Definicja geometrii nieeuklidesowej

Zasadniczo geometrie nieeuklidesowe to te, które wynikają z zakwestionowania tzw Piąty postulat Euklidesa, dlatego niezbędna jest ogólna charakterystyka pracy Euklidesa, który był greckim matematykiem i geometrem, którego praca jest paradygmatyczna dla Geometria, uważany za jednego z jej założycieli. Wiadomo z pewnością bezpieczeństwo który mieszkał w mieście Aleksandria, kulturalnym centrum starożytności, około roku 300 pne. C.

Jego praca Elementy zaczyna się serią „zasad”, składających się z listy 23 definicji; a następnie 5 postulatów, odwołujących się do figury specyficznie geometryczny; oraz 5 ogólnych aksjomatów, wspólnych dla innych dyscyplin matematycznych. Następnie, po zasadach, Euklides wprowadza „propozycje” dwojakiego rodzaju: problemy, odniesione do

budynek postaci z regułą i kompasem; i twierdzeń, odwołujących się do wykazania właściwości, które niektórzy figury geometryczne.

Piąty postulat Euklidesa

On uważa, iż "Jeżeli linia prosta, która pada na dwie inne linie proste, powoduje, że kąty wewnętrzne tej samej strony są mniejsze niż dwie linie proste, wtedy, jeśli dwie linie są przedłużone w nieskończoność, spotykają się po stronie, po której kąty są mniejsze niż dwa proste”. Gdyby kąty były proste, to takie proste, zgodnie z definicją nr 23, byłyby równoległe ("Linie równoległe to linie, które, jeśli znajdują się w tej samej płaszczyźnie i są przedłużone w nieskończoność, nie przecinają się w żadnym kierunku.”).

Ten postulat, bardziej złożony niż poprzednie, nie był sam w sobie niewątpliwy: nie było oczywiste, że przedłużając linie w nieskończoność przecinałyby się po tej stronie, na której kąty były mniejsze niż dwa kąty proste, ponieważ nie byłoby to możliwe do udowodnienia przez budynek. Wtedy możliwość, że linie zbliżyły się do siebie w nieskończoność, nigdy się nie przecinając, pozostała otwarta.

Próby udowodnienia piątego postulatu

Z tego powodu od starożytności do połowy XIX wieku podejmowano szereg nieudanych prób udowodnienia piątego postulatu: dowód był zawsze osiągany; ale wprowadzając jakiś inny dodatkowy postulat (logicznie równoważny piątemu), odmienny od postulatów Euklidesa. Oznacza to, że piątego postulatu nie udało się udowodnić, ale został on zastąpiony równoważnym.

Przykładem tego jest postulat Johna Playfair (s. XVIII): „Pojedynczy punkt równoległy do ​​tej linii przechodzi przez punkt poza linią leżącą na tej samej płaszczyźnie." (znany jako "postulat równoległy”). Geometrie nieeuklidesowe powstają właśnie z nieudanych prób udowodnienia piątego postulatu systemu euklidesowego.

Test absurdalności Saccheriego

W 1733 włoski matematyk Girolamo Saccheri próbował udowodnić absurdalność piątego postulatu Euklidesa. Aby to zrobić, zbudował czworobok (znany jako „Czworokąt Saccheriego”, w którym jedna para kątów jest kątami prostymi) i stwierdził, że piąty postulat jest równoznaczny z twierdzeniem, że charakterystyczne kąty (te naprzeciwko pary kątów prostych) tego czworoboku są również kątami prostymi. to są trzy hipoteza możliwe, wzajemnie wykluczające się: że dwa charakterystyczne kąty są proste, ostre lub rozwarte. Aby udowodnić piąty postulat absurdem, trzeba było udowodnić (bez uciekania się do piątego). postulowano), że hipotezy kąta rozwartego i ostrego implikowały sprzeczność, a zatem były fałszywe.

Saccheri zdołał udowodnić, że hipoteza kąta rozwartego jest sprzeczna, ale nie udało mu się w przypadku kąta ostrego. Wręcz przeciwnie, wydedukował szereg twierdzeń zgodnych i niezgodnych z geometrią euklidesową. Wreszcie doszedł do wniosku, że biorąc pod uwagę dziwność tych twierdzeń, hipoteza musi być fałszywa. W konsekwencji uważał, że udowodnił absurdalny piąty postulat; jednak to, co zrobił, było nieumyślnym udowodnieniem ważnego zestawu twierdzeń geometrii nieeuklidesowej.

„Jednoczesne” odkrycie geometrii nieeuklidesowych

Carl F. Gauss w XIX wieku jako pierwszy podejrzewał, że piątego postulatu nie można udowodnić na podstawie pozostałych czterech (to znaczy, że był niezależnie) oraz w pojmowaniu możliwości geometrii nieeuklidesowej opartej na czterech postulatach euklidesowych i negacji piąty. Nigdy nie opublikował swojego odkrycia: uważa się to za przypadek jednoczesne odkrycie, ponieważ miał trzech niezależnych referentów (sam Gauss, János Bolyai i Nikolai Lobachevsky).

Odmowa… piąty prawo Euklidesa implikuje dwie możliwości (przyjmując równoważne sformułowanie Playfair): przez punkt znajdujący się poza linią prostą, albo brak równoległych przejść, albo więcej niż jeden równoległy przebieg. Wśród geometrii nieeuklidesowych znajdujemy na przykład geometrię "wyimaginowanyŁobaczewskiego, później znany jakohiperboliczny"- według, "Biorąc pod uwagę zewnętrzny punkt linii, nieskończone przecinające się linie, nieskończone nie przecinające się linie i tylko dwie równoległe linie przechodzą przez ten punkt.”, w przeciwieństwie do unikalnego równoleżnika euklidesowego; lub geometria eliptyczna Bernharda Riemanna, która stwierdza, że ​​„Przez punkt poza linią nie przechodzi żadna równoległa do tej linii.”.

Zastosowania i implikacje odkrycia

Obecnie wiadomo, że w przestrzeni lokalnej obie geometrie dają przybliżone wyniki. Różnice pojawiają się, gdy przestrzeń fizyczna jest opisana przez taką lub inną geometrię, biorąc pod uwagę duże odległości. Chociaż nadal używamy geometrii euklidesowej, ponieważ to ona najprościej opisuje naszą przestrzeń w skali lokalnej, odkrycie geometrii nieeuklidesowych była decydująca, gdyż oznaczała radykalną przemianę rozumienia prawd naukowy.

Do tego czasu uważano, że geometria euklidesowa prawdziwie opisuje przestrzeń. Udowodniając możliwość opisania go przez inną geometrię, z innymi postulatami, trzeba było przemyśleć kryteria, według których można było przyjąć takie lub inne wyjaśnienie, jak np. „prawda”.

Bibliografia

MARTINEZ LORCA, A. (1980) „Etyka Sokratesa i jej wpływ na myśl Occidental”, w Revista Baética: Estudios de Arte, Geografia i Historia, 3, 317-334. Uniwersytet w Maladze.

Tematy w geometrii nieeuklidesowej