Definisjon av ikke-euklidisk geometri

I utgangspunktet er ikke-euklidiske geometrier de som oppstår fra avhør av den såkalte Euklids femte postulat, derfor er en generell karakterisering av arbeidet til Euklid viktig, som var en gresk matematiker og geometer, hvis arbeid er paradigmatisk for Geometri, for å regnes som en av grunnleggerne. Det er kjent med sikkerhet sikkerhet som bodde i byen Alexandria, et kulturelt fokus i antikken, rundt år 300 f.Kr. c.

Hans jobb Elementer den begynner med en serie "prinsipper", som består av en liste med 23 definisjoner; etterfulgt av 5 postulater, med henvisning til tall spesielt geometrisk; og 5 generelle aksiomer, felles for andre matematiske disipliner. Deretter, etter prinsippene, introduserer Euklid "proposisjonene", av to typer: problemer, referert til

bygning av figurer med regel og kompass; og teoremer, som refererer til demonstrasjonen av egenskapene som noen geometriske figurer.

Euklids femte postulat

Han uttaler at "Hvis en rett linje som faller på to andre rette linjer gjør de indre vinklene på samme side mindre enn to rette linjer, så, hvis de to linjene forlenges i det uendelige, møtes de på siden der vinklene er mindre enn to rett”. Hvis vinklene var rette, ville slike linjer, i henhold til definisjon nr. 23, vært parallelle ("Parallelle linjer er linjer som, hvis de er i samme plan og forlenges i det uendelige, ikke møtes i noen retning.”).

Dette postulatet, mer komplekst enn de forrige, var ikke i seg selv uomtvistelig: det var ikke åpenbart at forlenget linjer på ubestemt tid, ville de krysse hverandre på siden der vinklene var mindre enn to rette vinkler, siden det ikke ville være mulig å bevise det ved bygning. Da ble muligheten for at linjene nærmet seg hverandre i det uendelige uten å krysse hverandre, stående åpen.

Forsøk på å bevise det femte postulatet

Det er av denne grunn at det fra antikken til midten av 1800-tallet var en rekke mislykkede forsøk på å bevise det femte postulatet: et bevis ble alltid oppnådd; men introduserer et annet tilleggspostulat (logisk ekvivalent med det femte), forskjellig fra Euklids. Det vil si at det femte postulatet ikke kunne bevises, men ble erstattet av et tilsvarende.

Et eksempel på dette er postulatet til John Playfair (s. XVIII): "Et enkelt punkt parallelt med den linjen går gjennom et punkt utenfor en linje som er i samme plan." (kjent som "parallell postulat”). Ikke-euklidiske geometrier oppstår nettopp fra de mislykkede forsøkene på å bevise det femte postulatet til det euklidiske systemet.

Saccheris absurditetstest

I 1733 forsøkte den italienske matematikeren Girolamo Saccheri å bevise absurditeten i Euklids femte postulat. For å gjøre dette bygde han en firkant (kjent som "Saccheris firkant”, der ett par vinkler er rette vinkler) og uttalte at det femte postulatet er ekvivalent med påstanden om at karakteristiske vinkler (de som er motsatt av paret med rette vinkler) av den firkanten er også rette vinkler. så er det tre hypotese mulig, gjensidig utelukkende: at de to karakteristiske vinklene er rette, spisse eller stumpe. For å bevise det femte postulatet med det absurde, var det nødvendig å bevise (uten å ty til det femte postulerte) at hypotesene om den stumpe og spisse vinkelen innebar selvmotsigelse og derfor var falsk.

Saccheri klarte å bevise at den stumpe vinkelhypotesen er motstridende, men han lyktes ikke i tilfellet med den spisse vinkelen. Tvert imot, han utledet en rekke teoremer i samsvar med og uforenlig med euklidisk geometri. Til slutt konkluderte han med at, gitt disse teoremenes merkelighet, må hypotesen være feil. Følgelig mente han at han hadde bevist at det femte postulatet var absurd; Det han gjorde var imidlertid utilsiktet bevise et viktig sett med teoremer av ikke-euklidisk geometri.

Den "samtidige" oppdagelsen av ikke-euklidiske geometrier

Carl F. Gauss, på det nittende århundre, var den første som mistenkte at det femte postulatet ikke kunne bevises fra de andre fire (det vil si at det var uavhengig) og ved å tenke på muligheten for en ikke-euklidisk geometri som var basert på de fire euklidiske postulatene og på negasjonen av femte. Han publiserte aldri oppdagelsen sin: dette regnes som et tilfelle av samtidig oppdagelse, fordi han hadde tre uavhengige referenter (Gauss selv, János Bolyai og Nikolai Lobachevsky).

Fornektelsen til femte lov of Euclidian innebærer to muligheter (som tar opp den tilsvarende formuleringen av Playfair): gjennom et punkt utenfor en rett linje, enten ingen parallelle pasninger, eller mer enn én parallell pasning. Blant de ikke-euklidiske geometriene finner vi for eksempel geometrien "innbilt" av Lobatsjovsky, - senere kjent som "hyperbolsk"- i følge, "Gitt et ytre punkt til en linje, går uendelige kryssende linjer, uendelige ikke-skjærende linjer og bare to parallelle linjer gjennom det punktet.”, i motsetning til den unike euklidiske parallellen; eller Bernhard Riemanns elliptiske geometri, som sier at "Gjennom et punkt utenfor en linje går ingen parallell til den linjen.”.

Anvendelser og implikasjoner av oppdagelsen

Foreløpig er det kjent at i lokalt rom gir begge geometriene omtrentlige resultater. Forskjellene vises når det fysiske rommet er beskrevet av en eller annen geometri, tatt i betraktning store avstander. Selv om vi fortsetter å bruke euklidisk geometri, siden det er den som enklest beskriver rommet vårt på lokal skala, er oppdagelsen av ikke-euklidiske geometrier var avgjørende i den grad det innebar en radikal transformasjon av forståelsen av sannheter vitenskapelig.

Inntil da ble euklidisk geometri antatt å virkelig beskrive rommet. Når man beviste muligheten for å beskrive det gjennom en annen geometri, med andre postulater, var det nødvendig å revurdere kriteriene som det var mulig å anta etter en eller annen forklaring som "ekte”.

Bibliografi

MARTINEZ LORCA, A. (1980) "Sokrates etikk og deres innflytelse på trodde Occidental", i Revista Baética: Estudios de Arte, Geografi and History, 3, 317-334. Universitetet i Malaga.

Emner i ikke-euklidisk geometri