Voorbeeld van volledige ruimte

Wiskundige analyse is de tak van de wiskundige wetenschappen die zich bezighoudt met de studie van volledige ruimte, wat een soort metrische ruimte is.

Een metrische ruimte bestaat uit paren punten en een functie van de afstand daartussen; in deze ruimtes is het mogelijk een Cauchy-reeks te definiëren die wordt gevormd door steeds kleinere afstanden tussen deze twee punten. Als het in de metrische ruimte niet meer mogelijk is om een ​​kleinere afstand in de rij te vinden, dan hebben we a volledige ruimte. Gesloten numerieke sets, dat wil zeggen die waarin een limiet is, zijn volledige spaties.

Voorbeeld van volledige ruimte:

De verzameling natuurlijke getallen, inclusief 0, is een volledige spatie, aangezien deze verzameling aan het einde van 0 is gesloten. De weergave van deze getallenreeks is nee= [0, 1, 2,… n}.

Laten we twee willekeurige punten nemen tussen twee elementen van deze verzameling, bijvoorbeeld 4 en 8, weergegeven op de volgende manier p = (4, 8), de afstandsfunctie tussen twee punten is gelijk aan 4, de Cauchy-reeks wordt gegeven door de reeks {4, 3, 2, 1, 0} die convergeert op 0.

Een ander voorbeeld is de verzameling positieve reële getallen gevormd met {0} die wordt weergegeven als EN⁺= [0, 1, 2, 3, 4,…. nee}, aangezien gegeven twee punten in deze ruimte de Cauchy-reeks zal convergeren wanneer de afstand 0. is

De verzameling rationale getallen is geen volledige spatie, aangezien de afstand 0 (het getal 0 als een getal niet) bestaat in deze set) waardoor de Cauchy-reeks op geen enkel punt in deze reeks convergeert instellen.

Elk gesloten interval van de natuurlijke getallen is een volledige spatie.