Kvadratisk funksjonsdefinisjon

En kvadratisk funksjon av en reell variabel hvis form er uttrykt.

\(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\)

Der variabelen er \(x\), er \(a, b\) og c reelle konstanter, kalt koeffisienter for den kvadratiske funksjonen med \(a \ne 0.\)

Tabellen viser generelle eksempler på kvadratiske funksjoner og situasjonen de kan modellere, for senere å illustrere deres direkte anvendelse fra virkelige problemer.

Kvadratisk funksjon	Situasjon du kan modellere
\(f\left( x \right) = {x^2}\)	Variabelen \(y\) er arealet av et kvadrat hvis side måler \(x\).
\(f\left( x \right) = \pi {x^2}\)	Variabelen \(y\) er arealet av en sirkel hvis radius er \(x\).
\(f\left( x \right) = 100 – 4,9{x^2}\)	Variabelen \(y\) er høyden til et objekt som ble sluppet i en høyde på 100 og \(x\) er medgått tid.
\(f\left( x \right) = 60\left( {{\bf{sin}}45^\circ } \right) x – 4,9{x^2}\)	Variabelen \(y\) er høyden på en kanonkule kastet i en vinkel på 45° med en hastighet på 60 m/s og \(x\) er medgått tid.

Den generelle formelen og den kvadratiske funksjonen

Hvis for \(x = \alpha \) den andregradsfunksjonen er null, så er tallet \(\alpha \) kalles roten til den andregradsfunksjonen, ja, \(\alpha \) er løsningen av den andregradsligningen

\(a{x^2} + bx + c = 0\)

Den generelle formelen for å løse andregradsligninger har vi at røttene til en kvadratisk funksjon er:

\(\alpha = \frac{{ – b + \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}},\;\;\beta = \frac{{ – b – \sqrt {{b ^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

Fra ovenstående etableres følgende forhold mellom røttene og koeffisientene til den kvadratiske funksjonen:

\(\alpha + \beta = – \frac{b}{a},\;\;\alpha \beta = \frac{c}{a}\)

Gjennom bemerkelsesverdige produkter etableres følgende identitet:

\(a{x^2} + bx + c = a\left( {x – \alpha } \right)\left( {x – \beta } \right)\)

På en lignende måte som den som er etablert i den generelle formelen, er det fastslått at den kvadratiske funksjonen kan uttrykkes i formen:

\(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\)

Med \(h = – \frac{b}{{2a}}\) og \(k = – \frac{{{b^2} – 4ac}}{a}\)

Ved å løse ligningen:

\(a{\venstre( {x – h} \høyre)^2} + k = 0\)

Er oppnådd:

\(\left| {x – h} \right| = \sqrt { – \frac{k}{a}} \)

\(x = h \pm \sqrt { – \frac{k}{a}} \)

Fra ovenstående kan det konkluderes at \(f\venstre( x \høyre) = a{\venstre( {x – h} \høyre)^2} + k\), bare hvis konstantene \(k\) og \(a\) er av motsatte fortegn, denne kvadratiske funksjonen har reelle røtter, som er: \(h + \sqrt { – \frac{k}{a}} ,\;\;h – \sqrt { – \frac{k}{a} } \).

Hvis konstantene \(k\) og \(a\) har samme fortegn, har den kvadratiske funksjonen ingen reelle røtter.

Når \(k = 0,\;\;\) har den kvadratiske funksjonen bare én rot.

Eksempler brukt på det virkelige liv

Brukseksempel 1: Økonomi

En skole ønsker å organisere en fotballturnering der hvert lag spiller mot hvert av de andre lagene bare én gang. Det er et budsjett på $15 600 for kostnadene for voldgift, hvis kostnadene for voldgift er $200 per spill. Hvor mange lag kan melde seg på til turneringen?

Problemstilling: Vi må finne en funksjon som beregner antall treff når vi har \(n\) lag for å telle dem vil vi anta at lag 1 spiller først med alle de andre, det vil si \(n – 1\) fyrstikker. Lag 2 vil nå spille med resten, det vil si med \(n – 2\), siden de allerede vil ha spilt med lag 1. Lag 3 vil allerede ha spilt med lag 1 og 2, så de må spille med n-3 lag.

Med begrunnelsen ovenfor kommer vi til:

\(f\venstre( n \høyre) = n – 1 + n – 2 + \ldots + 2 + 1\)

\(f\left( n \right) = \frac{{n\left( {n – 1} \right)}}{2}\)

Kostnadsfunksjonen er:

\(C\venstre( n \høyre) = 200f\venstre( n \høyre) = 100n\venstre( {n – 1} \høyre)\)

Med et budsjett på $15 600, har vi ligningen:

\(100n\venstre( {n – 1} \høyre) = 15600\)

løsning av ligningen

\(100n\venstre( {n – 1} \right) = 15600\) Utgangssituasjon
\(n\venstre( {n – 1} \right) = 156\) Del hver side av ligningen med 100
\({n^2} – n – 156 = \) Legg til \( – 156\) på hver side av ligningen
\(\left( {n – 13} \right)\left( {n + 12} \right) = 0\) Vi har \(\left( { – 13} \right)\left( {12} \right ) = – 156\) og \( – 13 + 12 = – 1\)
Det ble faktorisert.
Løsninger av ligningen \(n = – 12,\;13\)
Svar: Budsjettet er nok til at 13 lag kan melde seg på.

Brukseksempel 2: Økonomi

Et transportbussselskap i storbyen har observert at hver av bussene deres på en åtte timers dag frakter i gjennomsnitt tusen passasjerer. For å være i stand til å gi arbeiderne en høyning, må du øke prisen, som for øyeblikket er $5; En økonom beregner at for hver peso som prisen øker, vil hver lastebil i gjennomsnitt miste 40 passasjerer hver dag. Selskapet har beregnet at for å dekke lønnsøkningen må det skaffes ytterligere $760 per lastebil hver dag. Hvor mye må prisen øke?

Forklaring av problemet: La \(x\) være mengden pesos som billetten vil stige i, som \(5 + x\) er den nye kostnaden for billetten. Med den samme økningen vil hver lastebil i gjennomsnitt frakte \(1000 – 40x\) passasjerer per dag.

Til slutt er inntekten per lastebil:

\(I\left( x \right) = \left( {5 + x} \right)\left( {1000 – 40x} \right) = – 40\left( {x + 5} \right)\left( {x – 25} \right)\)

For å dekke lønnsøkningen må hver buss samle inn: \(1000\venstre( 5 \right) + 760 = 5760\)

Til slutt har vi ligningen:

\( – 40\venstre( {x + 5} \høyre)\venstre( {x – 25} \høyre) = 5760\)

løsning av ligningen
\( – 40\venstre( {x + 5} \right)\left( {x – 25} \right) = 5760\) Utgangssituasjon
\(\left( {x + 5} \right)\left( {x – 25} \right) = – 144\) Del med \( – 40\) på hver side av ligningen
\({n^2} – 20n – 125 = – 144\) Det bemerkelsesverdige produktet ble utviklet
\({n^2} – 20n + 19 = 0\) 144 ble lagt til hver
\(\left( {n – 19} \right)\left( {n – 1} \right) = 0\) Vi har \(\left( { – 19} \right)\left( { – 1} \ høyre) = 19\) og \( – 19 – 1 = – 20\)
faktorisert
Løsninger av ligningen \(n = 1,19\)
Svar: Billettprisen kan gå opp $1 eller $19 pesos.

Brukseksempel 3: Økonomi

En brødbutikk selger i gjennomsnitt 1200 rundstykker i uken for 6 dollar hver. En dag bestemte han seg for å heve prisen til $9 per stykke; nå har salget hennes gått ned: hun selger bare i gjennomsnitt 750 rundstykker i uken. Hva bør prisen på hver bolle være slik at inntektene på utsalgsstedet blir høyest mulig? Anta at det er en lineær sammenheng mellom etterspørsel og pris.

Problemstilling: Forutsatt at det er en lineær sammenheng mellom etterspørsel D og pris \(x,\) da

\(D = mx + b\)

Når \(x = 6;D = 1200;\;\) som genererer ligningen:

\(1200 = 6m + b\)

Når \(x = 9;D = 750;\;\) lo og ligningen oppnås:

\(750 = 9m + b\)

Ved å løse ligningssystemet er forholdet mellom etterspørsel og pris:

\(D = – 150x + 2100 = – 150\venstre( {x – 14} \høyre)\)

Inntekten er lik

\(I\venstre( x \høyre) = Dx = – 150x\venstre( {x – 14} \høyre)\)

Løsning

Grafen for inntekt i en parabel som åpner seg nedover og dens maksimale verdi nås ved toppunktet på som kan finnes ved å beregne et gjennomsnitt av røttene til den kvadratiske funksjonen som modellerer inntekt. Røttene er \(\alfa = 0,\;\;\beta = 14\).

\(h = \frac{{0 + 14}}{2} = 7\)

\(I\left( h \right) = – 150\left( 7 \right)\left( {7 – 14} \right) = 7350\)

Svar

Maksimal inntekt er $7350 og oppnås med en pris på $7; selger i gjennomsnitt 1050 ruller i uken.

Brukseksempel 4: Økonomi

Kostnaden for å produsere \(n\) stoler på en dag kan beregnes med den kvadratiske funksjonen:

\(C\left( n \right) = {n^2} – 200n + 13000\)

Bestem minimumskostnaden som kan oppnås.

Problemstilling

Grafen til \(C\left( n \right)\) er en parabel som åpner seg oppover og vil nå minimumspunktet ved \(h = – \frac{b}{{2a}} = – \frac{{\ venstre( { – 200} \right)}}{{2\left( 1 \right)}} = 100\)

\(C\left( {100} \right) = {\left( {100} \right)^2} – 200\left( {100} \right) + 13000 = 3000\)

Svar

Den laveste mulige kostnaden er lik $3000 og oppnås ved å produsere 100 stoler.

Brukseksempel 5: Geometri

En rombe har et areal på 21 cm2; Hvis summen av lengdene på diagonalene er 17 cm, hva er lengden på hver diagonal på romben?

Problemstilling: Arealet til en rombe beregnes med:

\(A = \frac{{Dd}}{2}\)

Med \(D\) og \(d\) lengdene på diagonalene, er det også kjent:

\(D + d = 7\)

\(D = 17 – d\)

Ved å erstatte får du:

\(A = \frac{{\left( {17 – d} \right) d}}{2}\)

Til slutt får vi ligningen

\(\frac{{\left( {17 – d} \right) d}}{2} = 21\)

Løsning
\(\frac{{\left( {17 – d} \right) d}}{2} = 21\) Utgangssituasjon
\(\left( {17 – d} \right) d = 42\) Multipliser med \( – 40\) hver side av ligningen
\({d^2} – 17d + 42 = 0\) Produktet ble utviklet.
\(\left( {d – 14} \right)\left( {d – 3} \right) = 0\) Vi har \(\left( { – 14} \right)\left( { – 3} \ høyre) = 42\) og \( – 14 – 3 = – 17\)
faktorisert
Løsninger av ligningen \(d = 3,14\)
Svar:

Diagonalene til romben måler 14 cm og 3 cm.

Brukseksempel 6: Geometri

Det er ønskelig å bygge et rektangulært hønsehus på 140 m2, ved å utnytte et ganske langt gjerde som skal danne bunnen av hønsegården. De tre andre sidene skal bygges med 34 lineære meter trådnett, hvor mye skal lengden og bredden på hønsegården være for å bruke det totale nettet?

Under de samme forholdene, hva er det maksimale arealet som kan inngjerdes med samme netting?

Problemstilling: I henhold til diagrammet er arealet lik:

\(A\left( x \right) = x\left( {34 – 2x} \right) = 2x\left( {17 – x} \right)\)

Hvor \(x\) er lengden på siden vinkelrett på gjerdet.

For å kjenne målene til rektangelet slik at det har et areal på 140 m2, er det nok å løse ligningen

\(2x\venstre( {17 – x} \høyre) = 140\)

Siden grafen til \(A\venstre( x \høyre)\) er en parabel som åpner seg nedover for å beregne maksimalverdien av arealet, er det nok å beregne toppunktet til parablen.

Svar
Mål på rektangelet med areal 140 m2
Lengde på siden vinkelrett på gjerdet

\(x\) Lengde på siden parallelt med gjerdet

\(34 – 2x\)
10 14
7 20

Den første koordinaten til toppunktet er \(h = \frac{{17}}{2}\) og

\(A\left( h \right) = \frac{{289}}{2}\)

Arealet er maksimalt når den vinkelrette siden måler \(\frac{{17}}{2}\;\)m og den parallelle siden måler 17m, den måler 17m, verdien av det maksimale området som nås er \(\frac{ {289}} {2}\)m2.

Graf av en kvadratisk funksjon

Fra et geometrisk synspunkt er røttene punktene der grafen til en funksjon skjærer \(x\)-aksen.

Fra uttrykket

\(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k,\)

Vi vil etablere den generelle formen til grafen til en kvadratisk funksjon.

Første tilfelle \(a > 0\) og \(k > 0\)

\(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\)

\(x\)	\(f\venstre( x \høyre)\)
\(h – 1\)	\(a + k\)
\(t – 2\)	\(4a + k\)
\(t – 3\)	\(9a + k\)
\(t – 4\)	\(16a + k\)
\(h\)	\(k\)
\(h + 1\)	\(a + k\)
\(h + 2\)	\(4a + k\)
\(h + 3\)	\(9a + k\)
\(h + 4\)	\(16a + k\)

I dette tilfellet tilfredsstiller grafen:

Symmetrisk: Med symmetriakse \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) Det vil si \(f\left( {h – s} \right) = f\venstre( {h + s} \right)\)

Den er over \(x\)-aksen og skjærer den ikke. Det vil si at \(f\venstre( x \høyre) > 0\) ikke har noen reelle røtter.

Det laveste punktet på grafen er ved punktet \(\left( {h, k} \right)\). Det vil si \(f\venstre( x \høyre) \ge f\venstre( h \høyre) = k\)

Andre tilfelle \(a < 0\) og \(k < 0\)

\(f\left( x \right) = a{\left( {x – h} \right)^2} + k\)

\(x\)	\(f\venstre( x \høyre)\)
\(h – 1\)	\(a + k\)
\(t – 2\)	\(4a + k\)
\(t – 3\)	\(9a + k\)
\(t – 4\)	\(16a + k\)
\(h\)	\(k\)
\(h + 1\)	\(4a + k\)
\(h + 2\)	\(9a + k\)
\(h + 3\)	\(4a + k\)
\(h + 4\)	\(16a + k\)

I dette tilfellet tilfredsstiller grafen:

Symmetrisk: Med symmetriakse \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) Det vil si \(f\left( {h – s} \right) = f\venstre( {h + s} \right)\)

Den er under \(x\)-aksen og skjærer den ikke. Det vil si at \(f\venstre( x \høyre) < 0\) ikke har noen reelle røtter. Det høyeste punktet på grafen er ved punktet \(\left( {h, k} \right)\). Det vil si \(f\left( x \right) \le f\left( h \right) = k\) Tredje tilfelle \(a > 0\) og \(k \le 0\).

Dette tilfellet ligner det første tilfellet, forskjellen er at nå har vi en reell rot (når \(k = 0\) ) eller to reelle røtter.

I dette tilfellet tilfredsstiller grafen:

Symmetrisk: Med symmetriakse \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) Det vil si \(f\left( {h – s} \right) = f\venstre( {h + s} \right)\)

Den skjærer \(x\)-aksen, det vil si at den har minst én reell rot.

Det laveste punktet på grafen er ved punktet \(\left( {h, k} \right)\). Det vil si \(f\venstre( x \høyre) \ge f\venstre( h \høyre) = k\)

Fjerde tilfelle \(a < 0\) og \(k \ge 0\). Dette tilfellet ligner det andre tilfellet, forskjellen er at nå har vi en reell rot (når \(k = 0\) ) eller to reelle røtter. I dette tilfellet tilfredsstiller grafen:

Symmetrisk: Med symmetriakse \(x = h = – \frac{b}{{2a}}.\) Det vil si \(f\left( {h – s} \right) = f\venstre( {h + s} \right)\)

Det laveste punktet på grafen er ved punktet \(\left( {h, k} \right)\). Det vil si \(f\venstre( x \høyre) \le f\venstre( h \høyre) = k\)

Grafen til en kvadratisk funksjon kalles en parabel, og dens elementer som skal fremheves er symmetriaksen, punktene der den skjærer til \(x\)-aksen og toppunktet, som er punktet på grafen til funksjonen der den når sitt laveste eller høyeste punkt avhengig av sak.

Basert på den utførte analysen kan vi si:

Parablen assosiert med den kvadratiske funksjonen \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) har sitt toppunkt ved \(\left( {h, k} \right)\) hvor :

\(h = – \frac{b}{{2a}},\;\;k = f\venstre( h \høyre)\)

eksempler

Kvadratisk funksjon \(y = {x^2}\)	viktige elementer
Toppunkt av parabelen	\(\left( {0,0} \right)\)
Symmetriaksen til parablen	\(x = 0\)
Skjærer opp med \(x\)-aksen	\(\left( {0,0} \right)\)

Kvadratisk funksjon \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 2} \right)^2}\)	viktige elementer
Toppunkt av parabelen	\(\left( {2,0} \right)\)
Symmetriaksen til parablen	\(x = 2\)
Skjærer opp med \(x\)-aksen	\(\left( {2,0} \right)\)

Kvadratisk funksjon \(y = {\venstre( {x + 2} \right)^2} – 4\)	viktige elementer
Toppunkt av parabelen	\(\left( { – 2, – 4} \right)\)
Symmetriaksen til parablen	\(x = – 2\)
Skjærer opp med \(x\)-aksen	\(\left( { – 4,0} \right);\left( {0,0} \right)\)

Kvadratisk funksjon \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 9} \right)^2} + 8\)	viktige elementer
Toppunkt av parabelen	\(\left( {9,8} \right)\)
Symmetriaksen til parablen	\(x = 9\)
Skjærer opp med \(x\)-aksen	\(\left( {5,0} \right);\left( {13,0} \right)\)

Kvadratisk funksjon \(y = {x^2} + 1\)	viktige elementer
Toppunkt av parabelen	\(\left( {0,1} \right)\)
Symmetriaksen til parablen	\(x = 0\)
Skjærer opp med \(x\)-aksen	Har ikke

Kvadratisk funksjon \(y = – \frac{1}{2}{\left( {x – 2} \right)^2} – 1\)	viktige elementer
Toppunkt av parabelen	\(\left( {2, – 1} \right)\)
Symmetriaksen til parablen	\(x = 2\)
Skjærer opp med \(x\)-aksen	Har ikke

Hvis de virkelige røttene til en kvadratisk funksjon eksisterer, kan vi tegne den tilhørende parabelen fra dem. Anta at \(f\left( x \right) = a\left( {x – \alpha } \right)\left( {x – \beta } \right)\)

For dette må følgende tas i betraktning:

\(\alpha + \beta = – \frac{b}{a}\)

\(\frac{{\alpha + \beta }}{2} = – \frac{b}{{2a}} = h\)

Som

\(k = f\venstre( h \høyre)\)

\(k = f\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2}} \right)\)

\(k = a\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2} – \alpha } \right)\left( {\frac{{\alpha + \beta }}{2} – \ beta } \right)\)

\(k = – \frac{a}{4}{\left( {\alpha – \beta} \right)^2}\)

eksempler

Skisser grafen til den kvadratiske funksjonen \(f\left( x \right) = \frac{1}{4}\left( {x – 3} \right)\left( {x + 6} \right )\)

Løsning

Røttene er \(\alpha = 3\;\) og \(\beta = – 6\); deretter \(h = \frac{{3 – 6}}{2} = – \frac{3}{2}\).

\(k = f\left( { – \frac{3}{2}} \right) = 2\left( { – \frac{3}{2} – 3} \right)\left( { – \frac {3}{2} + 6} \right) = \frac{1}{4}\left( { – \frac{9}{2}} \right)\left( {\frac{9}{2}} \right) = – \frac{{81}}{{16}}\)

Så vi kan bygge følgende tabell

\(f\left( x \right) = 2\left( {x – 3} \right)\left( {x + 6} \right)\)	viktige elementer
Toppunkt av parabelen	\(\left( { – \frac{3}{2}, – \frac{{81}}{2}} \right)\)
Symmetriaksen til parablen	\(x = – \frac{{81}}{2}\)
Skjærer opp med \(x\)-aksen	\(\left( { – 6,0} \right)\;,\;\left( {3,0} \right)\)

For å skissere grafen til funksjonen:

\(f\left( x \right) = 3{x^2} – 18x + 4\)

Vi vil bruke de samme ideene som vi allerede har brukt; For dette vil vi først bestemme toppunktet.

I dette tilfellet, \(a = 3;b = – 12,\;c = 4\).

Siden \(a > 0\), vil parablen "åpnes og \(h = – \frac{b}{{2a}} = – \left( {\frac{{ – 18}}{{3\venstre ( 2 \right)}}} \right) = 3.\) Deretter beregner vi \(k:\)

\(k = f\left( h \right) = f\left( 3 \right) = 3{\left( 3 \right)^2} – 18\left( 3 \right) + 4 = – 23\)

Toppunktet til parabelen er ved \(\left( {3, – 23} \right)\) og siden den åpner seg oppover, vil parablen skjære \(x\;\)-aksen og dens symmetriakse er \ (x = 3\).

La oss nå vurdere den kvadratiske funksjonen

\(f\left( x \right) = – 5{x^2} + 10x – 9\)

I dette tilfellet, \(a = 3;b = – 12,\;c = 4\).

Siden \(a < 0\), vil parabelen "åpnes" nedover og \(h = - \frac{b}{{2a}} = - \left( {\frac{{10}}{{\left( 2 \right)\left( { - 5} \right)}}} \right) = 1.\) A Deretter vil vi beregne \(k:\) \(k = f\venstre( h \høyre) = f\venstre( 1 \høyre) = - 5{\venstre( 1 \høyre)^2} + 10\venstre( 1 \ høyre) - 9 = - 4\) Toppunktet til parabelen er ved \(\left( {1, - 4} \right)\) og siden den åpner seg nedover, vil ikke parabelen skjære \(x\;\)-aksen og dens symmetriakse er \(x = 1.\)