Definisjon av blandede, enhets-, homogene og heterogene brøker

Blandet. En blandet brøk består av et heltall større enn eller lik én og en egenbrøk, den generelle skrivemåten til en brøk blandet har formen: \(a + \frac{c}{d},\) hvis kompakte skrift er: \(a\frac{c}{d},\;\), det vil si: \(a\ brøk{c}{d} = a + \frac{c}{d}\). Tallet \(a\) kalles heltallsdelen av den blandede brøken og \(\frac{c}{d}\) kalles dens brøkdel.

homogen. Hvis to eller flere brøker har samme nevner, sies de å være som brøker. For eksempel, brøkene \(\frac{3}{4},\) \(\frac{7}{4},\) \(\frac{1}{4},\) \(\frac{{ 10}}{4}\) er homogene fordi de alle har samme nevner, som i dette tilfellet er \(4\). Mens brøkene \(\frac{3}{4},\) \(\frac{7}{4},\) \(\frac{1}{4},\) \(\frac{5} { 2}\) er det ikke homogene brøker siden nevneren til \(\frac{5}{2}\) er \(2\) og nevneren til de andre brøkene er \(4\). En av fordelene med de homogene brøkene er at de aritmetiske operasjonene med addisjon og subtraksjon av funksjoner er veldig enkle.

heterogen. Hvis to eller flere brøker, minst to av dem ikke har samme nevner, sies disse brøkene å være heterogene brøker. Følgende brøker er heterogene: \(\frac{3}{5},\;\) \(\frac{7}{5}\), \(\frac{1}{4},\) \(\ frac{2}{5}\).

enhetlig. En brøk identifiseres som en enhet hvis telleren er lik 1 \(1,\) \(2\). Følgende brøker er eksempler på enhetsbrøker: \(\frac{1}{2},\;\) \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{4}\), \(\;\frac{1}{5}\).

Verbal uttrykk for en blandet brøk

blandet fraksjon	Verbal uttrykk
\(3\frac{1}{2} = \)	Tre og en halv hel
\(5\frac{3}{4} = \)	Fem heltall og tre fjerdedeler
\(10\frac{1}{8} = \)	Ti heltall med en åttendedel

Konvertering av en blandet brøk til en uekte brøk

Blandede fraksjoner er nyttige for estimering, for eksempel er det enkelt å fastslå:

\(5\frac{1}{{20}} > 4\frac{9}{{10}}\)

Imidlertid er blandede brøker vanligvis upraktiske for å utføre operasjoner som multiplikasjon og divisjon, og det er derfor det er viktig hvordan man konverterer til en blandet brøk.

Den forrige figuren representerer den blandede brøken \(2\frac{3}{4}\), nå er hvert heltall sammensatt av fire fjerdedeler, så i 2 heltall er det 8 fjerdedeler og til disse må vi legge de andre 3 fjerdedeler, dvs. si:

\(2\frac{3}{4} = \frac{{2\left( 4 \right) + 3}}{4} = \frac{{11}}{4}\)

Som regel:

\(a\frac{c}{d} = \frac{{ad + c}}{d}\)

Følgende tabell viser andre eksempler.

blandet fraksjon	Operasjoner å utføre	uekte brøk
\(3\frac{1}{2}\)	\(\frac{{3\left( 2 \right) + 1}}{2}\)	\(\frac{7}{2}\)
\(5\frac{3}{4}\)	\(\frac{{5\left( 4 \right) + 3}}{4}\)	\(\frac{{23}}{4}\)
\(10\frac{1}{8}\)	\(\frac{{10\left( 8 \right) + 1}}{8}\)	\(\frac{{81}}{8}\)

Konvertering av en uekte brøk til en blandet brøk

For å konvertere en uekte brøk til en blandet brøk, beregne kvotienten og resten av å dele telleren med nevneren. Den oppnådde kvotienten vil være heltallsdelen av den blandede brøken og den riktige brøken vil være \(\frac{{{\rm{rest}}}}{{{\rm{nevner}}}}\)

Eksempel

For å konvertere \(\frac{{25}}{7}\) til en blandet brøk:

For de utførte operasjonene får vi:

Tabellen nedenfor viser andre eksempler.

uekte brøk	Beregning av kvotienten og resten	uekte brøk
\(\frac{{25}}{7}\)		\(3\frac{4}{7}\)
\(\frac{{35}}{8}\)		\(4\frac{3}{8}\)
\(\frac{{46}}{5}\)		\(9\frac{1}{5}\)

Daglig bruk av blandede og ordentlige fraksjoner

I hverdagen trenger vi å måle, kjøpe, sammenligne priser, tilby rabatter; for å måle trenger vi måleenheter og de tilbyr ikke alltid hele enheter av produktene og du betaler ikke alltid med en hel mengde mynter av en enhet.

For eksempel er det vanlig at visse væsker selges i beholdere hvis innhold er \(\frac{3}{4}\;\) på en liter, en halv gallon eller en og en halv gallon. Kanskje når du går for å kjøpe et rør spør du om \(\frac{1}{8},\;\) \(\frac{7}{8},{\rm{\;}}\) \({ \rm {3}}\frac{1}{2}\) og du trenger ikke si måleenheten, som i dette tilfellet er tommen.

Grunnleggende operasjoner av like brøker

Summen av \(\frac{3}{4}\) og \(\frac{2}{4}\), er eksemplifisert i følgende skjema:

\(\frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{{3 + 2}}{4} = \frac{5}{4}\)

Mens subtraksjonen gjøres som følger:

\(\frac{3}{4} – \frac{2}{4} = \frac{{3 – 2}}{4} = \frac{1}{4}\)

Generelt, for homogene fraksjoner:

\(\frac{a}{d} + \frac{b}{d} = \frac{{a + b}}{d}\)

\(\frac{a}{d} – \frac{b}{d} = \frac{{a – b}}{d}\)

Egypterne og enhetsbrøker

Den egyptiske kulturen oppnådde en bemerkelsesverdig teknologisk utvikling og dette ville ikke ha skjedd uten en utvikling på linje med matematikken. Det er historiske rester hvor du kan finne registreringer av bruken av fraksjoner i egyptisk kultur, med en spesiellhet, de brukte bare enhetsbrøker.

Det er flere tilfeller der det er så enkelt å skrive en brøk som en sum av enhetsbrøker

\(\frac{3}{n} = \frac{1}{n} + \frac{1}{{2n}}\)

I tilfellet at \(n = 2q + 1\), det vil si oddetall, har vi at:

\(\frac{2}{n} = \frac{1}{{q + 1}} + \frac{1}{{n\left( {q + 1} \right)}}\)

Vi skal illustrere dette med to eksempler.

For å uttrykke \(\frac{2}{{11}}\); i dette tilfellet har vi \(11 = 2\venstre( 5 \høyre) + 1\), derfor:

\(\frac{2}{{11}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{{11\left( 6 \right)}},\)

det er å si,

\(\frac{2}{{11}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{{66}}\)

For å uttrykke \(\frac{2}{{17}}\); i dette tilfellet har vi \(17 = 2\venstre( 8 \høyre) + 1\),

\(\frac{2}{{15}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{{120}}\)

Deretter viser vi noen brøker som summen av enhetsbrøker,

Brøkdel	Uttrykk som sum av enhetsbrøker	Brøkdel	Uttrykk som sum av enhetsbrøker
\(\frac{3}{n}\)	\(\frac{1}{n} + \frac{1}{{2n}}\)	\(\frac{5}{8}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{8}\)
\(\frac{2}{3}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{6}\)	\(\frac{7}{8}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}\)
\(\frac{3}{4}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\)	\(\frac{2}{9}\)	\(\frac{1}{5} + \frac{1}{{45}}\)
\(\frac{3}{5}\)	\(\frac{1}{5} + \frac{1}{{10}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{4}{5}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{{20}}\)	\(\frac{7}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{{36}}\)
\(\frac{5}{6}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\)	\(\frac{8}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{3}{7}\)	\(\frac{1}{3} + \frac{1}{{11}} + \frac{1}{{231}}\)	\(\frac{4}{9}\)	\(\frac{1}{3} + \frac{1}{9}\)
\(\frac{4}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{14}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{5}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{{10}}\)	\(\frac{5}{9}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}\)
\(\frac{6}{7}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{{42}}\)	\(\frac{{19}}{{20}}\)	\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}\)

Ved å bruke den forrige tabellen kan vi legge til brøker og uttrykke slike summer; som en sum av enhetsbrøker.

Eksempler på heterogene fraksjoner

Eksempel 1

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{{15}}} \right) + \left ( {\frac{1}{3} + \frac{1}{9}} \right)\)

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \frac{2}{3} + \frac{1}{{15}} + \frac{1}{9}\)

\(\frac{2}{5} + \frac{4}{9} = \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{6}} \right) + \frac{1 }{{15}} + \frac{1}{9}\)

Eksempel 2

\(\frac{4}{7} + \frac{5}{9} = \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{14}}} \right) + \left ( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{18}}} \right)\)

\(\frac{2}{7} + \frac{5}{9} = 1 + \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{18}}\)

Til slutt kan vi uttrykke den samme brøken som en sum av enhetsbrøker på en annen måte som:

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{8} + \frac{1}{{504}}\)

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{9} + \frac{1}{{63}}\)

\(\frac{8}{{63}} = \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{18}}\)