Definisjon av Bernoullis prinsipp/ligning

Bernoullis prinsipp, ofte også kalt Bernoullis ligning, er et av de viktigste begrepene innen hydrodynamikk og fluidmekanikk. Den ble formulert av den sveitsiske fysikeren og matematikeren Daniel Bernoulli i 1738 som en del av hans arbeid "hydrodynamikk” og en del av bevaring av energi i en ideell væske i bevegelse.

La oss forestille oss følgende situasjon: Vi har en slange som vann strømmer gjennom, som forlater slangen med en viss hastighet og et visst trykk. Deretter fortsetter vi med å delvis dekke utgangshullet til slangen med en finger; ved å gjøre dette ser vi hvordan vannet nå kommer ut med større hastighet. Dette er et eksempel på Bernoullis prinsipp i handling.

Ideelle væsker i bevegelse

Bernoullis prinsipp gjelder for ideelle væsker i bevegelse, så før vi fortsetter med å forklare dette prinsippet, er det viktig å nevne hva vi mener med ideell væske. En ideell væske er en forenkling av en ekte væske, dette gjøres fordi beskrivelsen av en væske ideal er matematisk enklere og gir oss nyttige resultater som senere kan utvides til væsketilfellet ekte.

Det er fire forutsetninger som er gjort for å vurdere en væske som ideell, og alle har å gjøre med flyt:

• Jevn strømning: En jevn strømning er en der hastigheten som væsken beveger seg med er den samme når som helst i rommet. Med andre ord antar vi at væsken ikke gjennomgår turbulens.

• Inkompressibilitet: Det antas også at en ideell væske er inkompressibel, det vil si at den har en konstant tetthet til enhver tid.

• Ikke-viskositet: Viskositet er en egenskap ved væsker som generelt sett representerer motstanden som væsken motsetter seg for bevegelse. Viskositet kan betraktes som analog med mekanisk friksjon.

• Irrotasjonsstrøm: Med denne antagelsen refererer vi til det faktum at den bevegelige væsken ikke utfører noen form for sirkulær bevegelse rundt noe punkt i sin bane.

Ved å gjøre disse antakelsene og ha en ideell væske forenkler vi den matematiske behandlingen og vi sikrer også bevaring av energi, som er utgangspunktet mot prinsippet om Bernoulli.

Bernoullis ligning forklart

La oss vurdere en ideell væske som beveger seg gjennom et rør som vist i følgende figur:

Vi vil nå bruke Work and Kinetic Energy Theorem, som er en annen måte å uttrykke loven om bevaring av energi på, dette forteller oss at:

\(W = {\rm{\Delta }}K\)

Hvor \(W\) er det totale mekaniske arbeidet og \({\rm{\Delta }}K\) er endringen i kinetisk energi mellom to punkter. I dette systemet har vi to typer mekanisk arbeid, en som gjøres av tyngdekraften på væsken og en annen som er et resultat av trykket i væsken. La \({W_g}\) være det mekaniske arbeidet utført av tyngdekraften og \({W_p}\) være det mekaniske arbeidet utført av trykk, vi kan da si at:

\({W_g} + {W_p} = {\rm{\Delta }}K\)

Siden gravitasjon er en konservativ kraft, vil det mekaniske arbeidet som gjøres av den være lik forskjellen i gravitasjonspotensialenergi mellom to punkter. Den opprinnelige høyden der væsken er funnet er \({y_1}\) og den endelige høyden er \({y_2}\), derfor har vi:

\({W_g} = – {\rm{\Delta }}mg{\rm{\Delta }}y = – {\rm{\Delta }}mg\left( {{y_2} – {y_1}} \right )\)

Hvor \({\rm{\Delta }}m\) er delen av massen av væske som passerer gjennom et bestemt punkt og \(g\) er akselerasjonen på grunn av tyngdekraften. Siden den ideelle væsken er inkompressibel, så er \({\rm{\Delta }}m = \rho {\rm{\Delta }}V\). Der \(\rho \) er tettheten til væsken og \({\rm{\Delta }}V\) er delen av volumet som strømmer gjennom et punkt. Ved å erstatte dette med ligningen ovenfor får vi:

\({W_g} = – \rho g{\rm{\Delta }}V\left( {{y_2} – {y_1}} \right)\)

La oss nå vurdere det mekaniske arbeidet som gjøres av væsketrykket. Trykk er kraften som utøves per arealenhet, det vil si \(F = PA\). På den annen side er mekanisk arbeid definert som \(W = F{\rm{\Delta }}x\) hvor \(F\) er den påførte kraften og \({\rm{\Delta }}x\) er forskyvningen utført i dette tilfellet på x-aksen. I denne sammenhengen kan vi tenke på \({\rm{\Delta }}x\) som lengden på den delen av væsken som strømmer gjennom et bestemt punkt. Ved å kombinere begge ligningene har vi at \(W = PA{\rm{\Delta }}x\). Vi kan innse at \(A{\rm{\Delta }}x = {\rm{\Delta }}V\), det vil si at det er den delen av volumet som strømmer gjennom det punktet. Derfor har vi at \(W = P{\rm{\Delta }}V\).

Ved det første punktet utføres mekanisk arbeid på systemet lik \({P_1}{\rm{\Delta }}V\) og ved endepunktet utfører systemet mekanisk arbeid på omgivelsene lik \({P_2}{\rm{\Delta }}V\). Det mekaniske arbeidet på grunn av væsketrykket vil da være arbeidet som gjøres på systemet minus arbeidet det gjør på omgivelsene, det vil si at:

\({W_p} = {P_1}{\rm{\Delta }}V – {P_2}{\rm{\Delta }}V = \left( {{P_1} – {P_2}} \right){\rm {\Delta }}V\)

Til slutt vil forskjellen i kinetisk energi \({\rm{\Delta }}K\) være lik den kinetiske energien ved endepunktet minus den kinetiske energien ved startpunktet. Det er:

\({\rm{\Delta }}K = \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}mv_2^2 – \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}mv_1^ 2 = \frac{1}{2}{\rm{\Delta }}m\venstre( {v_2^2 – v_1^2} \right)\)

Fra ovenstående vet vi at \({\rm{\Delta }}m = \rho {\rm{\Delta }}V\). Ovenstående ligning er da som:

\({\rm{\Delta }}K = \frac{1}{2}\rho {\rm{\Delta }}V\left( {v_2^2 – v_1^2} \right)\)

Ved å erstatte alle resultatene oppnådd i energisparingsligningen, oppnås det at:

\(\left( {{P_1} – {P_2}} \right){\rm{\Delta }}V – \rho {\rm{\Delta }}V\left( {{y_2} – {y_1}} \right) = \frac{1}{2}\rho {\rm{\Delta }}V\left( {v_2^2 – v_1^2} \right)\)

Vi kan faktorisere begrepet \({\rm{\Delta }}V\) på begge sider av ligningen, dette fører til:

\({P_1} – {P_2} – \rho g\left( {{y_2} – {y_1}} \right) = \frac{1}{2}\rho \left( {v_2^2 – v_1^2 } \Ikke sant)\)

Utvikle de manglende produktene vi må:

\({P_1} – {P_2} – \rho g{y_2} + \rho g{y_1} = \frac{1}{2}\rho v_2^2 – \frac{1}{2}\rho v_1^ 2\)

Ved å omorganisere alle leddene på begge sider av ligningen får vi at:

\({P_1} + \rho g{y_1} + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = {P_2} + \rho g{y_2} + \frac{1}{2}\rho v_2^ 2\)

Denne ligningen er en relasjon mellom den opprinnelige tilstanden og den endelige tilstanden til systemet vårt. Vi kan til slutt si at:

\(P + \rho gy + \frac{1}{2}\rho {v^2} = konstant\)

Denne siste ligningen er Bernoulli-ligningen som dens prinsipp er avledet fra. Bernoullis prinsipp er en bevaringslov for en ideell væske i bevegelse.

Referanser

David Halliday, Robert Resnick og Jearl Walker. (2011). Grunnleggende om fysikk. USA: John Wiley & Sons, Inc.