Hva er Maxwells ligninger, og hvordan defineres de?

Angel Zamora Ramirez | jul. 2022
Grad i fysikk

Før disse ligningene ble det sagt at de elektriske og magnetiske kreftene var "krefter på avstand", ingen fysiske midler var kjent ved hjelp av hvilken denne typen interaksjon ville skje. Etter mange års forskning på elektrisitet Y magnetismeMichael Faraday mente at det måtte være noe fysisk i rommet mellom ladningene og de elektriske strømmene som ville tillate dem å samhandle med hverandre og manifestere alle elektriske og magnetiske fenomener som var kjent, han omtalte først disse som "kraftlinjer", noe som førte til ideen om eksistensen av et elektromagnetisk felt.

Med utgangspunkt i Faradays idé utvikler James Clerk Maxwell en feltteori representert ved fire partielle differensialligninger. Maxwell omtalte dette som "elektromagnetisk teori" og var den første som inkorporerte denne typen matematisk språk i en fysisk teori. Maxwells ligninger i deres differensialform for vakuum (det vil si i fravær av dielektriske og/eller polariserbare materialer) er som følger:

\(\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho }{{{\epsilon }_{0}}}\)
\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)
\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)
\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}\vec{J}+{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac {\partial \vec{E}}{\partial t}\)
Maxwells ligninger for vakuumet i sin differensialform

Der \(\vec{E}~\)er det elektriske feltet, \(\vec{B}~\)er det magnetiske feltet, \(\rho ~\)er tettheten til elektrisk ladning, \(\vec{J}~~\)er en vektor knyttet til en elektrisk strøm, \({{\epsilon }_{0}}~\)er den elektriske permittiviteten til et vakuum og \({{\mu }_{0}}}~~\)er den magnetiske permeabiliteten til et vakuum. Hver av disse ligningene tilsvarer a lov av elektromagnetisme og har en betydning. Jeg vil kort forklare hver av dem nedenfor.

Gauss lov

\(\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho }{{{\epsilon }_{0}}}\)
Gauss lov for det elektriske feltet

Det denne første ligningen forteller oss er at de elektriske ladningene er kildene til det elektriske feltet, dette elektriske feltet "divergerer" direkte fra ladningene. Videre er retningen til det elektriske feltet diktert av tegnet på den elektriske ladningen som produserer det, og hvor nære feltlinjene er indikerer størrelsen på selve feltet. Bildet nedenfor oppsummerer litt det som nettopp er nevnt.

Illustrasjon 1. Fra Studiowork.- Diagram over de elektriske feltene generert av to punktladninger, en positiv og en negativ.

Denne loven skylder navnet sitt til matematikeren Johann Carl Friedrich Gauss som formulerte den basert på hans divergensteorem.

Gauss lov for magnetfeltet

\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)

Gauss lov for magnetfeltet

Denne loven har ikke et spesifikt navn, men den kalles det på grunn av dens likhet med den forrige ligningen. Betydningen av dette uttrykket er at det ikke er noen "magnetisk ladning" analog med "elektrisk ladning", det vil si at det ikke er noen magnetiske monopoler som er kilden til magnetfeltet. Dette er grunnen til at hvis vi bryter en magnet i to vil vi fortsatt ha to like magneter, både med en nordpol og en sørpol.

Faradays lov

\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)
Faradays lov om induksjon

Dette er den berømte induksjonsloven formulert av Faraday da han i 1831 oppdaget at skiftende magnetiske felt var i stand til å indusere elektriske strømmer. Hva denne ligningen betyr er at et magnetfelt som endrer seg med tiden er i stand til å indusere rundt det et elektrisk felt, som igjen kan få elektriske ladninger til å bevege seg og skape en strøm. Selv om dette kan høres veldig abstrakt ut til å begynne med, ligger Faradays lov bak funksjonene til motorer, elektriske gitarer og induksjonstopper.

Ampère–Maxwell-loven

\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}\vec{J}+{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac {\partial \vec{E}}{\partial t}\)

Det første denne ligningen forteller oss er at elektriske strømmer genererer magnetiske felt rundt strømmens retning og at størrelsen på det genererte magnetfeltet avhenger av størrelsen på dette, dette var det Oersted observerte og som senere Ampère var i stand til å formulere. Det er imidlertid noe merkelig bak denne ligningen, og det er det andre leddet på siden lov av ligningen ble introdusert av Maxwell fordi dette uttrykket opprinnelig var inkonsekvent spesielt med de andre førte det til brudd på loven om bevaring av elektrisk ladning. For å unngå dette introduserte Maxwell ganske enkelt dette andre begrepet slik at hele teorien hans skulle være konsistent, dette begrepet fikk navnet "forskyvningsstrøm", og på det tidspunktet var det ingen eksperimentelle bevis for å støtte det. vil sikkerhetskopiere

Illustrasjon 2. De Rumruay.- En elektrisk strøm som flyter gjennom en kabel genererer et magnetisk felt rundt den i henhold til Ampères lov.

Betydningen av forskyvningsstrømmen er det på samme måte som et magnetfelt variabel induserer et elektrisk felt, et elektrisk felt som endres med tiden er i stand til å generere et felt magnetisk. Den første eksperimentelle bekreftelsen av forskyvningsstrømmen var demonstrasjonen av eksistensen av elektromagnetiske bølger av Heinrich Hertz i 1887, mer enn 20 år etter publiseringen av teorien om Maxwell. Imidlertid ble den første direkte målingen av forskyvningsstrøm gjort av M. R. Van Cauwenberghe i 1929.

lys er en elektromagnetisk bølge

En av de første oppsiktsvekkende spådommene laget av Maxwells ligninger er eksistensen av elektromagnetiske bølger, men ikke bare det, de avslørte også at lys måtte være en bølge av dette Type. For å se dette litt vil vi leke med Maxwells ligninger, men før det, her er formen til enhver bølgeligning:

\({{\nabla }^{2}}u=\frac{1}{{{v}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}u}{\partial {{ t}^{2}}}\)
Generell form for en bølgeligning i tre dimensjoner.

Der \({{\nabla }^{2}}\) er den Laplacian-operatoren, \(u\) er en bølgefunksjon, og \(v\) er hastigheten til bølgen. Vi vil også jobbe med Maxwells ligninger i tomt rom, det vil si i fravær av elektriske ladninger og elektriske strømmer, kun elektriske og magnetiske felt:

\(\nabla \cdot \vec{E}=0\)

\(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)

\(\nabla \cdot \vec{B}=0\)

\(\nabla \times \vec{B}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\)

Og vi vil også bruke følgende identitet vektorberegning:

\(\nabla \times \left( \nabla \times \vec{A} \right)=\nabla \left( \nabla \cdot \vec{A} \right)-{{\nabla }^{2}} \time{A}\)

Hvis vi bruker denne identiteten på elektriske og magnetiske felt ved å bruke Maxwells ligninger for tomt rom ovenfor, får vi følgende resultater:

\({{\nabla }^{2}}\vec{E}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{{{\partial }^{2} }\vec{E}}{\partial {{t}^{2}}}\)

\({{\nabla }^{2}}\vec{B}={{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\frac{{{\partial }^{2} }\vec{B}}{\partial {{t}^{2}}}\)

Legg merke til likheten mellom disse ligningene med bølgeligningen ovenfor, i konklusjon, elektriske og magnetiske felt kan oppføre seg som bølger (elektromagnetiske bølger). Hvis vi definerer hastigheten til disse bølgene som \(c\) og sammenligner disse ligningene med bølgeligningen ovenfor, kan vi si at hastigheten er:

\(c=\frac{1}{\sqrt{{{\mu }_{0}}{{\epsilon }_{0}}}}\)

\({{\mu }_{0}}\) og \({{\epsilon }_{0}}\) er henholdsvis den magnetiske permeabiliteten og den elektriske permittiviteten til vakuum, og begge er konstanter universaler hvis verdier er \({{\mu }_{0}}=4\pi \times {{10}^{-7}}~~T\cdot m/A\) og \({{\ epsilon } 0}}=8,8542\ ganger {{10}^{-12}}~{{C}^{2}}/N\cdot m~\), erstatte disse verdiene, har vi at verdien av \(c\) er \(c=299,792,458\frac{m}{s}\ca. 300.000~km/s\) som er nøyaktig hastigheten til lys.

Med denne lille analysen kan vi få tre svært viktige konklusjoner:

1) Elektriske og magnetiske felt kan oppføre seg som bølger, det vil si at det er elektromagnetiske bølger som også er i stand til å forplante seg gjennom et vakuum.

2) Lys er en elektromagnetisk bølge hvis hastighet avhenger av den magnetiske permeabiliteten og permittiviteten av mediet som det forplanter seg gjennom, i tomt rom har lys en hastighet på ca 300 000 km/s.

3) Siden den magnetiske permeabiliteten og den elektriske permittiviteten er universelle konstanter, vil den Lysets hastighet er også en universell konstant, men dette innebærer også at verdien ikke avhenger av rammeverk som det måles fra.

Denne siste uttalelsen var høyst kontroversiell på den tiden Hvordan er det mulig at hastigheten på lyset er det samme uavhengig av bevegelsen til den som måler det og bevegelsen til lyskilden. lys? Hastigheten til noe må være relativ, ikke sant? Vel, dette var et vannskille for datidens fysikk, og dette enkle, men dype faktum førte til utviklingen av Theory of Special Relativity av Albert Einstein i 1905.