Definisjon av ekvivalente brøker

To eller flere brøker sies å være ekvivalente hvis de representerer samme mengde, det vil si hvis
\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\;,\)
brøkene \(\frac{a}{b}\) og \(\frac{c}{d}\) sies å være likeverdige.

Ekvivalente brøker: Grafisk representasjon

Tenk på kvadratet, som vi deler inn i fjerdedeler, tredjedeler, åttendedeler og tolvdeler.

Fra de forrige figurene legger vi merke til følgende ekvivalenser:

Hvordan få en eller flere ekvivalente brøker?

Det er to grunnleggende metoder for å oppnå en brøk som tilsvarer en gitt brøk.

1. Multipliser telleren og nevneren med det samme positive tallet.

Eksempler:

\(\frac{3}{4} = \frac{{3\left( 5 \right)}}{{4\left( 5 \right)}} = \frac{{15}}{{20}} \)

\(\frac{3}{4} = \frac{{3\left( 7 \right)}}{{4\left( 7 \right)}} = \frac{{21}}{{28}} \)

\(\frac{5}{8} = \frac{{5\left( 6 \right)}}{{8\left( 6 \right)}} = \frac{{30}}{{56}} \)

2. Den er delt med den samme positive felles divisor av telleren og nevneren.

\(\frac{{52}}{{56}} = \frac{{52 \div 4}}{{56 \div 4}} = \frac{{13}}{{14}}.\)

\(\frac{{80}}{{140}} = \frac{{80 \div 20}}{{140 \div 20}} = \frac{4}{7}.\)

\(\frac{{21}}{{57}} = \frac{{21 \div 3}}{{57 \div 3}} = \frac{7}{{19}}\)

Når både telleren og nevneren i en brøk deles med samme felles deler enn 1, sies det at brøken er redusert.

irreduserbare fraksjoner

En brøk kalles en irreduserbar brøk hvis den største felles divisor for telleren og nevneren er lik 1.

Hvis \(gcd\left( {a, b} \right) = 1,\) kalles brøken \(\frac{a}{b}\) en ikke-reduserbar brøk.

Gitt en brøk \(\frac{a}{b}\) for å oppnå en brøk som tilsvarer denne brøken og som også er en irreduserbar brøk telleren og telleren er delt med den største felles divisor av \(a\;\) og av \(b.\)

Følgende tabell viser eksempler på irreduserbare og reduserbare fraksjoner; hvis den er reduserbar, viser den hvordan man oppnår en irreduserbar ekvivalent brøk.

Brøkdel	Største felles deler	Ureduserbar	irreduserbar ekvivalent brøk
\(\frac{{14}}{{42}}\)	7	Nei	\(\frac{{14}}{{42}} = \frac{{14 \div 7}}{{42 \div 7}} = \frac{2}{7}\)
\(\frac{3}{{25}}\)	1	Ja	\(\frac{3}{{25}}\)
\(\frac{{21}}{{201}}\)	3	Nei	\(\frac{{21 \div 3}}{{20\;1 \div 3}} = \frac{7}{{67}}\)
\(\frac{5}{{24}}\)	1	Ja	\(\frac{5}{{24}}\)
\(\frac{{72}}{{1125}}\)	9	Nei	\(\frac{{72}}{{1125}} = \frac{{72 \div 9}}{{1125 \div 9}} = \frac{8}{{125}}\)

Ekvivalente brøker: verbal representasjon.

Tabellen nedenfor viser to forskjellige måter å vise tilsvarende informasjon på, fra et numerisk synspunkt.

Verbal setning	Tilsvarende setning (numerisk)	Argumentasjon
I 1930, i Mexico, snakket 4 personer av 25 personer et morsmål.	I 1930, i Mexico, snakket 16 mennesker av 100 mennesker et morsmål.	Begge dataene ble multiplisert med 4
I 1960, i Mexico, snakket 104 mennesker av hver 1000 mennesker et morsmål.	I 1960, i Mexico, snakket 13 personer av 125 personer et morsmål	Begge data ble delt på 8.

Ekvivalente brøker: Desimalrepresentasjon

Tabellen nedenfor viser ulike desimaltall og ekvivalente brøker som representerer dem.

Desimaltall	Brøkdel	ekvivalent brøkdel	Drift
\(0.25\)	0,25=\(\frac{{25}}{{100}}\)	0,25=\(\frac{1}{4}\)	\(25 \div 25 = 1\) \(100 \div 25 = \)
\(1.4\)	\(1,4 = 1 + \frac{4}{{10}} = \frac{{14}}{{10}}\)	\(1,4 = \frac{7}{5}\)	\(14 \div 2 = 1\) \(10 \div 2 = 5\)
\(0.145\)	\(0,145 = \frac{{145}}{{1000}}\)	\(0,145 = \frac{{29}}{{200}}\)	\(145 \div 5 = 29\) \(1000 \div 5 = 200\)

Ekvivalente brøker: Representasjon i prosent

Tabellen nedenfor viser ulike desimaltall og ekvivalente brøker som representerer dem.

Desimaltall	Brøkdel	ekvivalent brøkdel	Drift
20%	\(\frac{{20}}{{100}}\)	\(\frac{1}{5}\)	\(20 \div 20 = 1\) \(100 \div 20 = 5\)
150%	\(\frac{{150}}{{100}}\)	\(\frac{3}{2}\)	\(150 \div 50 = 3\) \(100 \div 50 = 2\)
55%	\(\frac{{55}}{{100}}\)	\(\frac{{11}}{{20}}\)	\(55 \div 11 = 5\) \(100 \div 5 = 20\)

Ekvivalente brøker: Fra heterogen til homogen

Gitt to heterogene brøker \(\frac{a}{b}\) og \(\frac{c}{d}\), kan vi finne to brøker homogen på en slik måte at den ene brøken tilsvarer brøken \(\frac{a}{b}\;\) og den andre til \(\frac{c}{d}\).

Deretter vil vi vise to prosedyrer for å utføre det som er nevnt i forrige avsnitt.

La oss observere:

\(\frac{a}{b} = \frac{{a\left( d \right)}}{{b\left( d \right)}}\)

\(\frac{c}{d} = {\rm{\;}}\frac{{c\left( b \right)}}{{d\left( b \right)}}\)

Tabellen nedenfor viser noen eksempler.

F. heterogen	Drift	F. homogen
\(\frac{4}{5}\), \(\frac{2}{3}\)	\(\frac{{4\left( 3 \right)}}{{5\left( 3 \right)}} = \frac{{12}}{{15}}\) \(\frac{{2\left( 5 \right)}}{{3\left( 5 \right)}} = \frac{{10}}{{15}}\)	\(\frac{{12}}{{15}}\), \(\frac{{10}}{{15}}\)
\(\frac{7}{{12}}\), \(\frac{4}{{18}}\)	\(\frac{{7\left( {18} \right)}}{{12\left( {18} \right)}} = \frac{{126}}{{216}}\) \(\frac{{4\left( {12} \right)}}{{18\left( {12} \right)}} = \frac{{48}}{{216}}\)	\(\frac{{126}}{{216}},\) \(\frac{{48}}{{216}}\)
\(\frac{7}{{10}}\), \(\frac{3}{{14}}\), \(\frac{5}{4}\)	\(\frac{{7\left( {14} \right)\left( 4 \right)}}{{10\left( {14} \right) 4}} = \frac{{392}}{{ 560}}\) \(\frac{{3\left( {10} \right)\left( 4 \right)}}{{14\left( {10} \right)\left( 4 \right)}} = \frac{ {120}}{{560}}\) \(\frac{{5\left( {10} \right)\left( {14} \right)}}{{4\left( {10} \right)\left( {14} \right)}} = \frac{{700}}{{560}}\)	\(\frac{{392}}{{560}}\), \(\frac{{120}}{{560}},\) \(\frac{{700}}{{560}}\)

Ulempen med denne metoden er at det kan produseres svært store mengder i prosessen; I mange tilfeller er det mulig å unngå det hvis det minste felles multiplum av nevnerne beregnes og den andre metoden er basert på beregning av det minste felles multiplum.

Minste felles multiplum ved beregning av brøker

Deretter, gjennom to eksempler, hvordan man oppnår homogene brøker ved å bruke det minste felles multiplum av nevnerne, som vil være fellesnevneren for de involverte brøkene.

Tenk på brøkene: \(\frac{7}{{12}}\), \(\frac{4}{{18}}.\)

Det minste felles multiplum av \(12\) og \(18\) er \(36\); nå

\(36 \div 12 = 3\)

\(36 \div 18 = 2\)

\(\frac{7}{{12}} = \frac{{7\left( 3 \right)}}{{12\left( 3 \right)}} = \frac{{21}}{{36 }},\)

\(\frac{4}{{18}} = \frac{{4\left( 2 \right)}}{{18\left( 2 \right)}} = \frac{8}{{36}} \)

Tenk nå på brøkene: \(\frac{7}{{10}}\), \(\frac{3}{{14}}\), \(\frac{5}{4}\)

Minste felles multiplum av \(10\), \(14\) og \(3\) er \(140\); nå

\(140 \div 10 = 14\)

\(140 \div 14 = 10\)

\(140 \div 4 = 35\)

\(\frac{7}{{10}} = \frac{{7\left( {14} \right)}}{{10\left( {14} \right)}} = \frac{{98} }{{140}},\)

\(\frac{3}{{14}} = \frac{{3\left( {10} \right)}}{{14\left( {10} \right)}} = \frac{{30} }{{140}}\)

\(\frac{5}{4} = \frac{{5\left( {35} \right)}}{{4\left( {35} \right)}} = \frac{{175}}{ {140}}\)

Fra de forrige figurene legger vi merke til følgende faktum:

\(\frac{1}{4} = \frac{3}{{12}}\)

Her er andre eksempler.

F. heterogen	min fellesnevnere	Drift	F. homogen
\(\frac{1}{{14}}\) \(\frac{1}{{18}}\)	126	\(126 \div 14 = 9\) \(\frac{1}{{14}} = \frac{{1\left( 9 \right)}}{{14\left( 9 \right)}} = \frac{9}{{126}} \) \(126 \div 18 = 7\) \(\frac{1}{{18}} = \frac{{1\left( 7 \right)}}{{18\left( 7 \right)}} = \frac{7}{{126}} \)	\(\frac{9}{{126}}\), \(\frac{7}{{126}}\)
\(\frac{5}{6}\) \(\frac{2}{{15}},\) \(\frac{4}{9}\)	90	\(90 \div 6 = 15\) \(\frac{5}{6} = \frac{{5\left( {15} \right)}}{{6\left( {15} \right)}} = \frac{{75}}{ {90}}\) \(90 \div 15 = 6\) \(\frac{2}{{15}} = \frac{{2\left( {15} \right)}}{{15\left( 6 \right)}} = \frac{{30}}{ {90}}\) \(90 \div 9 = 10\) \(\frac{4}{9} = \frac{{4\left( {10} \right)}}{{9\left( {10} \right)}} = \frac{{40}}{ {90}}\)	\(\frac{{75}}{{90}}\), \(\frac{{30}}{{90}}\), \(\frac{{40}}{{90}}\)