Definitie van rationalisatie van radicalen (wiskunde)

De rationalisatie van radicalen is een wiskundig proces dat wordt uitgevoerd wanneer er een quotiënt is met radicalen of wortels in de noemer. Op deze manier kunnen wiskundige bewerkingen worden vergemakkelijkt waar het gaat om quotiënten met radicalen en andere soorten wiskundige objecten.

Soorten quotiënten met radicalen

Het is belangrijk om enkele soorten quotiënten met radicalen te noemen die kunnen worden gerationaliseerd. Voordat u echter volledig aan het stroomlijningsproces begint, moeten een aantal belangrijke concepten worden onthouden. Stel eerst dat we de volgende uitdrukking hebben: \(\sqrt[m]{n}\). Dit is de wortel \(m\) van het getal \(n\), dat wil zeggen, het resultaat van deze bewerking is een getal zodanig dat verheffen tot de macht \(m\) ons het getal \(n\) geeft als resultaat). De macht en de wortel zijn inverse bewerkingen, zodanig dat: \(\sqrt[m]{{{n^m}}} = n\).
Aan de andere kant is het vermeldenswaard dat het product van twee gelijke wortels gelijk is aan de wortel van het product, dat wil zeggen dat: \(\sqrt[m]{n}\sqrt[m]{p} = \sqrt[m ]{{np}}\). Deze twee eigenschappen zullen onze beste bondgenoten zijn bij het rationaliseren.

Het meest voorkomende en eenvoudige type quotiënt met een radicaal dat we kunnen vinden, is het volgende:

\(\frac{a}{{b\sqrt c }}\)

Waarbij \(a\), \(b\) en \(c\) alle reële getallen kunnen zijn. Het rationalisatieproces bestaat in dit geval uit het vinden van een manier om in het quotiënt de uitdrukking \(\sqrt {{c^2}} = c\) te verkrijgen om de wortel kwijt te raken. In dit geval is het voldoende om zowel de teller als de noemer met \(\sqrt c \) te vermenigvuldigen:

\(\frac{a}{{b\sqrt c }} = \frac{a}{{b\sqrt c }}\frac{{\sqrt c }}{{\sqrt c }} = \frac{{ a\sqrt c }}{{b\sqrt c \sqrt c }}\)

Als we ons herinneren wat hierboven is vermeld, weten we dat \(\sqrt c \sqrt c = \sqrt {{c^2}} = c\). Daarom krijgen we uiteindelijk dat:
\(\frac{a}{{b\sqrt c }} = \frac{a}{{bc}}\sqrt c \)

Op deze manier hebben we de vorige uitdrukking gerationaliseerd. Deze uitdrukking is niets meer dan een specifiek geval van een algemene uitdrukking die het volgende is:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}}\)

Waar \(a\), \(b\), \(c\) alle reële getallen zijn en \(n\), \(m\) positieve machten zijn. De rationalisatie van deze uitdrukking is gebaseerd op hetzelfde principe als de vorige, dat wil zeggen, verkrijg de uitdrukking \(\sqrt[n]{{{c^n}}} = c\) in de noemer. We kunnen dit bereiken door zowel de teller als de noemer met \(\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}\) te vermenigvuldigen:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}} = \frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}} }\frac{{\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}{{\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}} = \frac{{a\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}}}}\)

We kunnen het product van radicalen in de noemer als volgt ontwikkelen: \(\sqrt[n]{{{c^m}}}\sqrt[n]{{{c^{n – m}}}} = \sqrt[n]{{{c^m}{c^ {n – m}}}} = \sqrt[n]{{{c^{m + \left( {n – m} \right)}}}} = \sqrt[n]{{{c^n}}} = c\). Daarom blijft het gerationaliseerde quotiënt als:

\(\frac{a}{{b\sqrt[n]{{{c^m}}}}} = \frac{a}{{bc}}\sqrt[n]{{{c^{n – M}}}}\)

Een ander type quotiënt met radicalen dat kan worden gerationaliseerd, is het quotiënt waarin we een binominale formule hebben met vierkantswortels in de noemer:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }}\)

Waarbij \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) en \(e\;\) alle reële getallen zijn. Het symbool \( ± \) geeft aan dat het teken positief of negatief kan zijn. De binominale noemer kan beide wortels hebben of slechts één, maar we gebruiken dit geval om een ​​meer algemeen resultaat te verkrijgen. Het centrale idee om het rationalisatieproces in dit geval uit te voeren is hetzelfde als in de voorgaande gevallen, alleen dat in dit geval zullen we zowel de teller als de noemer vermenigvuldigen met de conjugaat van de binomiaal gevonden in de noemer. De conjugaat van een binominale is een binominale die dezelfde termen heeft, maar waarvan het centrale symbool tegengesteld is aan de originele binominale. De conjugaat van de binominale \(ux + vy\) is bijvoorbeeld \(ux – vy\). Dat gezegd hebbende, hebben we dan:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }}\frac{{b\sqrt c \ mp d\sqrt e }}{{b\sqrt c \mp d\sqrt e }} = \frac{{a\left( {b\sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}{{\left( {b\sqrt c \pm d\sqrt e } \right)\left( {b \sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}\)

Het symbool \( \mp \) geeft aan dat het teken positief of negatief kan zijn, maar het moet tegengesteld zijn aan het symbool van de noemer om de binomials te vervoegen. Door de vermenigvuldiging van binomials van de noemer te ontwikkelen, verkrijgen we dat:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{{a\left( {b\sqrt c \mp d\sqrt e } \right)}}{{{ b^2}\sqrt {{c^2}} + bd\sqrt {ce} – bd\sqrt {ce} – {d^2}\sqrt {{e^2}} }}\)

Eindelijk krijgen we dat:

\(\frac{a}{{b\sqrt c \pm d\sqrt e }} = \frac{a}{{{b^2}c – {d^2}e}}\left( {b\ sqrt c \mp d\sqrt e } \right)\)

Hiermee hebben we het quotiënt gerationaliseerd met radicaal. Deze quotiënten met radicalen zijn degenen die over het algemeen kunnen worden gerationaliseerd. Vervolgens zullen we enkele voorbeelden zien van rationalisatie van radicalen.

voorbeelden

Laten we eens kijken naar enkele voorbeelden van rationalisatie met quotiënten met radicalen van het hierboven genoemde type. Stel eerst dat we het volgende quotiënt hebben:

\(\frac{3}{{7\sqrt 2 }}\)

In dit geval is het voldoende om de teller en de noemer te vermenigvuldigen met \(\sqrt 2 \)

\(\frac{3}{{7\sqrt 2 }} = \frac{3}{{7\sqrt 2 }}\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = \frac{3 }{{7\sqrt 2 \sqrt 2 }}\sqrt 2 = \frac{3}{{7\sqrt 4 }}\sqrt 2 = \frac{3}{{14}}\sqrt 2 \)

Stel nu dat we het volgende quotiënt hebben met radicaal:

\(\frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}}}\)

In dit geval hebben we een zesde wortel van een derde macht. In de vorige sectie hebben we vermeld dat als we een wortel hebben van de vorm \(\sqrt[n]{{{c^m}}}\) in de noemer, kunnen we het quotiënt rationaliseren door de teller en noemer te vermenigvuldigen met \(\sqrt[n]{{{c^{n -M}}}}\). Als we dit vergelijken met het hier gepresenteerde geval, kunnen we ons realiseren dat \(n = 6\), \(c = 4\) en \(m = 3\), dus Daarom kunnen we het vorige quotiënt rationaliseren door de teller en de noemer te vermenigvuldigen met \(\sqrt[6]{{{4^3}}}\):

\(\frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}}} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}} }\frac{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}}{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^3}}}\sqrt[6]{{{4^3}}}}}\sqrt[6]{{{4^3} }} = \frac{2}{{3\sqrt[6]{{{4^6}}}}}\sqrt[6]{{{4^3}}} = \frac{{\sqrt[6]{{{4^3}}}}}{6}\)

Stel tenslotte dat we de volgende functie hebben:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }}\)

Zoals in de vorige sectie is aangetoond, moet je om dit type quotiënt met radicalen te rationaliseren, de teller en de noemer vermenigvuldigen met de conjugaat van de noemer. In dit geval zou de conjugaat van de noemer \(x – \sqrt x \) zijn. Daarom zou de uitdrukking als volgt zijn:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }}\frac{{x – \sqrt x }}{{x – \sqrt x }} = \frac{1}{{\left( {x + \sqrt x } \right)\left( {x – \sqrt x } \right)}}\left( {x – \sqrt x } \right)\)

Als we de vermenigvuldiging van geconjugeerde binomials van de noemer ontwikkelen, krijgen we uiteindelijk dat:

\(\frac{1}{{x + \sqrt x }} = \frac{{x – \sqrt x }}{{{x^2} – x}}\)

Referenties

Aguilar Arturo, Bravo Fabián, Gallegos Herman, Cerón Miguel & Reyes Ricardo. (2009). Rekenkundig. Mexico: Pearson Onderwijs.