Definisjon av Centripetal Force

Sentripetalkraft er en kraft som virker på et objekt som beveger seg langs en buet bane. Retningen til denne kraften er alltid mot midten av kurven og er det som holder objektet på den banen, og hindrer det i å fortsette sin bevegelse i en rett linje.

Kurvilineær bevegelse og sentripetalkraft

Anta at vi har et objekt som beveger seg langs en sirkelbane. For å beskrive den krumlinjede bevegelsen til denne kroppen, brukes vinkel- og lineære variabler. Vinkelvariabler er de som beskriver bevegelsen til objektet i form av vinkelen som det "sveiper" langs banen. På den annen side er lineære variabler de som bruker dens posisjon i forhold til rotasjonspunktet og dens hastighet i tangentiell retning av kurve.

Sentripetalakselerasjonen \({a_c}\) som oppleves av et objekt som beveger seg i en bane sirkulær med en tangentiell hastighet \(v\) og i en avstand \(r\) fra rotasjonspunktet vil være gitt av:

\({a_c} = \frac{{{v^2}}}{r}\)

Sentripetalakselerasjon er en lineær variabel som brukes til å beskrive krumlinjet bevegelse og er rettet mot midten av den buede banen. På den annen side er vinkelhastigheten ω til objektet, det vil si endringshastigheten til den sveipte vinkelen (i radianer) per tidsenhet, gitt av:

\(\omega = \frac{v}{r}\)

Eller vi kan løse for \(v\):

\(v = \omega r\)

Dette er forholdet som eksisterer mellom lineær hastighet og vinkelhastighet. Hvis vi plugger dette inn i uttrykket for sentripetalakselerasjon får vi:

\({a_c} = {\omega ^2}r\)

Newtons andre lov forteller oss at akselerasjonen til et legeme er direkte proporsjonal med kraften som påføres den og omvendt proporsjonal med massen. Eller, i sin mest kjente form:

\(F = ma\)

Der \(F\) er kraften, \(m\) er massen til objektet og \(a\) er akselerasjonen. I tilfelle av krumlinjet bevegelse, hvis det er en sentripetalakselerasjon, må det også være en kraft sentripetal \({F_c}\) som virker på masselegemet \(m\) og som forårsaker sentripetalakselerasjonen \({a_c}\), er si:

\({F_c} = m{a_c}\)

Ved å erstatte de forrige uttrykkene for sentripetalakselerasjonen får vi at:

\({F_c} = \frac{{m{v^2}}}{r} = m{\omega ^2}r\)

Sentripetalkraften er rettet mot midten av den krumlinjede banen og er ansvarlig for hele tiden endre retningen objektet beveger seg i for å holde det i bevegelse buet.

Tyngdekraften som en sentripetalkraft og Keplers tredje lov

Keplers tredje lov om planetbevegelse sier at kvadratet av omløpsperioden, det vil si tiden Tiden det tar for en planet å fullføre en bane rundt solen er proporsjonal med kuben til den halve hovedaksen til bane. Det er:

\({T^2} = C{r^3}\)

Der \(T\) er omløpsperioden \(C\), er det en konstant og \(r\) er halvhovedaksen, eller den maksimale avstanden mellom planeten og solen gjennom hele dens bane..

For enkelhets skyld kan du vurdere en planet med masse \(m\) som beveger seg langs en sirkulær bane rundt solen, selv om denne analysen kan utvides til tilfellet med en elliptisk bane og oppnå det samme resultat. Kraften som holder planeten i sin bane er tyngdekraften, som vil være:

\({F_g} = \frac{{G{M_S}m}}{{{r^2}}}\)

Der \({F_g}\) er tyngdekraften, \({M_S}\) er massen til solen, \(G\) er den universelle gravitasjonskonstanten og \(r\) er avstanden mellom planeten og solen. Men hvis planeten beveger seg langs en sirkulær bane, opplever den en sentripetalkraft \({F_c}\) som holder den på nevnte bane og som i form av vinkelhastigheten \(\omega \) vil være gitt av:

\({F_c} = m{\omega ^2}r\)

Det merkelige er at i dette tilfellet er tyngdekraften den sentripetale kraften som holder planeten i sin bane, med noen få ord \({F_g} = {F_c}\), derfor kan vi si at:

\(\frac{{G{M_S}m}}{{{r^2}}} = m{\omega ^2}r\)

Som vi kan forenkle som:

\(G{M_S} = {\omega ^2}{r^3}\)

Vinkelhastigheten er relatert til omløpsperioden på følgende måte:

\(\omega = \frac{{2\pi }}{T}\)

Ved å erstatte dette med den forrige ligningen får vi at:

\(G{M_S} = \frac{{4{\pi ^2}}}{{{T^2}}}{r^3}\)

Ved å omorganisere vilkårene får vi til slutt at:

\({T^2} = \frac{{4{\pi ^2}}}{{G{M_S}}}{r^3}\)

Sistnevnte er nettopp Keplers tredje lov som vi presenterte tidligere, og hvis vi sammenligner proporsjonalitetskonstanten vil den være \(C = 4{\pi ^2}/G{M_S}\).

Hva med sentrifugalkraften?

Det er mer vanlig at denne typen bevegelser snakker om "sentrifugalkraft" i stedet for sentripetalkraft. Fremfor alt fordi det er det vi tilsynelatende føler når vi opplever dette. Imidlertid er sentrifugalkraft en fiktiv kraft som følge av treghet.

La oss forestille oss at vi kjører i en bil som kjører i en viss hastighet og plutselig bremser. Når dette skjer vil vi føle en kraft som presser oss fremover, men denne tilsynelatende kraften som vi føler er tregheten til vår egen kropp som ønsker å opprettholde sin bevegelsestilstand.

Ved en krumlinjet bevegelse er sentrifugalkraften tregheten til kroppen som ønsker å opprettholde sin rettlinjet bevegelse, men er utsatt for en sentripetalkraft som holder den på den buede banen.

Referanser

David Halliday, Robert Resnick og Jearl Walker. (2011). Grunnleggende om fysikk. USA: John Wiley & Sons, Inc.