Definisjon av kvadratisk/kvarttisk ligning

En andregradsligning eller, hvis det ikke, en kvadratisk en, med hensyn til en ukjent, uttrykkes i formen:
\(a{x^2} + bx + c = 0\)
Der det ukjente er \(x\), så lenge \(a, b\) og c er reelle konstanter, med \(a \ne 0.\)

Det er flere teknikker for å løse kvadratiske ligninger, inkludert faktorisering, i så fall må vi ta hensyn til følgende egenskap i henhold til oppløsningen:

Hvis produktet av to tall er null, er det to muligheter:

1. Begge er lik null.
2. Hvis den ene er ikke-null, er den andre null

Ovenstående kan uttrykkes som følger:
Hvis \(pq = 0\) så \(p = 0\) eller \(q = 0\).

Praktisk eksempel 1: løs likningen \({x^2} – 8\)=0

\({x^2} – 8 = 0\)	Utgangssituasjon
\({x^2} – 8 + 8 = 8\)	Legg til 8 på begge sider av ligningen for å løse for \({x^2}\)
\(\sqrt {{x^2}} = \sqrt {{2^3}} = \sqrt {{2^2}2} = \sqrt {{2^2}} \sqrt 2 = 2\sqrt 2 \)	Kvadratroten oppnås på jakt etter å isolere \(x.\) 8 er faktorisert og egenskapene til radikaler og makter blir brukt.
\(\venstre| x \høyre| = 2\sqrt 2 \)	Du får roten til \({x^2}\)
\(x = \pm 2\sqrt 2 \)

Løsningene til \({x^2} – 8\)=0 er:
\(x = – 2\sqrt 2 ,\;2\sqrt 2 \)

Praktisk eksempel 2: Løs ligningen \({x^2} – 144\)=0

\({x^2} – 144 = 0\)	Utgangssituasjon
\({x^2} – {12^2} = 0\)	Kvadratroten av 144 er 12. En forskjell på kvadrater er identifisert.
\(\left( {x + 12} \right)\left( {x – 12} \right) = 0\)	Forskjellen på kvadrater er faktorisert
\(x + 12 = 0\) \(x = – 12\)	Vi vurderer muligheten for at faktoren \(x + 12\) er lik 0. Den oppnådde ligningen er løst.
\(x – 12 = 0\) \(x = 12\)	Vi vurderer muligheten for at faktoren \(x – 12\) er lik 0. Den oppnådde ligningen er løst.

Løsningene til ligningen \({x^2} – 144 = 0\) er

\(x = – 12,\;12\)

Praktisk eksempel 3: løs likningen \({x^2} + 3x = 0\)

\({x^2} + 3x = 0\)	Utgangssituasjon
\(x\venstre( {x + 3} \høyre) = 0\)	\(x\) identifiseres som en felles faktor og faktoriseringen utføres.
\(x = 0\)	Tenk på muligheten for at faktoren \(x\) er lik 0.
\(x + 3 = 0\) \(x = – 3\)	Vi vurderer muligheten for at faktoren \(x – 12\) er lik 0. Den oppnådde ligningen er løst.

Løsningene til ligningen \({x^2} + 3x = 0\), er:
\(x = – 3,0\)

Praktisk eksempel 4: Løs ligningen \({x^2} – 14x + 49 = 0\)

\({x^2} – 14x + 49 = 0\)	Utgangssituasjon
\({x^2} – 14x + {7^2} = 0\)	Kvadratroten av 49 er 7 og \(2x\venstre( 7 \høyre) = 14x.\) Et perfekt kvadratisk trinomium er identifisert.
\({\left( {x – 7} \right)^2} = 0\)	Det perfekte kvadratiske trinomium uttrykkes som et kvadratisk binomium.
\(x – 7 = 0\) \(x = 7\)

Løsningen av \({x^2} – 14x + 49 = 0\) er:
\(x = 7\)

Praktisk eksempel 5: Løs ligningen \(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)

\(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)	Utgangssituasjon
\(10{x^2} – 23x + 12 = 0\)	Produktet \(\left( {10} \right)\left( {12} \right) = 120 = \left( { – 8} \right)\left( { – 15} \right)\)
\(\left( {10{x^2} – 8x} \right) – 15x + 12 = 0\)	Det er uttrykt som \( – 23x = – 18x – 15\)
\(2x\venstre( {5x – 4} \høyre) – 3\venstre( {5x – 4} \høyre) = 0\)	Identifiser \(2x\) som en felles faktor i det første tillegget og faktor det. Identifiser \( – 3\) som en felles faktor i det andre tillegget og faktor det.
\(\left( {5x – 4} \right)\left( {2x – 3} \right) = 0\)	Faktor den felles faktoren \(5x – 4\)
\(5x – 4 = 0\) \(x = \frac{4}{5}\)	Vi vurderer muligheten for at faktoren \(5x – 12\) er lik 0. Den oppnådde ligningen er løst.
\(2x – 3 = 0\) \(x = \frac{3}{2}\)	Tenk på muligheten for at faktoren \(2x – 3\) er lik 0. Den oppnådde ligningen er løst.

Løsningene til \(10{x^2} – 23x + 12 = 0\) er:
\(x = \frac{4}{5},\;\frac{3}{2}\)

Praktisk eksempel 6: Løs ligningen \({x^2} + 4x + 1 = 0\)

\({x^2} + 4x + 1 = 0\)	Utgangssituasjon Trinomialet er ikke et perfekt kvadrat
\({x^2} + 4x + 1 – 1 = – 1\)	Legg til -1 på hver side av ligningen.
\({x^2} + 4x = – 1\)	Siden \(\frac{1}{2}\left( 4 \right) = 2\) ved å legge til \({2^2}\), får vi et perfekt kvadrat.
\({x^2} + 4x + 4 = – 1 + 4\)	Legg til \({2^2}\;\) på hver side av ligningen. Venstre side er en perfekt firkant.
\({\venstre( {x + 2} \høyre)^2} = 3\)	Det perfekte kvadratiske trinomium uttrykkes som et kvadratisk binomium.
\(\sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2}} = \pm \sqrt 3 \)	Ta kvadratroten av hver side av ligningen
\(\left| {x + 2} \right| = \sqrt 3 \) \(x = – 2 \pm \sqrt 3 \)	Løs for \(x\).

Løsningene til \({x^2} + 4x + 1 = 0\) er:
\(x = – 2 – \sqrt 3 ,\; – 2 + \sqrt 3 \)

Praktisk eksempel 7: Løs ligningen \(5{x^2} + 3x – 1 = 0\)

\(5{x^2} + 3x – 1 = 0\)	Utgangssituasjon Trinomialet er ikke et perfekt kvadrat.
\(5{x^2} + 3x – 1 + 1 = 1\)	Legg til 1 på hver side av ligningen
\(\frac{1}{5}\left( {5{x^2} + 3x} \right) = \frac{1}{5}\left( 1 \right)\)	Multipliser med hver side av ligningen slik at koeffisienten til \({x^2}\) er lik 1.
\({x^2} + \frac{3}{5}x = \frac{1}{5}\)	produktet er distribuert Siden \(\frac{1}{2}\left( {\frac{3}{5}} \right) = \frac{3}{{10}}\), ved å legge til \({\left( { \frac{3}{{10}}} \right)^2} = \frac{9}{{100}}\) gir et perfekt kvadratisk trinomium.
\({x^2} + \frac{3}{5}x + \frac{9}{{100}} = \frac{1}{5} + \frac{9}{{100}}\)	Legg til 3 på begge sider av ligningen for å løse for \({\left( {x + 2} \right)^2}\)
\({\left( {x + \frac{3}{{10}}} \right)^2}\)=\(\frac{{29}}{{100}}\)	Det perfekte kvadratiske trinomium uttrykkes som et kubert binomium.
\(\sqrt {{{\left( {x + \frac{3}{{10}}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{29}}{{100}}} \ )	Ta kvadratroten av hver side av ligningen
\(x = – \frac{3}{{10}} \pm \frac{{\sqrt {29} }}{{10}}\)	Løs for \(x\).

Løsningene til \(5{x^2} + 3x – 1 = 0\) er:
\(x = – \frac{{3 + \sqrt {29} }}{{10}},\; – \frac{{3 – \sqrt {29} }}{{10}}\)

Prosedyren brukt i ligningen ovenfor vil bli brukt for å finne det som kalles den generelle formelen for kvadratiske løsninger.

Generell formel for andregradsligningen.

Generell formel for andregradsligninger

I denne delen vil vi finne hvordan du løser, på en generell måte, en andregradsligning

Med \(a \ne 0\) la oss vurdere ligningen \(a{x^2} + bx + c = 0\).

\(a{x^2} + bx + c = a\left( {{x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}} \right) = 0\)

Siden \(a \ne 0\) er det nok å løse:

\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)

\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)	Utgangssituasjon
\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} – \frac{c}{a} = – \frac{c}{a}\)	Legg til \( – \frac{c}{a}\) på hver side av ligningen.
\({x^2} + \frac{b}{a}x = – \frac{c}{a}\)	Siden \(\frac{1}{2}\left( {\frac{b}{a}} \right) = \frac{b}{{2a}}\), ved å legge til \({\left( { \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}\) gir et perfekt kvadratisk trinomium.
\({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} = \frac{{{b^2}} }{{4{a^2}}} – \frac{c}{a}\)	Venstre side av ligningen er et perfekt kvadratisk trinomium.
\({\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} = \frac{{{b^2} – 4{a^2}c}}{{4{ a^2}}}\)	Det perfekte kvadratiske trinomium uttrykkes som et kvadratisk binomium. Den algebraiske brøken er ferdig.
\(\sqrt {{{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{{b^2} – 4{a^ 2}c}}{{4{a^2}}}} \)	Ta kvadratroten av hver side av ligningen.
\(\left| {x + \frac{b}{{2a}}} \right| = \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} }}{{2a} }\)	Radikale egenskaper gjelder.
\(x + \frac{b}{{2a}} = \pm \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} }}{{2a}}\)	Absolutte verdiegenskaper gjelder.
\(x + \frac{b}{{2a}} – \frac{b}{{2a}} = \pm \frac{{\sqrt {{b^2} – 4{a^2}c} } }{{2a}} – \frac{b}{{2a}}\)	Legg til \( – \frac{b}{{2a}}\) på hver side av ligningen for å løse for \(x\)
\(x = \frac{{ – b \pm \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)	Den algebraiske brøken er ferdig.

Begrepet \({b^2} – 4{a^2}c\) kalles diskriminanten til den kvadratiske ligningen \(a{x^2} + bx + c = 0\).

Når diskriminanten til ligningen ovenfor er negativ, er løsningene komplekse tall og det er ingen reelle løsninger. Komplekse løsninger vil ikke dekkes i dette notatet.

Gitt den kvadratiske ligningen \(a{x^2} + bx + c = 0\), hvis \({b^2} – 4{a^2}c \ge 0\). Så er løsningene av denne ligningen:

\(\alpha = \frac{{ – b + \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

\(\beta = \frac{{ – b – \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

Uttrykket:

\(x = \frac{{ – b \pm \sqrt {{b^2} – 4ac} }}{{2a}}\)

Det kalles den generelle formelen for kvadratisk ligning.

Praktisk eksempel 8: løs ligningen \(3{x^2} – 2x – 5 = 0\)

\(til\)	\(b\)	\(c\)	Diskriminerende	reelle løsninger
\(3\)	\( – 2\)	\( – 5\)	\({2^2} – 4\venstre( 3 \høyre)\venstre( { – 5} \høyre) = 4 + 60 = 64\)	\(x = \frac{{ – \left( { – 2} \right) \pm \sqrt {64} }}{{2\left( 3 \right)}} = \frac{{2 \pm 8} }{6}\)

Løsningene til ligningen er:
\(\alpha = – 1,\;\beta = \frac{5}{3}\)

Praktisk eksempel 9: Løs ligningen \( – 4{x^2} + 3x + 9 = 0\)

\(til\)	\(b\)	\(c\)	Diskriminerende	reelle løsninger
\( – 4\)	3	9	\({3^2} – 4\venstre( { – 4} \høyre)\venstre( 9 \høyre) = 9 + 144 = 153\) \(153 = 9\venstre( {17} \høyre)\)	\(x = \frac{{ – 3 \pm \sqrt {9\left( {17} \right)} }}{{2\left( { – 4} \right)}} = \frac{{ – 3 \pm 3\sqrt {17} }}{{ – 8}}\)

Løsningene til ligningen er:
\(\alpha = \frac{{3 – 3\sqrt {17} }}{8},\;\beta = \frac{{3 + 3\sqrt {17} }}{8}\)

Praktisk eksempel 10: Løs ligningen \(5{x^2} – 4x + 1 = 0\)

\(til\)	\(b\)	\(c\)	Diskriminerende	reelle løsninger
\(5\)	-4	\(1\)	\({\left( { – 4} \right)^2} – 4\left( 5 \right)\left( 1 \right) = 16 – 20 = – 4\)	Har ikke

Diverse ligninger

Det finnes ikke-kvadratiske ligninger som kan konverteres til en andregradsligning.Vi skal se to tilfeller.

Praktisk eksempel 11: Finne de virkelige løsningene av ligningen \(6x = 5 – 13\sqrt x \)

Ved å endre variabelen \(y = \sqrt x \), forblir den forrige ligningen som:

\(6{y^2} = 5 – 13y\)

\(6{y^2} + 13y – 5 = 0\)

\(6{y^2} + 15y – 2y – 5 = 0\)

\(3y\left( {2y + 5} \right) – \left( {2y + 5} \right) = 0\)

\(\left( {2y + 5} \right)\left( {3y – 1} \right) = 0\)

Derfor \(y = – \frac{2}{5},\;\frac{1}{3}\).

Siden \(\sqrt x \) bare angir positive verdier, vil vi kun vurdere:

\(\sqrt x = \;\frac{1}{3}\)

Svar:

Den eneste reelle løsningen er:
\(x = \frac{1}{9}\)

Arbeidseksempel 12: Løs ligningen \(\sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} – \sqrt {\frac{{x – 5}}{x}} = \frac{5}{6 }\)

Foreta endring av variabel:

\(y = \sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} \)

Vi får ligningen:

\(y – \frac{1}{y} = \frac{5}{6}\)

\(6{y^2} – 6 = 5y\)

\(6{y^2} – 5y – 6 = 0\)

\(6{y^2} – 9y + 4y – 6 = 0\)

\(3y\left( {2y – 3} \right) + 2\left( {2y – 3} \right) = 0\)

\(\left( {2y – 3} \right)\left( {3y + 2} \right) = 0\)

De mulige verdiene for \(y\) er:

\(y = – \frac{2}{3},\;\frac{3}{2}\)

Av de ovennevnte vil vi kun vurdere den positive løsningen.

\(\sqrt {\frac{x}{{x – 5}}} = \frac{3}{2}\)

\(\frac{x}{{x – 5}} = \frac{9}{4}\)

\(4x = 9x – 45\)

\(5x = 45\)

\(x = 9.\)

Løsningene er \(x = 9.\)