Definisjon av geometrisk progresjon

En sekvens av tall \({{a}_{1}},~{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots \); Det kalles en geometrisk progresjon hvis, fra det andre, hvert element oppnås fra multiplikasjonen av det forrige med et tall \(r\ne 0\), det vil si hvis:
\({{a}_{n+1}}={{a}_{n}}r\)
Hvor:
- Tallet \(r\) kalles forholdet mellom den geometriske progresjonen.
- Elementet \({{a}_{1}}\) kalles det første elementet i den aritmetiske progresjonen.

Elementene i den geometriske progresjonen kan uttrykkes i form av det første elementet og dets forhold, det vil si:
\({{a}_{1}},{{a}_{1}}r,{{a}_{1}}{{r}^{2}},{{a}_{1} }{{r}^{3}}\)

De er de fire første elementene i den aritmetiske progresjonen; generelt uttrykkes \(k-\) elementet som følger:
\({{a}_{k}}={{a}_{1}}{{r}^{k-1}}\)

Når \({{a}_{1}}\ne 0,~\) av det forrige uttrykket får vi:

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}=\frac{{{a}_{1}}{{r}^{k-1}} }{{{a}_{1}}{{r}^{l-1}}}\)

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}={{r}^{k-l}}\)

Uttrykket ovenfor tilsvarer:

\({{a}_{k}}={{a}_{l}}{{r}^{k-l}}\)

Eksempel/øvelse 1. Finn forskjellen på den aritmetiske progresjonen: \(2,6,18,54,\ldots \) ​​og finn elementene \({{a}_{20}},~{{a}_{91}} \)

Løsning

Siden \(\frac{6}{2}=\frac{18}{6}=\frac{54}{18}=3\) kan vi konkludere med at forholdet er:

\(r=3\)

\({{a}_{20}}=2\left( {{3}^{20-1}} \right)=2{{\left( 3 \right)}^{19}}\)

\({{a}_{91}}=2\left( {{3}^{91-1}} \right)=2{{\left( 3 \right)}^{90}}\)

Eksempel/øvelse 2. I en aritmetisk progresjon har vi: \({{a}_{17}}=20~\)y \({{a}_{20}}=-1280\), bestem forholdet mellom den geometriske progresjonen og skriv de første 5 elementene.

Løsning

Iført

\(\frac{{{a}_{k}}}{{{a}_{l}}}={{r}^{k-l}}\)

\(\frac{{{y}_{20}}}{{{y}_{17}}}={{r}^{20-17}}\)

\(\frac{-1280}{20}={{r}^{3}}\)

\(-64={{r}^{3}}\)

\(\sqrt[3]{-64}=\sqrt[3]{{{r}^{3}}}\)

\(-4=r\)

For å finne de første 5 elementene i den aritmetiske progresjonen; vi vil beregne \({{a}_{1}}\):

\({{a}_{k}}={{a}_{1}}{{r}^{k-1}}\)

\({{a}_{17}}={{a}_{1}}{{\left( r \right)}^{17-1}}\)

\(20={{a}_{1}}{{\left( -4 \right)}^{16}}\)

\(\frac{20}{{{4}^{16}}}={{a}_{1}}\)

\(\frac{5\left( 4 \right)}{{{4}^{16}}}={{a}_{1}}\)

\(\frac{5}{{{4}^{15}}}={{a}_{1}}\)

De første 5 elementene i den geometriske progresjonen er:

\(\frac{5}{{{4}^{15}}},~\frac{5}{{{4}^{15}}}\left( -4 \right),\frac{5} {{{4}^{15}}}{{\left( -4 \right)}^{2}},\frac{5}{{{4}^{15}}}{{\left( -4 \right)}^{3}},\frac{5}{{ {4}^{15}}}{{\left( -4 \right)}^{4}}\)

\(\frac{5}{{{4}^{15}}},-~\frac{5}{{{4}^{14}}},\frac{5}{{{4}^{ 13}}},-\frac{5}{{{4}^{12}}},\frac{5}{{{4}^{11}}}\)

Eksempel/øvelse 3. Et tynt glass absorberer 2% av sollyset som passerer gjennom det.

til. Hvor mange prosent av lys vil passere gjennom 10 av disse tynne glassene?

b. Hvor mange prosent av lys vil passere gjennom 20 av disse tynne glassene?

c. Bestem prosentandelen av lys som passerer gjennom \(n\) tynne glass med samme egenskaper, plassert fortløpende.

Løsning

Vi vil representere med 1 det totale lyset; ved å absorbere 2 % av lyset, så går 98 % av lyset gjennom glasset.

Vi vil representere med \({{a}_{n}}\) prosentandelen av lys som passerer gjennom glasset \(n\) .

\({{a}_{1}}=0.98,~{{a}_{2}}=0.98\left( 0.98 \right),~{{a}_{3}}={{\left( 0,98 \right)}^{2}}\left( 0,98 \right),\)

Generelt \({{a}_{n}}={{\left( 0,98 \right)}^{n}}\)

til. \({{a}_{10}}={{\left( 0,98 \right)}^{10}}=0,81707\); som forteller oss at etter glass 10 passerer 81,707 % av lyset

b. \({{a}_{20}}={{\left( 0,98 \right)}^{20}}=~0,66761\); som forteller oss at etter glass 20 passerer 66,761 %

Summen av de første \(n\) elementene i en geometrisk progresjon

Gitt den geometriske progresjonen \({{a}_{1}},{{a}_{1}}r,{{a}_{1}}{{r}^{2}},{{a} 1}}{{r}^{3}}\)….

Når \(r\ne 1\) er summen av de første \(n\) elementene, vil summen:

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}+{{a}_{1}}r+{{a}_{1}}{{r}^{2}} +{{a}_{1}}{{r}^{3}}+\ldots +{{a}_{1}}{{r}^{n-1}}\)

Det kan beregnes med

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r},~r \n1\)

Eksempel/øvelse 4. Fra eksempel 2 regner du ut \({{S}_{33}}\).

Løsning

I dette tilfellet \({{a}_{1}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\) og \(r=-4\)

søker

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r}\)

\({{S}_{22}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\frac{1-{{\left( -4 \right)}^{22}}} {1-\venstre( -4 \høyre)}\)

\({{S}_{22}}=\frac{5}{{{4}^{15}}}\frac{1-{{\left( -4 \right)}^{22}}} {5}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1-{{\left( 4 \right)}^{22}}}{{{4}^{15}}}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1}{{{4}^{15}}}-\frac{{{\left( 4 \right)}^{22}}}{{ {4}^{15}}}\)

\({{S}_{22}}=\frac{1}{{{4}^{15}}}-{{4}^{7}}\)

Eksempel/øvelse 5. Anta at en person laster opp et bilde av kjæledyret sitt og deler det med 3 av vennene sine på et sosialt internettnettverk, og i løpet av én time hver av dem, deler fotografiet med tre andre personer, og så deler sistnevnte, om en time til, hver av dem fotografiet med tre andre mennesker; Og slik fortsetter det; hver person som mottar bildet deler det med 3 andre personer innen en time. Om 15 timer, hvor mange har allerede bildet?

Løsning

Følgende tabell viser de første beregningene
Tid Personer som mottar fotografiet Personer som har fotografiet
1 3 1+3=4
2 (3)(3)=32=9 4+9=13
3 32(3)= 33=27 13+27=40

Antall personer som mottar bildet i timen \(n\) er lik: \({{3}^{n}}\)

Antall personer som allerede har bildet i timen er lik:

\(3+{{3}^{2}}+{{3}^{3}}+\ldots +{{3}^{n}}\)

søker

\({{S}_{n}}={{a}_{1}}\frac{\left( 1-{{r}^{n}} \right)}{1-r}\)

Med \({{a}_{1}}=3,\) \(r=3\) og \(n=15\)

Hvorved:

\({{S}_{n}}=\frac{\left( 1-{{3}^{15}} \right)}{1-3}=7174453\)

geometriske midler

Gitt to tall \(a~\) og \(b,\) tallene \({{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k +1}}\) kalles \(k\) geometriske middelverdier av tallene \(a~\) og \(b\); hvis sekvensen \(a,{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots,{{a}_{k+1}},b\) er en geometrisk progresjon.

For å kjenne verdiene til \(k\) geometriske midler for tallene \(a~\) og \(b\), er det nok å kjenne forholdet mellom den aritmetiske progresjonen, for dette må følgende vurderes:

\(a={{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots ,{{a}_{k+1}},{ {a}_{k+2}}=b,\)

Fra ovenstående etablerer vi forholdet:

\(b=a{{r}^{k+1}}\)

Ved å løse for \(d\), får vi:

\(b=a{{r}^{k+1}}\)

\(\frac{b}{a}={{r}^{k+1}}\)

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

Eksempel/øvelse 6. Finn 2 geometriske middel mellom tallene -15 og 1875.

Løsning

Ved søknad

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

med \(b=375,~a=-15\) og \(k=2~\):

\(r=\sqrt[2+1]{\frac{1875}{-15}}\)

\(r=\sqrt[3]{-125}=-5\)

De 3 geometriske midlene er:

\(75,-375\)

Eksempel/øvelse 7. En person investerte penger og mottok renter hver måned i 6 måneder og kapitalen hans økte med 10%. Forutsatt at prisen ikke endret seg, hva var den månedlige renten?

Løsning

La \(C\) være den investerte kapitalen; den endelige hovedstaden er \(1.1C\); For å løse problemet må vi plassere 5 geometriske midler ved å bruke formelen:

\(r=\sqrt[k+1]{\frac{b}{a}}\)

Med \(k=5,~b=1.1C\) og \(a=C.\)

\(r=\sqrt[5+1]{\frac{1.1C}{C}}=\sqrt[6]{1.1}=1.016\)

Den månedlige prisen mottatt var \(1,6 %\)