{{PB}} = \frac{3}{2}\)	\(3 + 2 = 5\)

Toegepaste voorbeelden van de stelling van Thales

toepassing 1: Drie percelen strekken zich uit van Sol Street tot Luna Street, zoals weergegeven in figuur 5.

De zijgrenzen zijn segmenten loodrecht op Luna Street. Als de totale voorgevel van de kavels aan de Solstraat 120 meter bedraagt, bepaal dan de voorgevel van elke kavel aan die straat, als deze ook bekend is:

\({A_1}{A_2} = 10{\rm{m}},\;{A_2}{A_3} = 40{\rm{m}},\;{A_3}{A_4} = 20{\rm{ m}},\;{A_4}{A_5} = 30{\rm{m}}.\)

Probleemstelling

Aangezien de lijnen loodrecht op Luna Street staan, zijn ze evenwijdig aan elkaar, door de stelling van Thales toe te passen kunnen we bevestigen:

\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_2}{A_3}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_2}{B_3}}},\; \;\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_1}{A_4}}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_1}{B_4}}}\;,\;\;\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{A_1}{A_5}} } = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{B_1}{B_5}}}\)Van het bovenstaande We kunnen concluderen:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_1}{A_4}}}{{{B_1}{B_4}}} = \frac{{{A_1}{A_5}}}{{{B_1}{B_5}}}\;\)

Evenzo kunnen we concluderen:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_4}{A_5}}}{{{B_4}{B_5}}}\)

Oplossing

Om de evenredigheidsconstante \(k,\) te bepalen gebruiken we eigenschappen van verhoudingen:

\(k = \frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{{{A_2}{A_3}}}{{{B_2}{B_3}}} = \frac{{{A_3}{A_4}}}{{{B_3}{B_4}}} = \frac{{{A_4}{A_5}}}{{{B_4}{B_5}}} = \frac{{{A_1}{A_2} + {A_2}{A_3} + {A_3}{A_4} + {A_4}{A_5}}}{{{B_1}{B_2} + {B_2}{B_3} + { B_3}{B_4} + {B_4}{B_5}}} = \frac{{{A_1}{A_5}}}{{{B_1}{B_5}}} = \frac{{100}}{{120}} = \frac{5}{6}\)

Uit het bovenstaande krijgen we:
\(\frac{{{A_1}{A_2}}}{{{B_1}{B_2}}} = \frac{5}{6}\)\(\frac{{{B_1}{B_2}}}{ {{A_1}{A_2}}} = \frac{6}{5}\)\({B_1}{B_2} = \frac{6}{5}{A_1}{A_2} = \frac{6}{ 5}\links( {10} \rechts) = 12.\)

analoog:

\({B_2}{B_3} = \frac{6}{5}{A_2}{A_3} = \frac{6}{5}\left( {40} \right) = 48\)\({B_3} {B_4} = \frac{6}{5}{A_3}{A_4} = \frac{6}{5}\left( {20} \right) = 24\)\({B_4}{B_5} = \frac{6}{5}{A_4}{A_5} = \frac{6 }{5}\links( {30} \rechts) = 36\)

Antwoord

Segment	\({B_1}{B_2}\)	\({B_2}{B_3}\)	\({B_3}{B_4}\)	\({B_4}{B_5}\)
Lengte	12m	48m	24m	36m

toepassing 2: Een grafisch ontwerper heeft een plank ontworpen in de vorm van een parallellogram en gaat 3 planken plaatsen zoals afgebeeld in de Figuur 6, punten E en F zijn de middelpunten van de zijden \(\overline {AD} \) en \(\overline {BC} ,\) respectievelijk. Je moet sneden maken in de planken om de assemblages te kunnen maken. In welk deel van de planken moeten de sneden worden gemaakt?

Verklaring van het probleem: Vanwege de voorwaarden die in het probleem worden gegeven, is aan het volgende voldaan:

\(ED = EA = CF = BF\)

Als hulpconstructies verlengen we de zijden \(\overline {CB} \) en \(\overline {DA} \). Er wordt een lijn getrokken door punt A door \(A\) en evenwijdig aan de zijde \(\overline {EB} \) en door het punt \(C\;\) wordt een lijn getrokken evenwijdig aan de zijde \(\overline {DF} \).

We zullen de omgekeerde stelling van Thales gebruiken om aan te tonen dat de segmenten \(\overline {EB} \) en \(\overline {DF} \) evenwijdig zijn om de stelling van Thales toe te passen.

Oplossing

Door constructie is de vierhoek \(EAIB\) een parallellogram, dus we hebben dat EA=BI, omdat ze tegenoverliggende zijden van een parallellogram zijn. Nu:

\(\frac{{DE}}{{EA}} = \frac{{BF}}{{BI}} = 1\)

Als we de reciproque de reciproque van de stelling van Thales toepassen, kunnen we concluderen:

\(\overline {AI} \parallel \overline {EB} \parallel \overline {DF} \parallel \overline {JC} \)

De segmenten \(\overline {AI} \parallel \overline {EB} \parallel \overline {DF} \parallel \overline {JC} \) en de segmenten BC en CI als hun transversalen nemen; als:

\(FC = BF = BI\)\(CH = HG = GA\)

Als we \(\overline {AD} \parallel \overline {BC} \) en de segmenten \(\overline {AC} \) en \(\overline {EB} \) als hun transversalen nemen, hebben we:

\(\frac{{EG}}{{GB}} = \frac{{AG}}{{GC}} = \frac{{AG}}{{CH + HG}} = \frac{{AG}} {{2\left( {AG} \right)}} = \frac{1}{2}\)

Evenzo wordt aangetoond dat:

\(\frac{{DH}}{{HF}} = 2\)

Antwoorden

Diagonale sneden \(\overline {AC} \) moeten worden gemaakt op de punten \(G\;\) en \(H\), zodanig dat:

\(\frac{{AG}}{{AC}} = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{1}{3}\)

Hetzelfde geldt voor de planken \(\overline {EB} \) en \(\overline {DF} \).