Hva er hierarkiet for operasjoner?

Hierarkiet av operasjoner er en matematisk konvensjon som fastsetter rekkefølgen som kombinerte beregningshandlinger skal utføres i den samme matematiske setningen, det vil si når det er en matematisk setning der det er matematiske operasjoner (addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon, potenser og røtter) kombinert, må disse gjøres i en bestemt rekkefølge for å komme frem til et resultat felles.

Men hvorfor trengs et hierarki? For å svare på det, må vi først forstå naturen til matematiske operasjoner, som består av en transformasjon som brukes på elementene i et sett. La oss for eksempel tenke på settet med reelle tall, det vil si de tallene vi alle kjenner. Hvis vi tar et tall a og legger det til et annet tall b, får vi et annet tall c som tilhører det samme settet med reelle tall, det vil si:

a+b = c

I tillegg påvirker ikke rekkefølgen tilleggene presenteres det endelige resultatet, det vil si a+b = b+a, kalles denne egenskapen kommutativitet. Det er viktig å snakke om tillegg fordi det er den grunnleggende operasjonen som alle de andre er avledet fra. En multiplikasjon er ikke noe mer enn en serie med gjentatte addisjoner. Hvis vi har et tall a igjen og vi ganger det med et tall b, er det vi gjør noen ganger å legge til tallet b med seg selv, eller alternativt legge til b ganger tallet a med seg selv. Det siste er slik siden multiplikasjon er kommutativ som addisjon, betyr dette at:

a⋅b = b⋅a. Det nevnte kan uttrykkes som:

Vi kan enkelt visualisere dette med et eksempel. La oss gjøre 5×2 multiplikasjon:

5×2 = 2×5 = 2+2+2+2+2 = 5+5 = 10

Nå, hva om vi må utføre en operasjon der vi har kombinert addisjon med multiplikasjon? For eksempel: a⋅b+c. Hva er rekkefølgen addisjon og multiplikasjon skal utføres i? Hvilken operasjon må vi foretrekke? Hvis vi utfører multiplikasjonen først og utvikler den som en sum, ville vi ha:

Nå, hvis vi utførte addisjonen først og deretter multiplikasjonen, ville vi fått:

Siden addisjon er kommutativ, kan vi omgruppere høyre side av ligningen for å få:

Ved å sammenligne resultatene oppnådd i begge situasjoner er det lett å innse at:

Vi konkluderer da med at rekkefølgen det besluttes å utføre operasjonene i påvirker det oppnådde resultatet. Det samme skjer når vi involverer makter. Når vi hever et tall b til en potens c, er det vi gjør å multiplisere c ganger tallet b med seg selv, det vil si:

Vi fortsetter nå med å utføre følgende kombinerte operasjon som involverer multiplikasjon og potens a⋅b^c i en annen rekkefølge som vi gjorde i forrige tilfelle. Hvis vi først prioriterer makt, har vi:

Nå, hvis vi utfører multiplikasjonen først og deretter potensen, ville vi ha:

Ved å dra nytte av kommutativiteten til multiplikasjon kan vi omgruppere høyre side av ligningen som:

Igjen kan vi sammenligne resultatene oppnådd ved å utføre operasjonene i en annen rekkefølge for å innse at:

Også i dette tilfellet påvirker rekkefølgen operasjonene utføres det oppnådde resultatet. Så, hva er rekkefølgen operasjonene må utføres i? Operasjonshierarkiet fastslår at potenser er på et høyere hierarkinivå enn multiplikasjoner, på en slik måte at potenser har forrang i en matematisk utsagn. I sin tur har multiplikasjoner et høyere hierarkinivå enn addisjoner.

Men hva med subtraksjon, divisjon og røtter? Subtraksjon er den motsatte operasjonen av addisjon, når vi trekker et tall b fra et tall a får vi et annet tall c slik at c+b=a. Noe lignende skjer med divisjon og subtraksjon. Hvis vi deler et tall a med et tall b og får et tall c som et resultat, har vi funnet et tall slik at b⋅c=a. Og til slutt, ved å beregne roten b av et tall a finner vi et tall c slik at c^b=a. Disse ekvivalensene setter subtraksjon, divisjon og rot på samme hierarkinivå som henholdsvis addisjon, multiplikasjon og potens.

Praksis for parenteser og parenteser

Nå, hva skjer hvis vi ønsker å prioritere noen operasjoner i en matematisk utsagn uavhengig av deres hierarkinivå? For å gjøre dette brukes parenteser og firkantede parenteser. Anta at vi har uttalelsen av prinsippet a⋅b+c. Med det vi har sagt før vet vi allerede at vi må utføre multiplikasjonen først og deretter addisjonen. Men hva om vi ønsket at dette ikke skulle være tilfelle? For å gjøre dette må vi bruke parenteser eller firkantede parenteser for å skille addisjonen fra multiplikasjonen og dermed prioritere å beregne addisjonen først, det vil si: a⋅(b+c). Dette fører til at utsagn atskilt med parenteser og hakeparenteser har høyeste prioritet over alle andre operasjoner.

Med alt nevnt ovenfor, er hierarkiet av operasjoner, eller rekkefølgen de må utføres i, som følger:

1) Parenteser og parenteser
2) Krafter og røtter
3) Multiplikasjoner og divisjoner
4) Addisjon og subtraksjon

Referanser

h. Behnke, F. Bachman, K. Fladt, W. Suss, H. Gerike, F. Hohenberg, G. Pickert, H. Rau & S. h. Gould. (1983). Grunnleggende om matematikk: bind I. Cambridge, Massachusetts og London: The MIT Press.